差分法malab解波动方程

差分法malab解波动方程 波动方程的差分逼近 1、 问题介绍: 波动方程是描述波在同性均质弹性介质内传播的微分方程，它也是线性双曲型偏微分方 程的最简模型。它的一般形式是: 22,,,uu2,,,,,axltT,0,0,,22,,tx,, uxxuxxxl(,0)(),(,0)(),0,,,,,,,,t01 ,(0,)(),(,)(),0.uttultttT,,,,,,, ,, 2、 区域剖分: h构造上式的差分逼近，取空间步长和时间步长，用两族平行直线 , x,x,jh,j,0,,1,,2,？,,j ,t,t,n,n,0,1,2,？,n, 作矩形网格。 3、 离散格式: 显格式: (x,t) 于网点用Taylor展式，并整理方程得: jn 0,u(x),,,j0j,2r,12u[(x)(x)](1r)(x)(x),,，，,，,,,,,,j0j,10j，10j1j 2,n，12nn2nn,1,ur(uu)2(1r)uu,，，,,jj,1j，1jj, 隐格式: n,1 上述显格式并不是绝对稳定的差分格式，为了得到绝对稳定的差分格式，用第层、 n，1u层、层的中心差商的权平均去逼近，得到下列差分格式: nxx ,0,,u,(x),jj0,2r,12,,,,,uxxrxx,[()，()]，(1,)()，(),,j0j,10j，10j1j2,n，nn,n，n，n，nnnn,n,n,11111111,uuuuuuuuuuuu,2，,2，,2，,2，jjjj，jj,j，jj,j，jj,1111112,[(1,2),],a，,，,2222hhh,, 1,0,,,1,,0,其中是参数。当时就是显格式，而当时可以证明该格式绝对稳定。 4 隐格式的矩阵形式是: n，1,,,222，，u，，，,r12rr，，z11,,,,,,n，1222,,,uzr，r,r12,,2,,2,,,,,,,,？？？,,,,,,n，1,,,？uz,, ,,jj,,,,,,？？？,,,,,,222,,n，1,,,,,,,，,r12rrzuJ,2J,2,,,,,,222n，1z,,r1，2r,r,,,,,J,1u，，，，J,1，， 其中: 2nnnn,1n,1n,1nn,1 z,r[(1,2,)(u,2u，u)，,(u,2u，u]，2u,ujj，1jj,1j，1jj,1jj 4、格式稳定性: 1)显格式: r,1 显格式稳定的充分必要条件是:网格比。 2)隐格式: 1,, 当时隐格式绝对稳定。 4 5、数值例子: 22,u,u(x，t)a,1u(x,t),e,a 当时可以证明 是波动方程 的一个解析解。 22,t,x (x，t)u(x,t),e那么，为了更精确的得到误差估计，在这里选取作数值实验。 取，并且将时间步长20等分，空间步长10等分(即 0,x,10,t,1 r,ah/,,1/2,1)。这样网格比，从稳定性分析可知，此时格式稳,,1/20,h,1/10 定。经计算得到下列数值结果: (注:下列数值结果按层排序，每层按x从小到大排序，每个结果包含三部分，分别是: 估计值、真实值、误差) 第1层 1.161812 1.161834 0.000022 1.284001 1.284025 0.000024 1.419040 1.419068 0.000027 1.568282 1.568312 0.000030 1.733220 1.733253 0.000033 1.915504 1.915541 0.000037 2.116960 2.117000 0.000040 2.339602 2.339647 0.000045 2.585660 2.585710 0.000049 第2层 1.221365 1.221403 0.000038 1.349812 1.349859 0.000047 1.491773 1.491825 0.000052 1.648664 1.648721 0.000057 1.822055 1.822119 0.000064 2.013683 2.013753 0.000070 2.225463 2.225541 0.000078 2.459517 2.459603 0.000086 2.718201 2.718282 0.000081 第3层 1.283981 1.284025 0.000044 1.419001 1.419068 0.000066 1.568237 1.568312 0.000075 1.733170 1.733253 0.000083 1.915450 1.915541 0.000091 2.116899 2.117000 0.000101 2.339535 2.339647 0.000111 2.585590 2.585710 0.000120 2.857562 2.857651 0.000090 第4层 1.349816 1.349859 0.000043 1.491745 1.491825 0.000080 1.648626 1.648721 0.000095 1.822014 1.822119 0.000105 2.013636 2.013753 0.000116 2.225412 2.225541 0.000128 2.459462 2.459603 0.000141 2.718142 2.718282 0.000140 3.004087 3.004166 0.000079 第5层 1.419029 1.419068 0.000038 1.568226 1.568312 0.000086 1.733142 1.733253 0.000111 1.915416 1.915541 0.000125 2.116862 2.117000 0.000138 2.339494 2.339647 0.000153 2.585546 2.585710 0.000164 2.857510 2.857651 0.000141 3.158134 3.158193 0.000059 第6层 1.491791 1.491825 0.000034 1.648638 1.648721 0.000084 1.821997 1.822119 0.000122 2.013611 2.013753 0.000142 2.225383 2.225541 0.000157 2.459431 2.459603 0.000172 2.718108 2.718282 0.000174 3.004043 3.004166 0.000123 3.320077 3.320117 0.000040 第7层 1.568281 1.568312 0.000031 1.733177 1.733253 0.000076 1.915416 1.915541 0.000125 2.116846 2.117000 0.000154 2.339474 2.339647 0.000173 2.585525 2.585710 0.000185 2.857485 2.857651 0.000166 3.158101 3.158193 0.000092 3.490316 3.490343 0.000027 第8层 1.648692 1.648721 0.000029 1.822052 1.822119 0.000067 2.013632 2.013753 0.000121 2.225380 2.225541 0.000161 2.459420 2.459603 0.000183 2.718096 2.718282 0.000186 3.004025 3.004166 0.000141 3.320059 3.320117 0.000058 3.669279 3.669297 0.000017 第9层 1.733226 1.733253 0.000027 1.915482 1.915541 0.000059 2.116891 2.117000 0.000109 2.339487 2.339647 0.000160 2.585525 2.585710 0.000185 2.857481 2.857651 0.000170 3.158092 3.158193 0.000101 3.490313 3.490343 0.000030 3.857417 3.857426 0.000008 第10层 1.822096 1.822119 0.000023 2.013700 2.013753 0.000052 2.225446 2.225541 0.000095 2.459455 2.459603 0.000148 2.718110 2.718282 0.000172 3.004029 3.004166 0.000137 3.320061 3.320117 0.000056 3.669288 3.669297 0.000008 4.055204 4.055200 0.000004 第11层 1.915523 1.915541 0.000018 2.116954 2.117000 0.000046 2.339567 2.339647 0.000079 2.585584 2.585710 0.000125 2.857511 2.857651 0.000141 3.158106 3.158193 0.000087 3.490329 3.490343 0.000014 3.857435 3.857426 0.000010 4.263132 4.263115 0.000018 第12层 2.013740 2.013753 0.000013 2.225503 2.225541 0.000038 2.459540 2.459603 0.000064 2.718191 2.718282 0.000091 3.004079 3.004166 0.000087 3.320090 3.320117 0.000027 3.669318 3.669297 0.000021 4.055230 4.055200 0.000030 4.481721 4.481689 0.000032 第13层 2.116993 2.117000 0.000007 2.339621 2.339647 0.000026 2.585665 2.585710 0.000044 2.857607 2.857651 0.000045 3.158178 3.158193 0.000015 3.490378 3.490343 0.000035 3.857478 3.857426 0.000052 4.263170 4.263115 0.000055 4.711515 4.711470 0.000045 第14层 2.225540 2.225541 0.000001 2.459592 2.459603 0.000011 2.718265 2.718282 0.000017 3.004180 3.004166 0.000014 3.320184 3.320117 0.000067 3.669391 3.669297 0.000094 4.055285 4.055200 0.000085 4.481773 4.481689 0.000084 4.953089 4.953032 0.000057 第15层 2.339653 2.339647 0.000006 2.585719 2.585710 0.000010 2.857675 2.857651 0.000024 3.158275 3.158193 0.000082 3.490491 3.490343 0.000148 3.857575 3.857426 0.000150 4.263241 4.263115 0.000127 4.711583 4.711470 0.000113 5.207048 5.206980 0.000068 第16层 2.459619 2.459603 0.000016 2.718319 2.718282 0.000037 3.004247 3.004166 0.000081 3.320275 3.320117 0.000158 3.669515 3.669297 0.000218 4.055406 4.055200 0.000206 4.481866 4.481689 0.000177 4.953174 4.953032 0.000141 5.474030 5.473947 0.000082 第17层 2.585741 2.585710 0.000031 2.857725 2.857651 0.000074 3.158343 3.158193 0.000150 3.490577 3.490343 0.000234 3.857702 3.857426 0.000276 4.263378 4.263115 0.000264 4.711703 4.711470 0.000233 5.207152 5.206980 0.000172 5.754702 5.754603 0.000099 第18层 2.718335 2.718282 0.000053 3.004290 3.004166 0.000124 3.320343 3.320117 0.000226 3.669602 3.669297 0.000305 4.055527 4.055200 0.000327 4.482013 4.481689 0.000324 4.953321 4.953032 0.000288 5.474155 5.473947 0.000208 6.049766 6.049647 0.000118 第19层 2.857735 2.857651 0.000084 3.158380 3.158193 0.000187 3.490645 3.490343 0.000302 3.857793 3.857426 0.000368 4.263492 4.263115 0.000377 4.711853 4.711470 0.000383 5.207320 5.206980 0.000340 5.754852 5.754603 0.000249 6.359959 6.359820 0.000140 第20层 3.004290 3.004166 0.000124 3.320374 3.320117 0.000257 3.669668 3.669297 0.000371 4.055622 4.055200 0.000422 4.482123 4.481689 0.000434 4.953469 4.953032 0.000437 5.474336 5.473947 0.000388 6.049943 6.049647 0.000296 6.686058 6.685894 0.000164 上述数值结果是按照显格式分量形式用C编程所求得。 下图则是根据隐格式矩阵形式用MATLAB编程求得。 附1: 程序1(该程序根据输入参数J、N求数值结果): #include #include #include #define MAXN 1000 using namespace std; int J,N; double u[MAXN][MAXN],l,T; double fun_u(double x,double t) { return exp(x+t); } void solve() { double h=l/J; double tao=T/N; double r=1.0*J/N; double x; int i,j,n; for(j=0;j<=J;j++) { x=j*h; u[j][0]=exp(x); } for(j=1;j=n&&j<=J-n) { printf("%.6lf %.6lf %.6lf ",u[j][n],exp(j*h+n*tao),abs(u[j][n]-exp(j*h+n*tao))); } } printf("\n"); } return EXIT_SUCCESS; } 附2: 程序2(该程序用于求误差图): function varargout=liu(varargin) a=1;T=1;a=1;b=0.5;h=1/20;k=1/40; f=inline('0','x','t'); fx1=inline('exp(x)'); fx2=inline('exp(x)'); ft1=inline('exp(t)'); ft2=inline('exp(1+t)'); [X,Y,Z]=chfenmethed(f,fx1,fx2,ft1,ft2,a,T,h,k); mesh(X,Y,Z); shading flat; xlabel('X','FontSize',14); ylabel('t','FontSize',14); zlabel('error','FontSize',14); title('Îó?îÍ?'); function [X,T,Z]=chfenmethed(f,fx1,fx2,ft1,ft2,a,T,h,k) %u_tt-a^2*u_xx=f(x,t) 0函数

excel方差函数excelsd函数已知函数     2 f x m x mx m      2 1 4 2拉格朗日函数pdf函数公式下载