2013年咸阳市高考模拟考试试题(一)理科

2013年咸阳市高考模拟考试试（一） 理  科  数  学 第Ⅰ卷 一．选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 复数 满足 ，则复数 的实部与虚部之和为（    ） A.       B. 2        C. 1      D. 0 2. 已知集合 ， ，则 等于（  ） A.     B.     C.     D. 3. 以 为圆心， 为半径的圆与直线 相离的充要条件是（  ） A.     B.       C.     D. 4. 由直线 ， ，曲线 及 轴所围图形的面积为 A.       B.     C.     D. 5. 已知偶 在区间 单调增加，则满足 的 取值范围是（    ） A.       B.       C.       D. 6. 一个几何体的三视图如图所示（单位长度：cm），则几何体的体积是（    ） A.       B. 112       C.       D. 7. 若变量 满足约束条件 ， 的最小值为（    ） A.         B.       C.3      D. 1 8. 已知函数 ， R，其中 ， . 若 的最小正周期为 ，且当 时， 取得最大值，则（    ） A. 在区间 上是增函数        B. 在区间 上是增函数 C. 在区间 上是减函数        D. 在区间 上是减函数 9. 如图， 是双曲线 （ ）的左、右焦点，过 的直线 与 的左、右两支分别相交于A，B两点，若 ，则双曲线的离心率为（  ） A.       B.       C. 2        D. 10. 对于三次函数 （ ），给出定义：设 是函数 的导数， 是 的导数，若方程 有实数解 ，则称点 为函数 的“拐点”.某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.设函数 ，则 （    ） A. 2011      B. 2012        C. 2013      D2014 第Ⅱ卷 二．填空题（本大题共5小题，共25分） 11. 若关于 的不等式 对任意 恒成立，则实数 的取值范围是_________ 12. 若 （n为正偶数）的展开式中的第5项的二项式系数最大，则第5项是_______. 13. 已知平行四边形ABCD，点E、F分别为边BC、CD上的中点，若 则 _______. 14. 若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是_______. 15. 选做题（请考生在以下三个小题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题评阅记分） A．（选修4—4坐标系与参数方程）已知点A是曲线 上任意一点，则点A到直线 的距离的最小值是________. B．（选修4—5不等式选讲）不等式 的解集是___________. C．（选修4—1几何证明选讲）如图所示，AB和AC分别是圆O的切线，且OC=3，AB=4，延长AO到D，则△ABD的面积是_________. 三．解答题：（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16.（本小题满分12分）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且 . （Ⅰ）求角A的大小； （Ⅱ）设函数 ，求 的最大值，并判断此时△ABC的形状. 17.（本小题满分12分）已知 是一个公差大于0的等差数列，且满足 ， . （Ⅰ）求数列 的通项公式； （Ⅱ）令 （n∈N ），记数列 的前n项和为 ，对于任意的n∈N ，不等式 恒成立，求实数m的最小值. 18.（本小题满分12分）已知直三棱柱 中， ， ， ， ，点D在AB上. （Ⅰ）若D是AB中点，求证： ∥平面 ； （Ⅱ）当 时，求面ABC和面 夹角的余弦值. 19.（本小题满分12分）现有4个人去参加春节联欢活动，该活动有甲、乙两个项目可供参加者选择. 为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个项目联欢，掷出点数为1或2的人去参加甲项目联欢，掷出点数大于2的人去参加乙项目联欢. （Ⅰ）求这4人中恰好有2人去参加甲项目联欢的概率； （Ⅱ）求这4个人中去参加甲项目联欢的人数大于去参加乙项目联欢的人数的概率； （Ⅲ）用X，Y分别示这4个人中去参加甲、乙项目联欢的人数，记 ，求随机变量 的分布列与数学期望 . 20. （本小题满分13分） 如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在 轴上，它的一个顶点为 ，且离心率为 ， （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）过点 的直线 与椭圆相交于不同的两点 ， ，点 在线段 上，设 = ，试求实数 的取值范围. 21. （本小题满分14分） （Ⅰ）若 ，求曲线 在点 处的切线方程； （Ⅱ）讨论函数 的单调性； （Ⅲ）是否存在实数 ，使 当 时恒成立？若存在，求出实数 ；若不存在，请说明理由. 2013年咸阳市高考模拟考试试题（一） 理科数学答案及评分参考 说明: 一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则. 二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后续部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分. 三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数.选择题和填空题不给中间分. 五、未在规定区域内答题，每错一个区域扣卷面总分1分. 第 卷（选择题  共50分） 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．D    2.C  3． C  4..C  5.A    6.A    7.C  8.A    9.A    10.B 第Ⅱ卷（非选择题 共100分） 注意事项： 1．用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上. 2．在答题纸上作图，可先使用2B铅笔，确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑. 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 11.       12． x6      13．   14．10.  15. A.     B.   C. 三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.解：（Ⅰ）在△ABC中，因为b2+c2-a2=bc， 由余弦 a2= b2+c2-2bccosA  可得cosA= ．-------------------------------------3分 ∵ 00 由a2+a7＝16.得                             ① 由 得                   ② 由①得 将其代入②得 .即 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m      --------------6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得 = =1- <1 恒成立 m的最小值为100.-------------------------12分 18. （本小题满分12分） （Ⅰ）证明：连结BC1，交B1C于E，连结DE． ∵ 直三棱柱ABC-A1B1C1，D是AB中点， ∴侧面B B1C1C为矩形，DE为△ABC1的中位线， ∴ DE// AC1．                                                                        ∵DE 平面B1CD， AC1 平面B1C D，                    ∴AC1∥平面B1CD．  -------------6分 （Ⅱ）  ∵ AC⊥BC，∴如图，以C为原点建立空间直角坐标系C-xyz， 则 B (3, 0, 0)，A (0, 4, 0)，A1 (0, 4, 4)，B1 (3, 0, 4)，]设D (a, b, 0)（ ， ）， ∵点D在线段AB上，且 ， 即 ． ∴ ．              ∴ ， ， ．    平面BCD的法向量为             设平面B1 CD的法向量为 =（x,y,z） 由 ， ， 得 令z=1,得 ， ．                    设面 和面 夹角为 ， 则 = 所以面 和面 夹角的余弦值为 ． ----------------------------12分 19. 解：依题意，这4个人中，每个人去参加甲项目联欢的概率为 ，去参加乙项目联欢的概率为 .设“这4个人中恰有 人去参加甲项目联欢”为事件 ， ，则 . （Ⅰ）这4个人中恰好有2人去参加甲项目联欢的概率 --------4分 （Ⅱ）设“这4人中去参加甲项目联欢的人数大于去参加乙项目联欢的人数”为事件 ， ，          故 . ∴这4人中去参加甲项目联欢的人数大于去参加乙项目联欢的人数的概率为 .-------8分 ( ) 的所有可能取值为0,2,4. ， 所以 的分布列是 0 2 4         .---------------------------------------------------------------------------------12分 20．(本题满分13分) 解：（ ）设椭圆的标准方程是 ＋ ＝1(a>b>0)， 由于椭圆的一个顶点是A(0， )，故b2＝2. 根据离心率是 得，e＝ ＝ ，解得a2＝8. 所以椭圆的标准方程是 ＋ ＝1.                ..........6分 （II ）设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，N(x0，y0)． ①若直线l与y轴重合，则 ＝ = ，解得y0＝1，得λ＝ ....7分 若直线l与y轴不重合，设直线l的方程为y＝kx＋2， 与椭圆方程联立消去y，得(1＋4k2)x2＋16kx＋8＝0， 根据韦达定理得x1＋x2＝－ ，x1x2＝ .----------------------------------------------8分 由 ，得 ＝ ， 整理得2x1x2＝x0(x1＋x2)，把上面的等式代入得x0＝－ . 又点N在直线y＝kx＋2上，所以y0＝k ＋2＝1，于是有1 ＋1，  所以λ> . 综上所述λ≥ .                  .........................................................  13分 21．(本题满分14分) 解 ：（ ）∵a=1， ∴ =( )                 …………… 2分 于是f(0)=1， .所以曲线y = f（x）在点A（0，f（0））处的切线方程为 ， 即       --------------------------------  4分 （II ） ∵ a＞0，eax＞0，∴ 只需讨论 的符号．          ⅰ）当a＞2时， ＞0，这时f ′（x）＞0，所以函数f（x）在（－∞，+∞）上为增函数． ⅱ）当a = 2时，f ′（x）= 2x2e2x≥0，函数f（x）在（－∞，+∞）上为增函数． ……………… 6分 ⅲ）当0＜a＜2时，令f ′（x）= 0，解得 ， ． 当x变化时， f '（x）和f（x）的变化情况如下表： x f '（x） + 0 － 0 + f（x） ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗             ∴ f（x）在 ， 为增函数，f（x）在 为减函数．---- 9分 ( )当a∈（1，2）时， ∈（0，1）．由（2）知f（x）在 上是减函数，在 上是增函数，故当x∈（0，1）时， . 所以 当 x∈（0，1）时恒成立，等价于 恒成立． 当a∈（1，2）时， ，设 ，则 ， 表明g(t) 在（0，1）上单调递减，于是可得 ，即a∈（1，2）时 恒成立， 因此，符合条件的实数a不存在．                              -------- 14