2012全国高中数学联赛模拟题

2012全国数学联赛模拟题 2012全国高中数学联赛模拟题(一) 一、填空题(共8小题，每题8分，共64分) 1 二、解答题(共3小题，共56分) 2 2012全国高中数学联赛模拟题(二) 一、填空题(每小题8分，共64分) X1(以表示集合的元素个数. 若有限集合满足，，，A,B,CXA:B,20B:C,30C:A,40 则的最大可能值为 . A:B:C 22222(设是正实数. 若的最小值为10，则af(x),x,6ax，10a，x，2ax，5a，x,R . a, 432f(x),x，ax，bx，cx，d3(已知实系数多项式满足，f(2),4，f(3),6，则f(1),2 f(0)，f(4)的所有可能值集合为 . nna,max(a,a,？,a)4(设展开式. 若，则(5x，1),a，ax，？，ax，n,2011201101n01n n, . P5(在如图所示的长方体中，设是矩形的ABCD,EFGHEFGH APBDEAD,2中心，线段交平面于点. 若，，QAB,3 AE,1，则PQ, . 6(平面上一个半径r的动圆沿边长的正三角形的外侧滚动，其扫a 过区域的面积为 . 第5题 7(设直角坐标平面上的点(x,y)x，yiA,B与复数一一对应. 若点 ,1ABz,z分别对应复数()，则直线与x轴的交点对应复z,R z数 (用表示). 8(设n是大于4的偶数. 随机选取正n边形的4个顶点构造四边形， 得到矩形的概率为 . 二、解答题(第9—10题每题22分，第11—12题每题21分，共86 第6题 分) 3 a，？，a1n,2{a}a9( 已知数列满足，1()，求的通项公式. a,a,1a,,n,3nn12n4 1111a,a,？,a10(已知正整数都是合数，并且两两互素，求证:，，，,. ？12naaa212n 3f(x),ax，bx，c11(设(是实数)，当时，. 求的最大可能值. a,b,c0,f(x),10,x,1b 22DD,Ax,y,112(设点，在双曲线的左支上，，直线交双曲线A(,1,0)，B(1,0)，C(2,0)CD 122EADBEPx,y,1的右支于点. 求证:直线与的交点在直线上. x,2 解答 317z，z21. 10.2. 2. 3. {32}. 4. 2413.5. .6. .7. .8. . 6ar，4πr4(n,1)(n,3)1，zz aa11aaa，，,,nn,,12122nn,,,,,,,,aa9( 1aa,,,,nn,1,,nn,1n,1222244,, nn,1n,2221. ,,，,,,,aa？nann,1nn,122a,papa10(设的最小素因子，因为不是素数，所以. 于是 kkkkknn11,,,2apkk11,,,kkfc(0),n,11,1 11(由可知 233()(1)(331)(0)33bfff,,,,,,，fabc(1),，，3,,2k4(21),k2,,ab1nfc(),，，113,333,,，,2k4(21)1,,k,2 111,,,242n 33333满足题设，的最大可能值为. f(x),(x,x)b22 D(x,y)，E(x,y)，P(x,y)y,k(x,2)12(设，直线的方程，则 CD1122222xkx,,,(2)1，所以 22,，4145kkxxxxxx，,,,,,，，，1() ， ? 12121222114,,kk yy12(1)(1)xyx，,,,， xx，,1112 yyxx,,222121，，1xxxxxxxx,，,，,,11112321211212所以。把?代入上式，得. x,x,,,2yyxx,,2234xx,,212121,,xxxx,，,，11112121 4 一、单项选择题(本大题共6个小题，每小题5分，共30分) 2Sxxx,,,,|560Txx,，,|2|31、设集合，，则=( ) ST,,,,, A、 B、 C、 D 、 {|51}xx,,,,{|55}xx,,,{|11}xx,,,{|15}xx,, ABCDABCD,BCBBDD2、正方体中与截面所成的角是( ) 1111111 ,,,,A、 B、 C、 D、 64322fxxx()23,,，3、已知，， gxkx()1,, R则“”是“在上恒成立”的( ) ||2k,fxgx()(), A、充分但不必要条件 B、必要但不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件 ,,S,S4、设正三角形的面积为，作的内切圆，再作内切圆的内接正三角形，设为，面积为，11122 ,,,,SS,,如此下去作一系列的正三角形，其面积相应为， 3434 S,1TSSS,，，，设,，则=( ) limT1nn12nn,，, 643A 、 B 、 C、 D 、2 325 ||MO2FMyx,45、设抛物线的焦点为，顶点为，是抛物线上的动点，则的最大值为( ) O||MF 32343A 、 B 、 C、 D 、 333 6、设倒圆锥形容器的轴截面为一个等边三角形，在此容器内注入水，并放入半径为的一个实心球，r此时球与容器壁及水面恰好都相切，则取出球后水面高为( ) 332r15rA、 B、 C、12r D、 r 二、填空题(本大题共6个小题，每小题5分，共30分) E7、如图，正方形的边长为3，为的 ABCDDC AEBDFFDDE,中点，与相交于，则的值是 ( DA F E1268、的展开式中的常数项是 ((用具体数字作答) ()xx，,x2BC(1)a， n{}aSSS,9、设等比数列的前项和为，满足，则的值nnn20n4 为 ( 10、不超过2012的只有三个正因数的正整数个数为 ( 11、已知锐角满足tan()2tanABA，,，则的最大值是 ( AB,tanB abcde12、从1,2,3,4,5组成的数字不重复的五位数中，任取一个五位数， 满足条件“”的概率是 ( abcde,,,, 三、解答题(本大题共4个小题，每小题20分，共80分) 13、设函数， fxxx()sin3cos1,，， ,fx()(I)求函数在上的最大值与最小值; [0,]2 bcosc(II)若实数a,b,c使得af(x)，bf(x,c),1对任意恒成立，求的值( x,Ra ，abcR,,,abcabc()1，，,14、已知，满足， (I)求Sacbc,，，()()的最小值; (II)当取最小值时，求c的最大值( S 22ABABxy,,1ykx,，1(2,0),15、直线与双曲线的左支交于、两点，直线经过点和 l y的中点，求直线在轴的截距的取值范围( lb 5 1n2fxxx()(1),,a16、设函数在上的最大值为()( n,1,2,3,[,1]nn2 {}a(I)求数列的通项公式; n 1a,(II)求证:对任何正整数，都有成立; nn(2),n2n，(2) 7{}aS(III)设数列的前项和为，求证:对任意正整数，都有成立( nnS,nnn16 参考解答 一、选择题(本大题共6个小题，每小题5分，共30分) 1、C 2、A 3、A 4、B 5、B 6、D 二、填空题(本大题共6个小题，每小题5分，共30分) 232 7、 8、 9、0 10、14 11、 12、 ,,54215 三、解答题(本大题共4个小题，每小题20分，共80分) ,13、解:(I)由条件知， (5分) fxx()2sin()1,，，3 ,,,,51,由知，，于是 0,,x,，,,，,xsin()1x233623 ,1所以时，有最小值; fx()x,212，，,22 ,当时，有最大值( (10分) fx()x,2113，，,6 (II)由条件可知 ,,对任意的恒成立， 2sin()2sin()1axbxcab，，，,，，,xR,33 ,,,? 2sin()2sin()cos2cos()sin(1)0axbxcbxcab，，，,,，,，，,,333 ,,? 2(cos)sin()2sincos()(1)0abcxbcxab，,，,,，，，,,33 abc，,cos0, ,bcsin0,? , (15分) , ,ab，,,10, 由知或。 bcsin0,b,0sin0c, 若时，则由知，这与矛盾～ b,0abc，,cos0a,0ab，,,10若，则(舍去)，， sin0c,cos1c,cos1c,, 1bcosc解得，所以，( (20分) a,b,,c,(2k，1),,,1a2 12()()acbcabacbcc，，,，，，14、解:(I)因为 (5分) ,，，，,，ababccab()ab 1,,,22ab ，等号成立的条件是， ab,1ab 当时，可取最小值2( (10分) abc,,,,1,21S cabc()1，，,(II)当取最小值时，，从而， Sab,1 2cabc，，,,()10tab,,22即，令，则 (15分) tab,， 22,，，tt4,,，tt4c,c,,0从而或者(舍去) 22 6 2,，，tt42故 在单减， t,，,[2,)c,,22tt，，4 所以在时，有最大值( (20分) 21,ct,2 ykx,，1,22xy,,115、解:将直线与双曲线方程联立得 ykx,，1,22xy,,1,22(1)220kxkx,，，,化简得? (5分) ,22,,,,,,48(1)0kk ,2k,由题设知方程?有两负根，因此，解得((10分) 12,,kxx，,,,0,122k,1, 2,xx,,,0122,k,1, 2kAxyBxy(,),(,)设，则有， xx，,,1122122k,1 222kyykxx，,，，,,，,,()22 121222kk,,11 k1AB故的中点为， (,),,22kk,,11 ,1,2y所以直线方程为，其在轴的截距，(15分) yx,，(2),lb2222kk,,22kk,, 11722(1,22),,当12,,k时，，其取值范围是 222()kkk,,,,,48 ,2(,22)(2,),,,,，,所以的取值范围是( (20分) ,b222kk,, '121nnn,,16、解:(I)， fxnxxxxxxnxx()(1)2(1)(1)[(1)2],,,,,,,,n n1'当时，由知或者x,， (5分) x,[,1]fx()0,x,1nn，22 n11111f(1)0,当时，，又，，故; a,,,[,1]f(),n,1n118n，23228 n11111f(1)0,当时，，又，，故; f(),a,,,[,1]n,2n2221616n，222 n1当时，， ,[,1]n,3n，22 n1n''?时，;时，; x,(,1)fx()0,fx()0,x,[,)nnn，222n， nnnn24n2,,a()()fx()x,?在处取得最大值，即 nnn，2，，，nnn22(2)n，2 ,1n,(1),,8,综上所述，( (10分) a,,nn4n,n,(2),，2n,n(2)，, n41n2n,，,(II)当时，欲证 ，只需证明 (1)4n,2n，22，，(2)(2)nnn 2222nnn01122? ，,，,，,，，,CCCC(1)()()()nnnnnnnn 7 nn(1)4, ,，，,,，，,12121422n 1a,所以，当时，都有成立( (15分) n,2n2n，(2) (III)当时，结论显然成立; n,1,2 11当时，由(II)知 Saaa,，，，，，n,3nn34816 11111 ,，，，，， 22281656(2)n， 11111111 ,，，,，,，，,()()()816455612nn，， 1117 ( ,，，,816416 7所以，对任意正整数，都有成立( (20分) nS,n16 2012全国高中数学联赛模拟题(三) 试 题 8 9 10 11 12 13 14