建立数学模型

建立数学模型 《数理化解题研究)2Ol1年第6期数学篇l3 江苏省沛县初级中学(221600)姬长东? 点,线,面的运动是初中数学的难点,比较抽象, 难于理解,是让人头痛的一部分.而这类问题恰恰已 成为当前新课改理念下实验区中考的热点问题.这类 题揭示”运动”与”静止”,”特殊”与”一般”相互联 系,相互转化的密切关系.解决这类问题需要充分利 用运动变化过程中”相对静止”的瞬间,根据单点运 动,双点运动,线运动,面运动的规律,恰当变量, 并建立适当数学模型(如函数,方程等)/XPOA的面积等于/xPON面 积的 ?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由. 解(1)将点C(2,2)代入直线Y=kx+4,可得 =一 1,所以直线的解析式为Y=一+4.因为当= 1时,),=3,所以B点的坐标为(1,3).将B,C,0三点 坐标分别代人Y=n++c可得 fn+6+c=3,f0=一2, {4n+2b+c:2,解得{b=5.所以所求抛物线的【 c=0.【c=0. 解析式为Y=一2x+5x. (2)因为ON的长是定值,所以当点P为抛物线 的顶点时,APON的面积最大.又因为该抛物线的顶 ...一,,,525,....25. 55点坐标为( ,),此时tan仅:? (3)存在.把=0代入直线),=一+4得Y= 4,所以点a(0,4).把Y=0代人抛物线,一一2+5 得:0或=?,所以点,v(?,0).设动点P的坐标 为(,Y),贝U得S?(?P==?IOAI’=2x,S?= ?J0J7v1.y=?×寻(一2+5)=辜(一2x+ 5x).由S=s,即得2=8×?(一22+ 5x),解得=0或=1.舍去=0,取=1,由此 得Y=3.所以点P存在,其坐标为(1,3). 评注本题创设一个以”单点”运动导致变化 的问题情景.解决的关键在于ON的长固定,只要动 点P运动到抛物线顶点位置时,APON的面积最大, 从而求tan的值.至于第(3)问,可设动点P(,y), 利用方程计算求得. 二,线运动 例2(2010年江苏无锡)如图2,点A(64g,0), (0,6),过点,的直线f以每秒1个单位长度的速 度向下作匀速平移运动,与此同时,点P从点B出发, 在直线Z上以每秒1个单位长度的速度沿直线向右 下方作匀速运动,设它们运动的时间为t秒.(1)用含 t的代数式表示点P的坐标.(2)过点0作OC上AB 于C,过点C作CD上轴于D,问t为何值时,以P为 圆心,1为半径的圆与直线OC相切?并说明此时圆P 与直线CD的位置关系 J , 一 一 DD,, 图2 JIV B 一 0ID,t Ill’ i3 H , . (j.0-.1 图2(1) JI-l , , , , ,一/ /Dq 图2(2)图2(3) 解(1)过点P作上OB于日,如图2(1).因 为OB=6,OA=6,所以OAB=30..因为= l4数学篇《数理化解题研究)2Ol1年第期 t,/_BPH=30.,所以BH=?,,HP=,,OH=6一 3,,Jp(,,6一3,). (2)当圆P在左侧与直线OC相 切时,如图2(2),OB=6一t,/_BOC=30.,BC:3一 ?f,Pc:3一?f—f:3一了3,,由3一下3,:1,得,: ?,此时圆P与直线CD相交;当圆P右侧与直线OC 相切时,如图3(3),JPc=t一?(6一)=?,,3,由 3 ,一3:1得f=粤,此时圆P与直线cD相交.综上, 当,:或8时,圆尸与直线Dc相切,圆P与直线 相交. 评注本题是”双动”问题,动点在动直线上运 动.在解题时应”主动”与”被动”,并探索”变” 中的”不变”.(1)求点P的坐标,即求点P到轴与Y 轴的距离.因此需过点P作轴或Y轴的垂线,然后探 索运动的过程中,点P的运动情况.(2)中探索圆P 与直线CD的位置,即探索圆的半径与圆心到直线的 距离之间的关系,这样所求问题就简单了. 三,面运动 例3(2010年福建福州)如图3,在?-4BC中, C=45..BC=10,高AD:8,矩形EFPQ的一边 ()P在Bc边上,E,F两点分别在AB,AC上,AD交EF 于点(1)求证:=.(2)设EF=,当为何 值时,矩形Ep的的面积最大?并求其最大值.(3) 当矩形EFPQ的面积最大时,该矩形EFPQ以每秒1 个单位长度的速度沿射线Qc匀速运动(当点Q与点 C重合时停止运动),设运动时间为t秒,矩形E() 与?/4Bc重叠部分的面积为s,求ls与t的函数关系式 图3 BD()|pC一 图3(1) 解(1)因为四边形EFPQ是矩形,所以EF? QP,所以AAEF—AABC.又ADJ-BC,A日上EF,所 BDQC尸BDQCP 图3(2)图3(3) 以=丽EF. (2)由(1)得:,得A=},EQ : 8一,所以.s矩形=EF.EQ=(8一)= 一(一5)+20.因为一4<0,所以当:5时, 5矩形有最大值,最大值是20.(3)如图3,由(2)结 论得EF=5,E 一 t)2.综上,S= 一 1 ,2+20(0?,<4), 一 4t+28(4?t<5), 1(,一 9)(5?,<9). 评注这是一道几何操作图,但也属常规题.第 (1)问利用相似三角形知识容易解决.第(2)问在第 (1)问的基础上,用含的代数式表示9,利用二次 函数知识求其解.第(3)问则需根据图形在运动过程 中的位置变化分类讨论,分别建立相应的关系式,关 键在于分类,确定各个时间段,并画出相应图形. 点,线,面的运动,综合考查几何基本证明和函 数,方程的应用,培养学生动手操作能力,想象能力和 阅读理解能力.解决这类问题需要用运动的眼光去观 察和研究图形,把握变化的全过程,抓住其中的等量 和变量关系,建立函数关系解决问题.