解决问题知识梳理

“解决问题”知识梳理及解题能力培训 陈友鹏 关于数学学习内容，《新课程标准》安排了“数与代数”、“空间与图形”、“统计与概率”、“实践与综合应用”四个学习领域。结合上面的整体认识我们发现在课程标准中并没有把解决问题作为一个独立的内容领域。 一、解决问题的概念 从广义角度理解：是指综合地、创造性运用各种数学知识去解决各种问题， 包括实际问题和源于数学内部的问题。 从狭义角度理解：是指综合地、创造性运用各种数学知识去解决联系实际的问题。 二、解决问题的理念和价值 1、解决问题的基本理念。 （１）数学的工具性、应用性。 （２）信息化、数字化、市场经济等时代的要求。 数学的工具性和应用性伴随着数学的产生和发展过程，但是从２０世纪中叶 以来信息技术、市场经济的飞速发展，数学及其应用得到了极大发展，渗透到了各个科学领域。学生必须学会数学及其应用，才能适应社会的发展。 从80年代以来，国际上一直把解决问题作为数学教育的目标之一，89年美国数学课程标准，四大目标之一就是解决问题，并有很详细的阐述。全美数学教师理事会（NCTM）在2000年出版发行了《学校数学教育的原则和标准》,与之前相比，此文件中“问题解决”这一过程标准，在坚持以前的一些基本观点的同时，进一步明确“问题解决不仅是学习数学的一个目标，也是学习数学的一种主要方式”；而且增加了新的目标──“够检验和反思数学问题解决的过程”。2001的美国数学课程标准仍然把解决问题作为一个标准之一，这说明解决问题非常重要，数学教育的目标之一就是要会用数学解决问题，这个问题可以是数学问题，也可以是实际生活中的问题。课程标准要求解决问题的教学应贯穿于数学课程的全部内容中。 2、解决问题价值的具体体现： （１）培养实践能力（解决问题的意识和能力）。 （２）培养创新精神。 （３）巩固数学知识技能和掌握思想方法。 三、解决问题的教学目标 小学数学新课程标准在“总体目标”中对“解决问题”提出如下课程目标： （1） 初步学会从数学的角度提出问题、理解问题，并能综合 运用所学的知识和技能解决问题，发展应用意识。 （2） 形成解决问题的一些基本策略，体验解决问题策略的多样性，发展实践能力与创新精神。 （3）学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和结果。 （4）初步形成评价与反思的意识。 不同学段的详细目标是： 第一学段（1～3年级） 第二学段（4～6年级） 第三学段（7～9年级） 解决问题 ●能在教师指导下，从日常生活中发现并提出简单的数学问题。 ●了解同一问题可以有不同的解决办法。 ●有与同伴合作解决问题的体验。 ●初步学会达解决问题的大致过程和结果。 ●能从现实生活中发现并提出简单的数学问题。 ●能探索出解决问题的有效方法，并试图寻找其他方法。 ●能借助计算器解决问题。 ●在解决问题的活动中，初步学会与他人合作。 ●能表达解决问题的过程，并尝试解释所得的结果。 ●具有回顾与解决问题过程的意识。 ●能结合具体情境发现并提出数学问题。 ●尝试从不同角度寻求解决问题的方法，并能有效地解决问题，尝试 评价不同方法之间的差异。 ●体会在解决问题的过程中与他人合作的重要性。 ●能用文字、字母或图表等清楚地表达解决问题的过程，并解释结果 的合理性。 ●通过对解决问题过程的反思，获得解决问题的经验。 四、解决问题和应用题的比较 应用题的不足：有些内容脱离实际、条件、问题和答案唯一、呈现形式较单调、解题方法模式化。使学生学习的过程变成了学习解题技巧，学生只把学习应用题当成学习数学习题，而不是解决现实生活中的问题，较难体现怎样把现实生活中的问题转化为数学问题。 解决问题的优点：内容联系实际、开放性、探索性、合作交流、提出问题。有利于培养学生的解决实际问题的能力、创新精神、实践能力和合作精神。 下面是万以内的加法的一个例题。 从例题中可以看出，通过设计一个儿童喜欢的情境引出计算内容，这个计算同时又是解决问题，把计算和解决问题有机地结合起来，又密切联系了实际，学生感受到计算就是解决生活中的问题，又能够非常感兴趣地学习。而问题的呈现方式也是以“二、1班和二、2班能坐下吗？”、“3班和4班呢”；甚至还可进一步引导学生根据现实情境发现和提出其他相关问题，通过独立探索和合作交流来解决。 再如：在学完比例尺以后，教材呈现了如下例题。 解决问题的内容具有一定的开放性和探索性。结合实际情境表现了不同的学生想出了不同的解决办法，使学生通过交流了解同一问题可以有不同的解决办法。 解决问题的不足：不注重理解问题和分析数量关系、解题方法和步骤不。 而注重理解问题和分析数量关系、解题方法和步骤规范正是传统应用题教学的优势。 下面和各位老师共同回顾一下应用题的相关概念和知识结构： 简单应用题只含有一种数量关系，只用一步运算解答的应用题。但它是解答所有应用题的基础。 复合应用题是含有两个或两个以上的基本数量关系，就是用两步或两步以上的运算进行解答的应用题。其实，复合应用题是由几个简单应用题组合成的，所以解答复合应用题是以简单应用题为基础的。 典型应用题就是在复合应用题中有的题目具有一定的解题规律或需要用特定的方法来解答，一般称为典型应用题。 知识网络：                       整、小数应用题 1、按数的范围和应用  分、百应用题 工效、工时、工总                       比和比例应用题 2、按解题步骤 简单应用题分为11类：按照计算方法可分为： 具体来看： 1、求总数、求比一个数多几的数。 2、求剩余、求两个数相差多少、求比一个数少几的数。 3、求相同数的和、求一个数的几倍是多少。 4、等分、包含 这11类简单应用题的数量关系是学生学习复合应用题、理解典型应用题的重要基础。 )Q9`.d r ]0 五、解决问题的教学内容和结构梳理（如下表） 年级 册数 单元 内容 单元说明 一 上 六 6-10的认识和加减法 P47、58例题 求总数 求剩余数 下 二   20以内的退位减法 P10-11主题图 求剩余数 P19例题3  P20做一做 求总数 求剩余数 六 100以内的加法和减法(一) P61例题1  练习十一P63、64、65、66 求总数 P67例题1P68例题2 练习十二P69、70、71 求剩余数 P72例题3 求相差数(一个数比另一个数多几) P72例题4 求相差数(一个数比另一个数少几) 二 上 二 100以内的加法和减法(二) P8主题图 求总数 P17例题1 求相差数(一个数比另一个数多几) P17例题2 求相差数(一个数比另一个数少几) 练习三P20-4 求剩余数 P23例题4求比一个数少几的数是多少 练习四P24-1 求比一个数多几的数是多少 P26例题1 求总数(两步计算 连加) P27例题2 求剩余数(两步计算 连减) P27例题3 两步计算(加减混合)   四 表内乘法(一) 练习九P49-9 求几个相同加数的和 P56例题5 两步计算(乘加、乘减) P59例题6 求几个相同加数的和 六 表内乘法(二) P-例题3、4 练习十七P78、79 求一个数的几倍是多少 下 一 解决问题 P4例题1 简单两步计算(加减混合) P5例题5 简单两步计算(有小括号) P8例题3 简单两步计算(乘加) 二   表内除法(一) P23例题1 包含除(求一个数里包含几个另一个数的应用问题) 练习六P30-1 平均分(把一个数平均分成几份,每份是多少)   四 表内除法(二) P49例题1 平均分(把一个数平均分成几份,每份是多少) P54例题2、3 求一个数是另一个数的几倍 P59例题4 两步计算(乘除混合) 六 万以内的加法和减法(一) P92例题1 求总数 P93例题2 求剩余数 P96例题3 求总数 P97例题4 求相差数 三 上   二 万以内的加法和减法(二) P16例题1 求总数 P22例题1 求剩余数 练习七P30-6、练习八P33-2 两步计算(加减混合)   四 有余数除法 P50例题1包含除(求一个数里包含几个另一个数的应用问题) P55例题4 有余数的除法 六 多位数乘一位数 P69例题1、P74例题2、3、4、5、6、7 求几个相同加数的和 十 总复习 练习二十六P125-6 两步计算(连乘) 下 二   除数是一位数的除法 P14例题1  P19例题1、2、3平均分(把一个数平均分成几份,每份是多少) 练习三P18-6已知一个数的几倍是多少，求一倍数。 P25例题4 有余数的除法 练习六P27-7 和倍问题(思考题)  三 统计 P42例题1、2 平均数  五 两位数乘两位数 P58例题1  P63例题1求几个相同加数的和   七 小数的初步认识 P95例题3 求总数 P96例题4 求相差数   八     解决问题 P99例题1 两步计算(连乘) P99例题2 两步计算(连除) 练习二十三P101-2 两步计算(乘加) P104-11 两步计算(乘减)   十 总复习  P115-11 两步计算(乘除) 练习二十五P120-16 归一问题 四 上 三 三位数乘两位数 P54例3  行程问题 下 一 四则运算 P9练习一(10)和差问题  五 上 一 小数乘法 P14练习二(10) 归总问题 四 简易方程 P72练习十三(8)差倍问题 下 四 分数的意义和基本性质 P66(3)求一个数是另一个数的几分之几 六 上 二 分数乘法 P10例3求一个数的几分之几 P20例1求比一个数少几分之几的数是多少(同一量) P21例2求比一个数少几分之几的数是多少(不同量) P21例3求比一个数多几分之几的数是多少 三 分数除法 P37例1已知一个数的几分之几是多少,求这个数 P39例2已知比一个数多几分之几是多少,求这个数 P49例2浓度问题(比的应用一节) 五 百分数 P85例1求一个数是另一个数的百分之几（百分数的实际应用(包括发芽率、合格率、利息、纳税、折扣的计算)。 P90例2求一个数比另一个数多/少百分之几 P93例3求比一个数多/少百分之几的数是多少 P97例4求一个数的百分之几是多少 下  三  比例 P48例1求比例尺 P49例2、P50例3应用比例尺的知识解决简单的实际问题。 六、数与代数领域解题能力培训 1、张老师把一些铅笔平均分给了“爱心”小组的全体同学，其中组长小刚分到了全部铅笔的。小刚又将自己所分到的全部铅笔平均分给了他的组员，结果组员们每人多分到了4枝铅笔。张老师原有铅笔多少枝? 思路：1÷=6（人）；6-1=5（人）；4×5÷=120（人）或4÷（-）=120（人）。 2、双层书架上有一些书。从上层取出15本放到下层，则两层本数相等；如果从下层取出15本放到上层，则下层的本数是上层的。书架上共有多少本数？ 思路：15×2=30(本)； 30+30=60（本）；60×（2+1）=180(本)； 3、两根木棒直立于桶底水平的木桶中，在桶中加入水后，一根露出水面的长度是它的，另一根露出水面的长度是它的。两根铁棒的长度之和是55厘米，此时木桶中水的深度是多少厘米？ 思路：水深一定。说明甲木棒的（1-）和乙木棒的（1-）相等。 甲木棒：乙木棒=：=6:5 55÷(6+5)×6=30(厘米)；30×=20（厘米）。 4、一辆汽车从甲地去乙地，如果每小时比原来多行15千米，那么所用的时间只是原来的；如果每小时比原来少行15千米，那么所用的时间比原来多1.5小时。甲乙两地相距多少千米？ 思路：路程不变，速度与时间成正比。 时间比5：6，速度比6: 5。 15÷(6-5)=15(千米) 15×5=75（千米）；75-15=60（千米） 60:75=4:5；时间比5:4；1.5÷（5-4）×4=6（时）；75×6=450（千米）。 5、某小学学生人数在110~150之间，二年级学生的人数比一年级的60%多4人，三年级学生人数比一年级的少2人，该校二、三年级各有多少人？ 思路：60%=；〔5,7〕=35；35×4=140；140×60%+4=88（人）；140×-2=98（人） 6、小明、小强、小莉参加了“情系汶川，爱满人间”捐款活动。如果把小明和小强的捐款钱数相加是250元；如果把小强与小莉的捐款相加是180元；小莉捐款钱数是小明的60%。那么看，小明捐款多少元？ 思路：250-180=70（元）；小明比小莉多70元。 70÷（1-60%）=175（元） 7、甲桶油比乙桶油多3.6千克，如果从两桶油中各取出1千克后，甲桶里剩下油的与乙桶里剩下油的相等。那么原来甲桶有油多少千克？ 思路：甲桶油比乙桶油多3.6千克，如果从两桶油中各取出1千克。说明剩下的油甲桶比乙桶仍就多3.6千克。 甲桶里剩下油的与乙桶里剩下油的相等 甲剩下油×=乙剩下油× 甲剩下油：乙剩下油=：=3:2 3.6÷（3-2）=3.6（千克） 3.6×3=10.8（千克）； 10.8+1=11.8（千克） 8、小明带着一些钱去买签字笔，到商场后发现这种笔降价了12.5%，如果他带的钱恰好可以比原来多买13只，那么降价前这些钱可以买多少只签字笔？ 思路：12.5%=；1-= 总价不变，单价与数量成反比。数量比是8:7 13÷（8-7）=13(枝)；13×7=91（枝）。 13÷（8-7）=13(枝)；13×7=91（枝）。