精品三棱锥的体积

精品三棱锥的体积 锥体的体积 教学重点和难点 三棱锥体积公式及其探求( 教学过程 (一)复习三个问题(学生口答) 1(锥体平行于底面的截面的性质 2(祖暅原理 (柱体的体积公式及探求思路 3 (二)学生探求锥体体积公式 1(底面积是S，高是h的柱体体积公式的探求思路, 构造一个与所给柱体等底面积等高的长方体，由祖暅原理知，它们的体积相等，所以 V=Sh( 柱体 2(等底面积等高的两个锥体的体积之间有什么关系呢, 用祖暅原理(设有任意两个锥体，不妨选取一个三棱锥，一个四棱锥，并设它们的底面积都是S，高都是h(如图1)(?把这两个锥体的底面放在同一个平面α上，由于它们的高相等，故它们的顶点必在与α平行的同一个平面β上，即这两个锥体可夹在两个平行平面α，β之间;?用平行于平面α的任意平面去截这两个锥体，设截面面积分别为S，S，截面和顶点12的距离是h，体积分别 1 h , 图1 由祖暅原理知:V=V((生叙述师板) 12 可以叙述为:等底面积等高的两个锥体的体积相等( 3(如何求出锥体的体积, 怎样研究三棱锥的体积呢,(板书:三棱锥的体积，并作出一个底面积为S的，高为h的三棱锥A,,ABC，(如图2) (1)补成三棱柱，把三棱锥A,,ABC以底面?ABC为底面，AA,为侧棱补成个三棱柱ABC,A,B,C,( (2)分割成三个三棱锥((补形过程及分割过程由学生完成) ，2，3等体积呢, 怎样这三个三棱锥1 (学生思考两个锥体等体积的依据——前面定理的条件:(1)等底面积，(2)等高) 在三棱锥1，2中，S?=S，又由于它们有相同顶点C，故高也相等，所以V=V(又ABA,?B,A,B12在三棱锥2，3中，S=S，它们有相同顶点A,，故高也相等(所以V=V，所以V=V=V(?BCB,?B,C,C23123 一般锥体的体积又如何呢,(设一般锥体的底面积为S，高为h) 构造一个三棱锥，使其底面积为S，高为h，由于等底面积 (三)锥体体积公式的简单应用 例1、如图7，在正方体ABCD,A,B,C,D,中，已知棱长为a， 求:(1)三棱锥B,,ABC的体积; (2)这个三棱锥的体积是正方形体积的几分之几; (3)B到平面AB,C的距离, 分析(3):注意到三棱锥B,AB,C与三棱锥B,,ABC是同一个三棱锥( S也易求，这样h即可求出( ?AB,C 巧用了三棱锥的体积，使问题的求解变得十分简捷(这种称作顶点转换法，有时也 称作等积转换法( 例2、直三棱锥ABC-ABC的各侧棱和底面边长均为a，点D是棱CC上任意一点，求11111三棱锥A-ABD的体积。 例3、如图有一个底面边长为3、4、5，高为8的直三棱柱形水箱，在棱AA上的D、CC11 上的E处分别有漏洞，测得AD=6、CE=4，利用此水箱盛水(可以任意放置)，最多能盛多 少水,A1 C1 B1 D E A C B