圆的参数方程
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圆的参数方程教案
1
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附:课后作业
必做题:
3
1、下列参数方程中,表示圆心在,半径为1的圆的参数方程为
?x?cos??x?1?cos??x?cos??x?1?cos?A.? B.? C.? D.?
y?sin?y?sin?y?1?sin?y?1?sin?????
2、参数方程??x?2?5cos2?表示的曲线是
?y?1?5sin2?
A.圆心为,半径为5的圆 B.圆心为,半径为25的圆
C.圆心为,半径为5的圆 D.不是圆
3、两圆??x??3?2cos??x?3cos?与?的位置关系是
?y?4?2sin??y?3sin?
A.内切 ,.外切 ,.相离 ,.内含
?x??1?8cos?4、点在圆?的 y?8sin??
A.内部 ,.外部,.圆上,.与θ的值有关
5、把参数方程?
选做题:
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226、已知点P是圆x?y?2y上的动点,求2x?y的取值范围; ?x?4?2cos?化为普通方程,并说明该方程表示什么曲线。 ?y??3?2sin?
若x?y?a?0恒成立,求实数a的取值范围。
思考题:
227、一动点在圆x,y=1上移动,求它与定点连线的中点的轨迹方程。
8、已知点A,P是x+y=1上任一点,?AOP的平分线交PA于Q点,求Q点的轨迹.2
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圆的参数方程的教学
海口市一中 数学组:李晓琴 一、教材分析
本节课所用的教材是由人民教育出版社出版的选修4-4坐标系与参数方程,内容为第二章第二节,第一课时.
学习圆的参数方程是为了进一步探讨直线、圆锥曲线的性质,它在生产实践中有很多实际的应用.本章主要学习参数方程的基本概念、基本原理、基本方法,因此在教学中要求应适当,难度要控制,基本应以课本例题与习题为主.
通过学习参数方程的有关概念,以及方程之间、坐标之间的互化,使学生感悟到坐标系及各种方程的表示方法是可以结合实际需要加以选择的. 二、教学目标设计
根据以上分析,本节课设置的教学目标为: 1、知识
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与技能目标:
理解圆参数方程的概念,能选取适当的参数建立参数方程. 、过程与方法:
通过对圆的参数方程的研究,了解参数的几何意义和物理意义.、情感态度与价值观:
初步了解如何应用参数方程来解决某些具体问题,在问题解决的过程中,培养学生的数学抽象思维能力,初步体验参数的基本思想. 三、教学重点和难点
重点:理解圆的参数方程,能熟练求出圆的参数方程;
难点:能进行圆的一般方程和圆的参数方程的互化,并能解决实际问题. 四、 学法与教法 学法:
自主学习:引导学生通过动手计算,动手作图参与数学活动。 探究学习:引导学生发挥主观能动性,主动探索新知。 归纳学习:通过例题和练习归纳知识
。
教法:整堂课围绕“一切为了学生发展”的教学原则,突出?动——师生互动、共同探索。?导——教师引导、循序渐进
新课引入——由生活实例出发,激发学生的学习兴趣。
得出圆心在原点的圆的参数方程——数形结合,动手计算,组织学生自主探索。
例题处理——让他们在探索中自得知识。 应用,归纳——通过练习自己归纳知识。 五、教学准备
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教师准备:多媒体电脑、三角板、圆规. 学生准备:直尺或三角板. 六、教学基本流程:
七、教学情景设计:
八、评价分析
这堂课由生活实例引入,先求出圆心在原点的圆的参数方程,再求出圆心不在原点的圆的参数方程,展示了一个完整的数学探究过程。提出问题、解决问题,结论在实际中的应用,让学生经历了知识的发现和应用的过程,并培养学生的数学抽象思维能力。
板书设计
:
《圆的参数方程》是选修4—4第二章第二节的内容,通过本小节的学习,一是为了渗透参数的思想和方法,二是因为用参数方程解决某些问题具有显著的优越性:参数方程能明确地揭示动点的运动规律;有时建立曲线的普通方程较为困难或者不可能,但是利用参数建立曲线的参数方程却很容易;有时利用参数方程解决问题较为容易。因此,有必要研究圆的参数方程以拓宽学生知识面,扩大学生的视野。因此本节课教学过程中,我采用点拨的方法,启发学生自己观察,归纳来掌握知识,突出学生的教学主体地位。
1、 情境的创设——生活实例引入:
一开始我用生活中熟悉的实例——摩天轮的图片引
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入,让学生观察图形,吸
曲线的参数方程
教学目标
知识与技能:弄清理解曲线参数方程的概念.
过程与方法:能选取适当的参数,求简单曲线的参数方程
情感、态度与价值观:初步了解如何应用参数方程来解决某些具体问题,在问题
解决的过程中,形成数学抽象思维能力,初步体验参数的基本思想。
教学重点:曲线参数方程的概念。
教学难点:曲线参数方程的探求。
授课类型:新授课
教学模式:启发、诱导发现教学.
教学过程:
曲线的参数方程概念的引入
引例:
2002年5月1日,中国第一座身高108米的摩天轮,在上海锦江乐园正式对外运营。并以此高度跻身世界三大摩天轮之列,居亚洲第一。
已知该摩天轮半径为51.5米,逆时针匀速旋转一周需时20分钟。如图所示,某游客现在P0点。问:经过t秒,
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该游客的位置在何处?
引导学生建立平面直角坐标系,把实际问题抽象到数学问题,并加以解决
曲线的参数方程
1、圆的参数方程的推导
一般的,设?O的圆心为原点,半径为r,OP0所在
直线为x轴,如图,以OP0为始边绕着点O按逆时针方向绕原
点以匀角速度?作圆周运动,则质点P的坐标与时刻t的关系
该如何建立呢,
结合图形,由任意角三角函数的定义可知:
?x?rcos?tt?[0,??) t为参数?
??y?rsin?t
点P的角速度为?,运动所用的时间为t,则角位移???t,那么方程组?可以改写为何种形式,
?x?rcos? 结合匀速圆周运动的物理意义可得:???[0,??) ?为参数? ?y?rsin?
方程?、?是否是圆心在原点,半径为r的圆方程,为什么,
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由上述推导过程可知:对于?O上的每一个点P都存在变数t的值,使x?rcos?t,y?rsin?t都成立。
对于变数t的每一个允许值,由方程组所确定的点P都在圆上;
建立起来的方程是圆的方程;)
若要表示一个完整的圆,则t与?的最小的取值范围是什么呢,
sts?x?rco??x?rco?2???t?[0,), ???[0,2?)
y?rsin?ty?rsin????
圆的参数方程及参数的定义
我们把方程?叫做?O的参数方程,变数t叫做参数。
圆的参数方程的理解与认识
?x?3cos??x?3cos??参数方程???[0,2?)与???[0,]是否表示同一2?y?3sin??y?3sin?
曲线,为什么,
根据下列要求,分别写出圆心在原点、半径为r的圆的部分圆弧的参数方程:
?在y轴左侧的半圆;
?在第四象限的圆弧。
曲线的参数方程的定义
一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线C上任意一
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点的坐标x、y都是
?x?f某个变数t的函数?并且对于t的每一个允许值,由方程组??,y?g?
所确定的点P都在这条曲线C上,那么方程组?就叫做这条曲线的参数方程。变数t叫做参变量或参变数,简称参数。
相对于参数方程来说,直接给出曲线上点的坐标x、y间关系的方程F?0叫做曲线的普通方程。
曲线的参数方程的理解与认识
参数方程的形式;
参数的取值范围;
参数方程与普通方程的统一性;
参数的作用;
参数的意义。
巩固曲线的参数方程的概念
例题1:
质点P开始位于坐标平面内的点P0处,沿某一方向
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作匀速直线运 动。水平分速度vx?3厘米/秒,铅锤分速度vy?1厘米/秒,
求此质点P的坐标与时刻t的关系;
问5秒时质点P所处的位置。
?写出经过定点P,且倾斜角为的直线l的参数方程。
问题:作出例题1中两小题的直线图像,判断它们的位置关系;从中你能得到什么启示呢,
例题2:已知点A在圆C:x2?y2?4上运动,求x?y的最大值。
课堂小结
1、知识内容:知道圆的参数方程以及曲线参数方程的概念;能选取适当的参数建立参数方程;通过对圆和直线的参数方程的研究,理解其中参数的意义。
2、思想与方法:参数思想。
作业
课本P26,习题2.1,第1、2题。
思考
若圆的一般方程为2?2?r2,你能写出它的一个参数方程吗,
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针对引例中的实际情况,游客总是从摩天轮的最低点登上转盘。若某游客登上转盘的时刻记为t0,则经过时间t该游客的位置在何处,在引例所建立的坐标系下,
你能否通过建立相对应的参数方程,并得到游客的具体位置呢,
圆的参数方程
教学目的:
知识与技能:弄清曲线参数方程的概念
过程与方法:能选取适当的参数,求圆的参数方程
情感、态度与价值观:通过观察、探索、发现的创造性过程,培养创新意识。 教学重点:掌握圆的参数方程的推导方法和结论
教学难点:选择适当的参数写出曲线的参数方程.
授课类型:新授课
教学模式:启发、诱导发现教学.
教学过程:
一、复习圆的
方程:学生回答
二、圆的参数方程的推导:
1.圆心在原点的圆的参数方程
圆心在原点、半径为r的圆的参数方程为
?x?rcos???y?rsin?
θ 有意义:旋转角0到2π
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2.圆心不在原点的圆的参数方程
问:怎样得到圆心在O1,半径为r的圆的参数方程呢?
可将圆心在原点、半径为r的圆按向量
在?平行移动后得到,所以圆心O1,半径为r的圆的参数方程为
?x?a?rcos??y?b?rsin? ?
3.一般曲线参数方程的定义
参数方程、参数及其意义、普通方程
参数方程化为普通方程
三、例题:书例2
四、练习:1―3
补充例.已知A、B,P为圆
2?2?4上的一点,求PA2?PB2
的最大值和最小值以及对应P点的坐标.
?x?3?2cos??y?4?2sin?, 解:?C的参数方程为?
PA?PB
=222222???=0?8?60?40sin cos??其中
当34sin??5.,sin?1时, ?PB22
有最大值100.
cos?0 ?sin?1,
cos??cos[??]?coscos??sinsin??3
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sin??sin[??]?sincos??cossin??4
5
2128,
?P点的坐标为.
sin??1,?PB当22有最小值20.
?????2k??sin??1cos?0?,,
cos??cos[??]?cos??sin???3
5
sin??sin[??]?sin??cos???4
5,
912,
?P点的坐标为.
凡是涉及圆上的点旋转和有关距离时,可考虑采用圆的参数法,最后归结到三
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