5.圆——圆的面积

数学 5.圆——圆的面积 编稿老师 马年龙 一校 林卉 二校 黄楠 审核 王琛 圆面积的意义及计算 将圆转化成平行四边形来推导它的面积计算公式。 平行四边形的高约等于圆的半径r。 平行四边形的底约等于圆周长的一半，为πr。 圆面积≈平行四边形面积≈πr×r＝πr² 马儿的最大活动范围：＝12.56（平方米） 答：马儿的最大活动范围是12.56平方米。 1. 圆所占平面的大小就是圆的面积，圆的面积的大小与半径的大小有关。半径越大，面积越大；半径越小，面积越小。 2. 如果用表示圆的面积，那么圆的面积公式就是。 名师点睛：①要求圆的面积，最直接的条件是圆的半径。 ②已知圆的直径或圆的周长求圆的面积，要先计算出圆的半径，再代入公式计算。 拓展提高： 圆的面积与周长的区别 （1）圆的面积是指圆所占平面部分的大小，而圆的周长是指圆一周的长度。 （2）求圆的面积公式是S＝πr²，求圆的周长的公式是或。 （3）计算圆的面积用面积单位，计算圆的周长用长度单位。 例1 一块半圆形的地，直径24米，它的面积是多少平方米？如果为它围上一圈篱笆，需要多长的篱笆？ 解答过程： 3.14×（24÷2）²÷2＝226.08（平方米） 3.14×24÷2＋24＝61.68（米） 答：它的面积为226.08平方米，篱笆长61.68米。 技巧点拨：该题求的是半圆面积，是整圆面积的一半。注意半圆周长是圆周长的一半＋直径。 例题2  把一张圆形纸片平均分成若干份，拼成以半径为宽的近似长方形，已知长方形周长为24.84厘米，圆形纸片的面积是多少？ 解答过程：24.84÷（1＋1＋2×3.14）＝3（厘米） 3.14×3²＝28.26（平方厘米） 答：圆形纸片的面积是28.26平方厘米。 技巧点拨：先根据r＋r＋2πr＝24.84求半径，然后再利用圆的面积公式求面积。 例题3  小力量得一棵树干的周长是125.6厘米。这棵树干的横截面积约是多少？ 解答过程：横截面的半径为：125.6÷2÷3.14＝62.8÷3.14＝20（厘米） 横截面的面积为：3.14×202＝1256（平方厘米） 答：这棵树干的横截面的面积约是1256平方厘米． 技巧点拨：根据题意，树干的周长也是这棵树干的横截面的周长，可根据圆的周长公式计算出树干横截面的半径，然后再根据圆的面积公式计算出树干横截面的面积即可得到。解答本题的关键是根据树干的周长确定横截面的半径。 例题4  求下图中涂色部分的面积。（单位：米）                     （1）                              （2） 解答过程：（1） ＝ ＝13024（平方米） （2）（平方米） 技巧点拨：解答此题的关键是明白阴影部分的面积可以由哪些图形的面积和或差求出。 （答题时间：15分钟） 关卡一  精挑细选 1. 圆的半径由3cm增加到4cm，圆的面积增加（    ）cm2 A. 3.14                 B. 6.28                 C. 21.98 2. 从圆心出发，把一个圆平均分成若干份，剪开后可以拼成的图形是（    ） A. 三角形            B. 平行四边形        C. 梯形 3. 一个圆的面积是28.26平方厘米，它的半径是（    ） A. 3厘米                B. 6厘米                C. 9厘米 4. 一个正方形的周长和一个圆的周长相等，哪个图形的面积大（    ） A. 正方形            B. 圆                C. 一样大 5. 一个大圆半径是一个小圆半径的3倍，那么大圆面积是小圆面积的（    ） A. 3倍                B. 6倍                C. 9倍 关卡二 求下面各圆的面积 关卡三 解决问题 1. 一个圆的半径是4厘米，它的面积是多少平方厘米？ 2. 一个雷达屏幕的直径是40厘米，它的面积是多少平方厘米？ 3. 一块圆形草坪的半径是10米，如果每平方米草坪15元，铺这块草坪共需要多少钱？ 关卡一 精挑细选 1. C  解析： 2. B  3. A  解析：（平方厘米），所以r＝3厘米。 4. B  解析：在周长相等的情况下，越接近圆的图形面积就越大。 5. C  解析：令大圆半径为3r，小圆半径为r，大圆面积为9πr²，小圆面积为πr²。 关卡二 求下面各圆的面积 （平方厘米） （平方米） （平方分米） 关卡三  解决问题 1. 3.14×4＝50.24（平方厘米） 答：它的面积是50.24平方厘米。 2. （平方厘米） 答：它的面积是1256平方厘米。 3. 3.14×102×15＝4710（元） 答：铺这块草坪共需要4710元。 求圆环的面积 分针扫过圆的面积：3.14×14²＝615.44（平方厘米） 时针扫过圆的面积：3.14×10²＝314（平方厘米） 分针比时针多扫的面积：615.44－314＝301.44（平方厘米） 答：分针比时针多扫301.44平方厘米。 【要点结论】 圆环的定义：以同一点为圆心，画出两个半径不相等的圆，两圆之间的部分就是圆环。 圆环的面积：两圆中间部分的大小叫做圆环的面积。 圆环的面积公式：S＝πR²－πr²或S＝π（R²－r²） 【规律总结】 圆环的面积实质上是两个同心圆的面积差。 注意：在一个大圆内随意剪去一个小圆是不能形成圆环的，必须两圆心相同。 认一认： 例题1  某社区修建一个圆形花坛，半径是3米，在花坛周围又修了一条2米的环形小路。小路的面积是多少平方米？ 解答过程：求小路的面积即求环形的面积，需知道内圆半径（已知）和外圆半径（未知），内圆半径加上小路的宽即外圆半径，根据环形面积公式s＝π（R2－r2），代入公式计算即可． ＝78.5－28.26 ＝50.24（平方米） 技巧点拨：本题主要考查环形的面积公式及其计算，根据s＝π（R2－r2）计算比较简便． 例题2  已知下图中阴影部分的面积为20平方厘米，环形的面积是多少平方厘米？ 解答过程： R²－r²＝20（平方厘米） 3.14×20＝62.8（平方厘米） 技巧点拨：在计算此题时，通过观察分析，得出“R²－r²＝阴影部分面积”是解题的关键。 例题3  环形的外圆周长是18.84厘米，内圆直径是4厘米，求环形的面积? 解答过程：根据题意，环形的面积等于外圆的面积减去内圆的面积，可根据圆的周长公式计算出外圆的半径，然后再利用圆环的面积公式计算出环形的面积即可得到答案。 外圆的半径为：18.84÷3.14÷2 ＝6÷2 ＝3（厘米） 圆环的面积为： ＝3.14×（9－4） ＝3.14×5 ＝15.7（平方厘米） 答：这个环形的面积是15.7平方厘米。 技巧点拨：解答此题的关键是确定外圆的半径，用外圆的面积减去内圆的面积即是圆环的面积。 （答题时间：15分钟） 关卡一 精挑细选 1. 一个圆的周长是12.56厘米，它的面积是（    ）平方厘米。 ①50.24          ②12.56            ③25.12 2. 大圆的半径与小圆的直径相等，小圆面积是大圆面积的（    ） ①            ②              ③ 3. 下面每个图形的周长都是12.56分米，面积最大的图形是（    ） ①三角形          ②圆            ③长方形        ④正方形 4. 一个圆环，外圆半径是内圆半径的2倍，这个圆环的面积和内圆的面积比是（    ） ①1：4            ②4：1            ③3：1 关卡二 求下图阴影部分的面积（单位：cm） 1.                                  2.                   关卡三 解决问题 1. 某广场中心有一个圆形花池，直径是80米，扩建后，直径增加到100米。这个花池的面积增加了多少平方米？ 2. 一根钢管的横截面是环形。内圆半径4厘米，外圆直径10厘米。钢管的横截面积是多少平方厘米？ 3. 街心有一个圆形花坛，直径是10米，在花坛周围铺一条1米宽的石子路，石子路的面积是多少？ 关卡一 精挑细选 1. ②      2. ②      3. ②      4. ③ 关卡二 求下图阴影部分的面积 1. 2. 关卡三 解决问题 1. ＝＝2826（平方米） 答：这个花池的面积增加了2826平方米。 2. （平方厘米） 答：钢管的横截面积是28.26平方厘米。 3. （平方米） 答：石子路的面积是34.54平方米。 “外圆内方”和“外方内圆”                         图（1）                        图（2） （1）分析数量关系 图（1）：正方形的面积圆的面积＝正方形和圆之间部分的面积 图（2）：圆的面积正方形的面积＝圆和正方形之间部分的面积           图（3）                    图（4） （2）列式计算 方法一：从图（3）可以看出：          从图（4）可以看出：                                           3.14—2＝1.14 4—3.14＝0.86 方法二： 假设两个圆的半径都是r，那么          图（4）中，三角形的底是2r，高是r。 图（3）中，正方形的边长是2r。        圆和正方形之间部分的面积： 正方形和圆之间部分的面积：                                  ＝ ＝                        ＝1.14r2 ＝ 当r＝1时， 外方内圆的方圆之间部分的面积：， 外圆内方的方圆之间部分的面积：。 答：图（1）中正方形与圆之间的面积是0.86，图（2）中圆与正方形之间的面积是1.14。 “外圆内方”和“外方内圆”：采用转化法，将正方形的面积计算转化为三角形的面积计算。                     阴影部分面积＝（2r）²－3.14r²＝0.86r²  阴影部分面积＝3.14r²－（×2r×r）×2＝1.14r² 注意：解决实际问题时，要注意活学活用，用心去思考。 拓展提高： 求阴影部分面积 思想方法——转化法：将不规则图形转化为面积相等的规则图形计算。 基本步骤： （1）观察、分析这个组合图形可以分割成哪些能计算面积的基本图形； （2）找出计算基本图形面积的条件； （3）先计算出基本图形的面积，再计算出组合图形的面积。 例题1  如图，已知阴影部分的面积是314平方厘米，求正方形的面积。 解答过程： 314×4÷3.14＝400（平方厘米） 答：正方形的面积为400平方厘米。 技巧点拨：3.14×r²＝圆面积＝4个阴影部分面积＝4×314，而圆半径r为正方形边长，所以r²即为正方形面积。 例题2  如图，正方形的边长都相等，其中阴影部分面积相等的有（  ）                 （1）          （2）            （3）          （4） A.（1）（2）（3）                        B.（2）（3）（4）        C.（1）（3）（4）                        D.（1）（2）（3）（4） 解答过程：分析图中的阴影部分都是由几部分得来的，可以看出（1）（3）（4）中都是一个正方形的面积－一个圆的面积，所以相等，故选C。 技巧点拨：解本题的关键是分析阴影部分的面积是由哪几个图形组成的。 例题3  碾是劳动人民智慧的结晶之一，在漫漫的历史长河中起着巨大的作用。图中的这台碾安置在长为5m，宽为4m的房间里，碾台半径是0.8m，压碾时碾杆超出碾台0.7m，这个房间的安全区域（碾杆转一圈扫过的面积以外的部分）是多少平方米？ 解答过程：==12.935（） 答：这个房间的安全区域是12.935平方米。 技巧点拨：关键是理解碾的作用区域是以（0.8+0.7）m为半径的圆，用房间的面积减去碾的作用区域就是这个房间的安全区域。 例题4  下面是乾隆年间的一枚铜钱，直径为2.2厘米，中间是一个边长为0.6厘米的正方形孔，请你计算出这枚铜钱正反两个面的面积和。 解答过程： [3.14×（2.2÷2）²－0.6×0.6]×2＝＝6.8788（平方厘米） 答：这枚铜钱正反两个面的面积和为6.8788平方厘米。 技巧点拨：利用公式分别求出正方形面积和圆面积，再相减，注意，求正反两个面面积还要乘以2。 （答题时间：15分钟） 关卡一 求下面各图形阴影部分的面积     关卡二 解决问题 1. 在一张长为3m，宽为2m的长方形铁板上切割出一个最大的圆，剩下的面积是多少平方米？ 2. 小明用彩色纸板为老师制作了一张圆形贺卡，为了美观，他特地买来彩绳粘到贺卡的外围，制作这张贺卡共用了31.4厘米的彩绳。你知道他用了多少平方厘米的彩色纸板吗？ 3. 在半径为12米的圆形音乐喷泉的外面，围绕着一条8米宽的环形观景台。这条环形观景台的面积是多少平方米？ 4. 一块长方形铁板，长15分米，宽是长的，在这块铁板上截一个最大的圆，这个圆的面积是多少？ 关卡一 求下面各图形阴影部分的面积 （1）（平方厘米） （2）（平方厘米） 关卡二 解决问题 1. 解： 答：剩下的面积是2.86平方米。 2. 解：31.4÷3.14÷2＝5（cm） 3.14×5²＝78.5（cm²） 答：他用了78.5平方厘米的彩色纸板。 3. 解：3.14×（12＋8）²－3.14×12²＝803.84m² 答：这条环形观景台的面积是803.84平方米。 4. 解：（分米） ＝78.5（平方分米） 答：这个圆的面积是78.5平方分米。