函数在一点的可导性与在该点附近的导数的关系

函数在一点的可导性与在该点附近的导数的关系 函数在一点的可导性与在该点附近的导数 的关系 同=='=:| g2007年3月.第5卷.第5期 函数在一点的可导性与在该点附近的导数的关系 张隆辉 四川职业技术学院教学系 徐志军 (四Jl1遂宁629000) 【摘要】本文通过研究函数在一点的可导性与函数在该点附近的导数的关系,得 出了函数在一点可导的一个充要条件,并 通过举例说明了它在研究分段函数在其分段点的可导性方面的运用. I关键词】可导性导数充要条件单侧极限 TheRelationshipbetweentheDifferentiabilityonaPointofaFunctionandtheDerivativesoftheFunctionaroundthePO.mt. ZhangLonghui,XuZhijun.DepartmentofMathematics,SichuanVocationalandTechnicalcollege,Suining629000,china. 【Abstract】 Inthepaper,wediscusstherelationshipbetweenthedifferentiabilityonapointofafunctionandthederivativesofthe flmctionaroundthepoint,andgetasufficientandnecessaryconditionforthefunctiontobedifferentialonpoint.Therearesome examplesfortheapplicationofthedifferentiabilityofapiecewisefunctiononitspiecewisepoint. 【Keywords】DifferentiabilityDerivativeSufficientandNecessaryconditionOne— sidedLimit 中图分类号:G427文献标识码:B文章编号:1812—5867【2007)05—0046—02 我们在教学中经常会遇到研究分段函数在分段点的可 导性问题,而在分段点两侧,函数通常是用初等函数表达式 给出,且初等函数又是可求导的,所以可以考虑用函数在分 段点两侧的导数来研究函数在分段点的可导性.因为这样做 有时吖能会更简便(比如例1,例3).为此,我们先就函数在 一 点的可导性与函数在该点附近(即该点的一个去心邻域 内)的导数的关系进行讨论. 引理1r一1若函数ffx)在点a的邻域u(a1内连续,除a外可 导,且limr(x)=f,则函数f(x)在a可导,且f,(a)=f. 在引理1的条件下,显然f,(a1在点a连续. 引理2『.如果函数x)在区间a,b】上处处可导,那么导函 数1不可能有第一类问段点. 由以上两引理很容易得出如下结论: 定理若函数f(x)满足1.在点a连续,2.在点a的附近可 导,3.f(x)(x?a)在点a的单侧极限r(a一)和f(a+)都存在,则f (x)在点a可导,且f(a)=f的充要条件是a—a+)-一. 证明:[充分性]由f,(a一)=r(a+)=f,得limf(x)=f.由引理 X—?a 1,充分性得证. 【必要性】由f(x)在点a可导,且r(a)=2,则存在【a.,bdCU (a),使f(x)在U(a)内可导,从而在a,b.]内可导.如果f(a一)?f (a+),则f-(x)不存在;如果f-(a一)=f(a+)?f,则max)存在 但不等于f,(a),从而点a都是r(x)的第一类间段点.这与引理 2矛盾. 作者简介:张隆辉,男,43岁,副教授. 研究方向:高等教学与研究. F面用以上定理来研究分段函数在分段点的口j导性. 例?={xInx,x'ec2,={X<U.LZX.. 显然这两个函数在分段点都连续. (1)当时,=e-)=2--f'(e. (e)-2. (2)当x?0时-{'自f2?.(0+),. (0)不存在. 但需注意的是,以上定理在使用时有一定局限性.即当 f(a一)或f(a+)不存在时,不能用上述定理.此时r(a)可能存 在,也可能不存在,此时可用导数的定义或单侧导数去研究f (x)在点a的可导性. ..Ixsin,x?0ixin—'】【?0例2(1)f(x) : {;(2)f(x)=…; 10, x=010.x:0 x2sin.x>0 X (3)f(x)=t0,x=0 xin.x<0 X 刮 ; 这些函数都在x=O处连续,在x=O的附近可导. (1)f一)与f,(0+)都不存在,O)也不存在; (2)f(0')与f10D+)都不存在,但O)-0; (3)-.-0,f100+)不存在,但f'(o)--o; (4)f0+)不存在,r(0^)=2,f)也不存在. 例3求a,b的值,使函数 中国教育与教学ChinaEduca~on f(x) ta+bIn)【,x>l 在点1点处可导,并求在该点的导数. 解:由f(x)在点x=l处可导,从而在点x=l处连续,f (1-)--f(1+) . .a+b=" 4 rr(1) 又当x?1的时候,有 f10a~+5bx4,x<1 = {——一+旦,x>lI 3(VX2+V) L==' 且f,(1一)和f(1+)都存在,而f(x)在点x=l处可导,所以f (1一)=f,(1+)=f,(1), . ? . 10a+5b=一+b=f,(1)(2) 联解(1),(2)得 a==,m)=号. 【参考文献】 【1】刘玉琏,傅沛仁.数学分析上册【M】.北京:高等教育出版 社.1996.210 【2】武汉大学数学系.数学分析上册】.北京:人民教育出版 社.1978.270 影视历史对历史教育的突破 柳敏赵丹2 莱阳农学院人文学院(山东青岛266109) 【摘要】影视历史借助其声像并茂的媒介优势和身临其境的体验方式,突破了学 校历史教育单调的形式,狭隘的~6111,枯燥 的和灌输的方式.影视历史以其广阔的视角和精细的描述,呈现出多元的社会 场景,丰富的民众生活,给予观众强烈的现场 感受和视听冲击.成为学校历史教育重要的补充手段和对民众普及历史教育的有 力方式. 【关键词】影视历史历史教育突破 TheBreakthroughofHistoricalMoviesandTVstoHistoryEducation.LiuMin.ZhaoDan.Th eHumanitiesDepartmentofLaiyang AgncuhuralUniversity,QingdaoShandongChina266109. 【Abstract】 HistoricalmoviesandTvsarebecomingthesecondwayofhistoryeducationtothepeoplewith themediapriori~andlively expression.Theybringthroughthedullpatternandlimitedknowledgecomparingwiththeco nventionMhistoryeducation.Withthebroad perspectiveandthedemileddescriptionhistoricalmoviesandplaysoffervarioussocialscene sandcolorfulliveofthep~ple,whichbring themthepersonalfeelingofhistory. 【Keywords】HistoricalmoviesandTVsHistoryeducationBreakthrough 中图分类号:(10文献标识码:A文章编号:1812-5867(2007)05—0047一o2 十九世纪的德国历史学家翁肯曾说:"历史是民族的教 师,国民教育的工具和激起爱国思想的武器."对国民进行历 史教育已成为一个国家国民教育不可或缺的组成部分.现代 社会的历史教育主要有两种途径:一是各级各类学校所进行 的历史教学,二是对全体国民进行的历史教育….而随着大 众传媒的蓬勃发展.尤其是近十年来影视历史剧的方兴未 艾,影视媒介已经成为我国公民历史教育的第二课堂,成为 作者简介:柳敏,女,33岁,史学硕士,讲师. 赵丹,女,29岁,史学硕士,讲师. 研究方向:1传媒教育. 2历史教育. 历史教育终身化,普及化的有力方式.影视历史借助其声像 并茂的媒介优势和身临其境的体验方式.突破了学校历史教 育的局限性,成为历史教育重要的补充手段. 勿庸讳言,影视媒介近年对历史题材片的前所未有的投入对于丰富历史教育资源,拓展历史教育途径.普及大众历 史教育功不可没.它突破了学校课堂教育单调的形式,狭隘 的范围,枯燥的内容和灌输的方式.正如论者所言:"至于好 的历史剧对于历史教育或历史教学所产生的作用.往往胜过 好书,视听媒体所带来的感官和心灵之感动是空口白话或白 纸黑字无法比拟的."['各级各类学校的历史教学中也已经 重视并渐次引入影视作品以活化教学内容.和学校历史教育 相比,影视历史拥有更广阔的视角和更精细的描述.