二重积分与多重积分及其应用总结.doc

二重积分与多重积分及其应用总结.doc 二重积分与多重积分及其应用总结 知识要点。 (1) 二重积分 (2) 三重积分 (3) 多重积分的应用。 (4) 三重积分的总结。 一、二重积分 (1) 直角坐标系下的二重积分。(重点) 直角坐标系下的二重积分，积分区域为二维平面。。这种形式的I,f(x,y)dxdy,,D 积分要让x、y取遍所有D上的点(为积分区域)。所以要先让x为常量，取遍y，然后在, 上面的基础上再取遍x。或者先让y为常量，取遍x，然后在上面的基础上再取遍y。(点动成线，线动成面。与这类似。)针对不同的题目选择不同的方式。而这其中的关键就是要找 f(x,y)对积分区域D和正确的目标函数达式。 (2) 极坐标系下的二重积分。(理解，计算是重点) 极坐标系下的二重积分，积分区域同样为二维平面。。这种形式I,f(,,,)d,d,,,D ,,的积分要先取长度的线，然后变角度，就像是扫地一样。或者是角度确定，变长度一样就像是水波的扩散一样。两种不同的方式一样可以取遍积分区域D上的所有点。但是单独拿出来的很少理解即可。 (3)直角坐标系下的二重积分与极坐标系下的二重积分之间的转换(重点)。 积分区域D为圆或圆的一部分是，直角坐标下的积分有时候很难计算，但是化为极 坐标会很简单。这就需要极坐标与直角坐标的相互转换。转换公式如下: y,,sin,x,,cos, f(x,y)dxdy,f(,cos,,,sin,),d,d,,,,,DD 额略长。不过这是省掉积分上下限的。如果在圆域内(尤其是那种圆的一部分)，在直 角坐标下积分的上下限异常麻烦，而且计算量相当之大。但在极坐标系下将很容易。3/16. 二、三重积分 (1) 直角坐标系下的三重积分。(重点)。 直角坐标系下的三重积分，积分区域为三维立体。 。计算I,f(x,y,z)dxdydz,,,D 方式与二重积分无异。就是先固定两个动一个。再固定原先固定的一个，动另一个。最后计算定积分就行了。 (2)柱坐标系下的三重积分。(计算是重点)。 其实就是极坐标系下，再计算一次定积分即可。转换公式为 y,,sin,x,,cos, f(x,y,z)dxdydz,f(,cos,,,sin,,z),d,d,dz,,,,,,DD (3)球坐标系下的三种积分 球坐标系的三重积分常用于积分区域是球(或球的一部分)、圆锥(或锥的一部分)。转 x,,cos,sin,y,,sin,sin,z,,cos,换公式为 2 f(x,y,z)dxdydz,f(,cos,sin,,,sin,sin,,,cos,)sin,d,d,d,,,,,,,,DD 2222x，y，z,r 看起来很麻烦。其实就是 这才是最常用的。 三、三重积分的应用。 (1) 曲顶柱体体积。(二重积分，直接求) 22(2) 曲顶柱体上曲面面积(二重积分，I,1，f，fdxdy) xy,, (3) 惯量，薄片尾二重积分。物体为三重积分。 (4) 质心。 (5) 万有引力。 还有很多，这只是典型的。只要可以用元素法求，就可以用积分的方法。 四、总结。 1、 做积分题是循序渐进的。知识间都是有关联的。 2、 选取适当的坐标系做题。每一种坐标系都必须要会。为下一章打基础。 3、 解积分的题要先看奇偶性，在选取积分方式(坐标系)，最后解题。 4、 做积分题的关键是要搞清区域和目标函数。并且要用恰当的方式将区域表达出来。 以上