高等数学（一）

直接用x代替t. 122例3 已知f(x-1)=x+x+1, 求f() 例4 已知f(x)的定义域为[0, 4]，求f(x)的x,1 解:令t=x-1, 则x=t+1 定义域。 22？f(t),(t，1)，(t，1)，1t,x,y,f(t)解:令 22 ？0,t,4,0,x,4 ,t，3t，3 ？,2,x,21112？f(),()，3()，3x,1x,1x,1 2例5 已知f(x+2)=x-2x+3, 求f [f(2)]. 解法?:令t=x+2, 则x=t-2 解法?:由f(2)可知f(x+2)中x=0 222f(t)=(t-2)-2(t-2)+3=t-6t+11 ? f(2)=0-2×0+3=3 2则f(2)=2-6×2+11=3 则由f [f(2)]=f(3)又可知x=1 22所以f [f(2)]=f(3)=3-6×3+11=2 ? f [f(2)]= f(3)= 1-2×1+3=2 二、反函数 -1已知y=f(x)x=F(y)即y=F(x), 则y=F(x)叫y=f(x)的反函数，可记作f (x). , 1、反函数与原函数的图象关于直线y=x对称。 2、两组反函数 xx(1) y=a与y=loga, 指数函数与对数函数互为反函数。 xxyayay y,a,loga,loga,loga,xloga,loga,x ,,(2) y=sinx与 y=arcsinx (-?x?) 22 xey,例:求的反函数。 x1，e xxxxxy，ye,e,y,e,ye,y,e(1,y)解:由原函数可得 yyyxx,e,,lne,ln,x,ln 1,y1,y1,yxy,ln即反函数为 1,x Sunny Yao - 8 - 高等数学(一)微积分 经济管理类公共课 三、分段函数(关键在分段点) 1.5 几种简单经济函数的建立 价格P，需求量D，产量Q，总收益R，总成本C，总利润L 本中设定需求量与产量为理想状态的关系，即D=Q 一、需求函数:D=D(P) R,P，DR,R(P),,二、总收益函数: ,,,D,D(P)R,R(D),, 三、总成本函数:C=变动成本+固定成本 四、总利润函数:L=R-C DP,10,例:已知需求函数，求R(P), R(D). 2 D解:？P,10,,D,20,2P 2 2R=P×D=P×(20-2P)=-2P+20P D12R,P，D,(10,)，D,,D，10D 22 2?R(P)= -2P+20P 12,D，10DR(D)= 2 第二章 函数的极限、连续性 2.1 函数的极限 一、数列的极限 1、数列:按自然数的顺序排列的一列数，a,a,a？aa. 首项，通项公式。 a123nn1 aaa2、数列的极限:对于，当n?(趋向于)?时，if ?A, 则A叫当n??时的极限。 nnn lima,A记作: n,,n 二、函数的极限 limf(x),A1、对于y=f(x), 当x??时，if f(x) ?A, 则A叫f(x)当x??时的极限， x,, limf(x),Alimf(x),limf(x),A的充分必要条件:，即左右极限存在且相等。 x,,x,，,x,,, limarctanx例:判断是否存在。 x,, 解:由arctanx的图象可知 Sunny Yao - 9 - 高等数学(一)微积分 经济管理类公共课 , 2,当x?-?时， limarctanx,,x,,,2 ,当x?+?时， limarctanx,,x,，,2 2limarctanx所以不存在。 x,, 2、对于y=f(x), 当x?x时, if f(x) ?B, 则B叫做f(x)当x?x时的极限， limf(x),Boox,x0 的充分必要条件:，即左右极限存在且相等。 limf(x),Blimf(x),limf(x),Bx,xx,x，0x,x,0000 1,xx,1, ,f(x),2x,1limf(x)例1 已知，判断是否存在。 ,x,1,x,1x,1, ？lim(1,x),0lim(x,1),0解: ,，x,1x,1 limf(x)?存在 x,1 xlim例2 判断是否存在。 x,0x xxxx？lim,lim,,1lim,lim,1解: x,0,0x,0,0x,0，0x,0，0xxxx, xlim?不存在 x,0x 三、函数的极限的计算 limf(x),A,limg(x),B1、运算法则:已知 x,x(,)x,x(,)00 (1)limf(x),g(x),A,B,,x,x(,)0 (2)limf(x)，g(x),A，B,,x,x(,)0 (3)limKf(x),KA(K是常数) x,x(,)0 mm,,(4)limf(x),Ax,x(,)0 ，，f(x)A当B=0时， A?0，则极限不存在且等于? (5)lim,(B,0),,x,x(,)0g(x)B，，A=0，属于“0/0”型的未定型 2、判别法则 (1)夹逼准则:在x的邻域存在f(x), g(x), w(x)，且g(x)?f(x)?w(x) o Sunny Yao - 10 - 高等数学(一)微积分 经济管理类公共课 xsinif , 则fxA lim(),,lim,1limg(x),limw(x),Ax,xx,0x,xx,x000x 1x(2)单调有界函数必有极限 ,lim(1，),e,,xx 1sin3xsin3x例例2limxsin3lim1lim例x,0x,,sin5xxx,0xsin3x13sin3x,3xsin,lim3xxx,0 ,lim,lim3xx,0x,,sin5x1x,5sin3x,3limx5xx,03x3,1,,35 2tgxx5lim(1,)例例4lim,,xx,0xx x,,(,2)xsin,21x2,lim(1，),lim(1，)xsin1,,,,xxxxcosx,lim,lim,x,0x,0xxxcos,2 ,2xsin1，， ,lim,limxx,0x,0xxcos,,,1,22,lim(1，),e,,,,xx,,,1,2，， 1xarcsinxxn例7lim(1)，x6lim例例8lim2sinx,0nx,0n,,x21txxt,arcsin,,sin令xx,,sin,,nx1nt2,,,lim2,, lim1,，？,lim原式nn,,xx,0x,021,,tsin,,n2x,,1,lim,1,xx,0tsin t,e 1x,2xx9lim(1，)例10lim()例x,,,,x2x，x，2 12222x，,xlim(1),， ,,1(1)x,,x，2xxx,,lim()lim,,,,xx221xx，2，，1(1)(1，)exxx，2,lim,,e,2x,,112e,4(1，),,e22x，e Sunny Yao - 11 - 高等数学(一)微积分 经济管理类公共课 三、一般初等函数求极限 1、当x?x时，if f(x)在x有意义，则极限等于f(x). ooo f(x)在x无意义，则对f(x)进行恒等变换，将f(x)变换为在x有意义oo 或公式的形式。 12、当x??时，利用公式或利用来求极限。 lim,0(P,0)Px,,x 421，x,1x,2x,x,2例3 lim例2 lim例1 limx,0x,162xx,,1x,4xx,2,3 4(1，x,1)(1，x,1)xx(,2)(，1)x,2,lim,lim,limx,0x,,144x,16x(1，x，1)xx(,3)(，1)xx(，2)(,2) xx,21,lim,lim,limx,0x,,14x,3x,16x(1，x，1x，2 3111,,,lim,4x,021，x，14 1,cosx4 lim例例5 lim(，,)xxx2x,0x,，,x (1,cos)(1，cos)xx(，,)(，，)xxxxxx,lim,lim2x,0(1，cos)xxx,，,，，)xxx2sinxx ,lim2每项除以最高次数项x,0,lim()x(1，cos)xxx,，,，，xxx2sin1x,lim,112x,0,lim,1，cosxxx,，,2111，，1,x2 3222xxx5,3,2，1nnn7 lim52，,,例例6 limn,,42x,,xx4,2,12222nnnnnn(52)(52)，,,，，,5321lim,,,，22234n,,nnn52x，，,xxx,lim x,,21n52，4,,nlim(),24每项除以最高次xx22n,,nnn52，，,0,,025，45nlim,,n,, 25211，，,2nn Sunny Yao - 12 - 高等数学(一)微积分 经济管理类公共课 A,0,nm,,B01nn,,Ax，Ax，？，A,01n:lim,0,n,m 公式,1,mm,,xBx，Bx，？，B01m, , ,,,n,m, 四、分段函数求极限(以x?x为例) o 1、如果x不是分段点，则按初等函数定。 o 2、如果x是分段点，则利用充分必要条件。 o 1,x,x,1, ,y,f(x),2,x,1limf(x),limf(x),limf(x)例1 已知，求 ,x,3x,,2x,1,x,1,x,1, limf(x),lim(x,1),2解:(1) x,3x,3 limf(x),lim(1,x),3(2) x,,2x,,2 (3) 当x?1时，1为分段点，利用左右极限存在且相等的充分必要条件: limf(x),lim(1,x),0,limf(x),lim(x,1),0？,,，，x,1x,1x,1x,1 ？limf(x),0x,1 1,x,1,limf(x),limf(x)y,f(x),例2 已知，求 ,x,0x,10,x,1, limf(x),1,limf(x),1(,0或,1都属于x,1)解: x,0x,1 2.2 无穷大量、无穷小量 一、定义:对于y=f(x), 当x?x(x??)时 o if f(x)??, 则称f(x)是当x?x(x??)时的无穷大量。 o if f(x)?0, 则称f(x)是当x?x(x??)时的无穷小量。 o 1sin注:当x?0时，既不是无穷大量，也不是无穷小量，是一个有界函数。 x 1sin当x??时，是无穷小量。 x 二、两者间的关系:当x在同一变化趋势下时，两者互为倒数。 1,0(,)已知当x?x时，如果f(x)??(0)，则 of(x)三、无穷小量的性质 1、有限个无穷小量的和、差、积仍是无穷小量。 Sunny Yao - 13 - 高等数学(一)微积分 经济管理类公共课 2、无穷小量与有界函数的积，仍为无穷小量。 三角函数的角度 ?0时，用公式来求极限。 ??时，把三角函数当成有界函数，配无穷小量来求极限。 1,sin,1xsin1,xx,,limsinlim1()x用公式计算,,,limlimsin0,,x,,x,,x,,x,,1,,xxx (1)(2),,xxsin,,,lim1()公式,x,01,x,xlimsin,0,x,0x, 3、如果, 则在x的邻域内f(x)-A=ω(x)(无穷小量)，即f(x)与A之间相差一个limf(x),Aox,x0 无穷小量。 四、无穷小量的阶次的比较 已知x?x(x??)时，f(x)?0, g(x)?0, 取 o 0,则这两个无穷小量同阶.A1时,两者为等价无穷小量.,,, f(x), limA0,则f(x)比g(x)高阶.,,,x,x(x,,)0g(x),,则f(x)比g(x)低阶.,,, 1sinxcosx例1 当x?0时，比较与x的阶次。 2 1sincosxx1sin1x2解:limlimcos ？,,x,x,0x,022xx ? 两者同阶 例2 当x?0时，比较ln(1+x)与x的阶次。 11，1ln(1x)1xx解,，,，,，,,,:limlimln(1x)limln(1x)limln(1)limlnelne1x,0x,0x,0x,0x,01xx x ？两者为等价无穷小量 2.3 函数的连续性 一、定义:对于y=f(x)在x的邻域内有定义，当x取xΔx时，y=f(xΔx)， 则 oo+o+ lim,y,0Δy=f(xΔx)-f(x). if Δx?0, 则Δy?0, 即, 则称y=f(x)在x连续。 o+oo,x,0 limf(x),f(x) if , 则y=f(x)在x处是连续函数。 ,o0x,x0 Sunny Yao - 14 - 高等数学(一)微积分 经济管理类公共课 由定义可得出函数连续的三个必要条件: (1) y=f(x)在x有意义 o (2)当x?x时，极限存在 o (3)极限等于f(x) o 1、初等函数的连续性 在定义域内一定连续。 2、分段函数的连续性 (1)如果x不是分段点，则当初等函数看待。 o (2)如果x是分段点，则利用由定义得出的三个必要条件来判断。 o 3,x例1 求的连续区间。 y,f(x),ln(x,1) (1)ln(x,1),0,x,2, ,解:(2)x,1,0,x,1？原函数的连续区间为x,(1,2):(2,3] , ,(3)3,x,0,x,,3, 1,x,x,1, ,y,f(x),2,x,1例2 已知，讨论y=f(x)在x=1处的连续性。 , ,x,1,x,1, 解:(1)当x=1时，f(1)=2 limf(x),1,x,0,limf(x),x,1,0,？limf(x),0(2) ,，x,1x,1x,1 ？limf(x),0,f(1),2？y,f(x)在x,1处不连续 x,1 sin2x,,x,0,例3 已知，求a的值，使f(x)在(-?,+?)内连续。 y,f(x),x,x,e，a,x,0, sin2x解:limf(x),lim,2,,x,0x,0x a=1时，f(x)在(-?,+?)内连续 ,xlimf(x),lime，a,1，a，，x,0x,0 二、在闭区间连续函数的性质 1、如果y=f(x)在[a, b]连续，则在[a, b]内能取到最大值max和最小值min。 2、零点存在的原理 y=f(x)在[a, b]连续，且f(a)×f(b)<0，则至少存在x(a, b)，使f(x)=0，x叫零点。 ,ooo Sunny Yao - 15 - 高等数学(一)微积分 经济管理类公共课 5例:求证方程x-5x-1=0在(1, 2)内至少存在一个实数根。 5证明:令f(x)= x-5x-1在[1, 2]连续 f(1)-5 ,f(1),f(2),0f(2)=21 ? 根据零点存在的原理，至少存在x(1, 2)，使f(x)=0 ,oo ? 方程在(1, 2)内至少存在一个实数根。 第三章 导数、微分 3.1 导数 一、定义: y=f(x) 在x的邻域内有定义，当x?xΔx时， f(x)?f(xΔx)， 则Δy=f(xΔx)-f(x). +++ (Δy、Δx分别表示y和x的改变量) ,y if lim存在, 则此极限叫y=f(x)的导函数，简称为导数。 ,x,0,x dydf(x),可用y’, f’(x), 来表示。 dxdx f(x，,x),f(x),:lim,f(x)由定义可得公式,x,0,x f(x，2,x),f(x),,2lim,2f(x),x,02,x f(x,,x),f(x),,lim,,f(x),x,0,x f(x,,x),f(x，,x),,lim,,2f(x),x,0,x fxxfx(，,),()dy00,,1、当x=x时，则fxy，叫y=f(x)在x的导数值。 lim,(),,o00x,xx,x00,x,0xdx, f(x)f(x),0,x，,x,x,lim,f(x)设, 适用于解下述型: 00,x,0x,x0 f(x),x,x,f(x),A0,,if已知y,,求f(x),lim,f(x) ,00x,x0A,x,xx,x0,0 fxxfx(，,),()00lim,1,例1 已知 求f’(x). o,x,0x2, f(x，,x),f(x)100,lim,1,f(x),2解:原式= 0,x,02,x Sunny Yao - 16 - 高等数学(一)微积分 经济管理类公共课 1,xsin,x,0,例2 已知，讨论f(x)在x=0的连续性、可导性。 y,f(x),x, ,0,x,0, 1连续性:limf(x),limxsin,0,f(0),0？x,0x,0解: x ？f(x)在x,0时连续 f(x),f(x)0,可导性:？lim,f(x)0x,x0x,x0 1xsin1xlim,limsin(极限不存在) x,0x,0xx ？f(x)在x,0不可导 2、几何意义:f’(x)是函数y=f(x)的图象上过点x的切线的斜率。 oo 切线方程:y - y=f’(x)(x- x) ooo 1法线方程: y,y,,(x,x)00,f(x)0 、f’(x)存在的充分必要条件:f’(x-0)= f’(x+0)即左右导数相等。(分段函数在分段点求导3，ooo 数才需用此充要条件) 4、函数连续不一定可导，可导则一定连续。 函数有极限不一定连续，连续则一定有极限。 二、求函数的导数 1、利用定义推出求导公式(见书P.108) 、运算法则 2 ,,,(1)[f(x),g(x)],f(x),g(x) ,,,(2)[f(x),g(x)],f(x),g(x)，f(x),g(x) ,,(3)[Kf(x)],Kf(x) ,,,，，g(x)g(x),f(x),g(x),f(x)(4),,,2f(x)f(x)，， 2x例1 已知y=(x+3e)(sinx-1)，求y’ 2x2x解:y’ =(x+3e)’(sinx-1)+ (x+3e) (sinx-1)’ 2x2x=[(x)’+(3e)’] (sinx-1)+ (x+3e) (sin’x-1’ ) x2x=(2x+3 e) (sinx-1)+ (x+3e)cosx Sunny Yao - 17 - 高等数学(一)微积分 经济管理类公共课 x，1例2 已知y,，求y’ lnx 1lnx,(x，1),,(x，1)lnx,(x，1)lnxxlnx,x,1x, 解:y,,,222lnxlnxxlnx 2例3 已知过曲线y=x-3x上一点的切线与已知直线y=3x-1平行，求切点的坐标。 12 2解:? y’=(x-3x)’=2x-3=K(切线的斜率) 切11 y’=(3x-1)’=3=K切22 又? y与y平行，? K=K 切切1212 ? 2x-3=3x=3 , 2当x=3时，y=x-3x=0, 所以切点的坐标为(3, 0) 1 1y,例4 求过曲线上一点(-1, 1)的切线方程、法线方程。 32x 5,223,,解:？y,,x？当x,1时,y,,x,,133 2？切线方程为y,1,,(x，1) 3 3法线方程为y,1,(x，1)2 2,x,x,0y,f(x),例5 讨论在x=0时的可导性。 ,xx,,0, 2解:? f’(0-0)=x’=1, f’(0+0)=(x)’=2x=0 左右导数不相等 ? f(x)在x=0时不可导 例6 已知y=f(x)=?x?，判断f’(0)是否存在。 ,x,x,0, ,解:y,f(x),0,x,0, ,x,x,0, ,,,？f(0,0),(,x),,1,f(0，0),x,1左右导数不相等 ,？f(0)不存在 Sunny Yao - 18 - 高等数学(一)微积分 经济管理类公共课 例7 已知y=f(x)=x(x-1) (x-2) (x-3) (x-4)，求f’(0) 解:f’(x)=x’ [(x-1) (x-2) (x-3) (x-4)]+x[(x-1) (x-2) (x-3) (x-4)]’ (将后四项视为一个整体) =[(x-1) (x-2) (x-3) (x-4)] +x[(x-1) (x-2) (x-3) (x-4)]’ f’(0)=(0-1) (0-2) (0-3) (0-4)+0×[(x-1) (x-2) (x-3) (x-4)]’=24 注:此题型只会在选择题中出现 3、复合函数求导 dydydu,y,,,y=f(u), u=g(x) y=f [g(x)] ， ,dxdudx 10例1 y=sin2x，求y’ 例2 y=(ax+b), 求y’ 99解: y’=sin’ 2x×2x’ =2cos2x 解: y’=10(ax+b)×(ax+b)’ =10a(ax+b) ,例3y,lnsinx,求ycosx,例4y,2,求y 1cosxcosxcosx,,解:y,,sinx,,cotx,,解:y,2ln2,cosx,,2sinxln2sinxsinx 2,例5y,ln(x，1，x),求y,x,例6y,esin3x,求y 12,,解:y,,(x，1，x)2x，1，x,x,x,,,解:y,(e)sin3x，esin3x 112, ,,[1，,(1，x)]22x，1，x21，x,x,x,,,e(,x)sin3x，ecos3x,(3x)211，x，x,,22,x,xx，1，x1，x,,esin3x，3ecos3x 1,21，x 2,,例8y,cos(ax，b),求y例7y,ln(secx，tanx),求y 1,,解:y,2cos(ax，b),cos(ax，b),,解:y,,(secx，tanx)secx，tanx,,2cos(ax，b),[,sin(ax，b),(ax，b)] 12,2cos(ax，b),[,sin(ax，b),a],,(secxtanx，secx) secx，tanx,,2asin(ax，b)cos(ax，b) ,,asin2(ax，b),secx 4、隐函数求导 dy,y,以二元方程F(x, y)=0为例，求 dx Sunny Yao - 19 - 高等数学(一)微积分 经济管理类公共课 (1) 两边分别以x作为变量求导 (2) 在求导过程中，如果有y存在，则把y当作中间变量，先对y求导，再乘以y’ (3) 解出y’的表达式 yy,,例1已知y,1，xe,求y例2e,cos(x，y),求yx,0 y,,解:e,y,,sin(x，y),(x，y)解:两边分别对x求导,得 yyyyy,,,,,,e,y,,sin(x，y),(1，y)y,xe，x(e),e，xe,y yyy ,,,,e,y,,sin(x，y)，[,sin(x，y),y]y,xe,y,e yy,,e,y，sin(x，y),y,,sin(x，y)e,y,y1,xesin(x，y),y,,y,？x,0时,y,1,？y,ee，sin(x，y)x,0 ,例3xy，lnx，lny,1,求y 11,,解:y，x,y，，,y,0xy 11,y(x，),,y, yx 1y，yx,y,,,,1xx，y 5、对数求导法 g(x),(1) 形如: yfxy,(),求 g(x)等式两边分别开对数:lny,lnf(x),lny,g(x)lnf(x) 1g(x),,,,两边分别对x求导:,y,[g(x),lnf(x)],y,f(x),[g(x),lnf(x)](公式)y 11xx,例1y,()，x,求ysinx,yxyx例2,,求 1sinx111,,yxxx解:,,(sin,ln)xx,,,解:y,(),(x,ln)，x,(,lnx)xxx1sinx xxxx,,(cosln，sin)11lnxxxx,,,(),(x,,lnx)，x,()xsinxxsinx,(cosln，)xxx1x11,lnxxx,(),(,lnx,1)，x,2xx (2) 多个因式的积、商、幂的运算 Sunny Yao - 20 - 高等数学(一)微积分 经济管理类公共课 (x,1)(x,2)1,x,3y,,y例求4,例4y,x,,求y(3,x)(4,x)1，x 11241,x，，,,(x,1)(x,2)解:lny,lnx，ln,,:lny,ln解,,1，x(3,x)(4,x),,，， 11lny,lnx，[ln(1,x),ln(1，x)]lny,ln(x,1)(x,2),ln(3,x)(4,x),,24 111111,,y,，(,,),,lny,ln(x,1)，ln(x,2),ln(3,x),ln(4,x)yx21,x1，x4 111111111，，,,y,，,,y,，，，,,yx(x,1)(x，1)y4x,1x,23,x4,x，， 21,xx，x,1(x,1)(x,2)11111，，,y,x,,,4y,,，，，,,1，x(x,1)(x，1)(3,x)(4,x)4x,1x,23,x4,x，， 、反函数求导 6 已知y=f(x)与u=q(v)互为反函数，则他们的导数互为倒数。 7、参数求导法 dy x,x(t),dydydtdt,y,,,,形如，t为参数， ,dxdxdtdxy,y(t), dt xacost,,,,:,y例已知求,t,y,bsint,4 dy ,bsintbcostbdt,:ycott,,,,, 解dx,acostasinta, dt b,b,？,,,,ycot,t,a4a4 3.2 高阶导数 dy,,y,f(x),y,f(x),,一、定义:已知 dx 2dy,,,,,,[f(x)],f(x),y,(二阶)2dx 3dy,,,,,,,,,[f(x)],f(x),y,(三阶)3 dx ？ ndy(n)(n),,y,f(x),y,(n阶)ndx Sunny Yao - 21 - 高等数学(一)微积分 经济管理类公共课 二、计算 1、求有限次的导数 2,,例2y,ln(x，4，x),求y2x,0,,例1y,ln(1，x),求yx,0 1x12x,解:y,,(1，),,解:y,2222x，4，x4，x4，x1，x 22,,,2x(1，x),2x(1，x)13,,，，,,1 y,222222,,y,(4，x),,(4，x),2x(1，x),,2，，2222(1，x),4x2,2x3,,,222222(1，x)(1，x),,x(4，x),,？y,2,,？y,0x,0x,0 (n)(n)2、求y:根据有限阶次求导的特点，归纳出y的表达式。 (n)n(n)(2)y,lnx,y求(1)y,x,求y n,11,1,解:y,nx,:y,,x解xn,2,,y,n(n,1)x,2,,y,,xn,3,,, y,n(n,1)(n,2)x,3,,,y,2x？,4,,,,y,,3,2x(n),y,n!(n阶时,x的指数为0),5,,,,,(n，1)y,4,3,2x,y,0(n!是常数) ？ (n)n,1,n,y,(,1)(n,1)!x x(n)(3)y,e,求y (n)xax(n)nax解:y,e另y,e,y,ae (n)(n)求求(4)y,sinx,y(5)y,cosx,y ,, ,,解解:y,cosx,sin(x，):y,,sinx,cos(x，)22,, ,,,,y,,sinx,sin(x，2,)y,,cosx,cos(x，2,)22 ,, ,,,,,,y,,cosx,sin(x，3,)y,sinx,cos(x，3,) 22 ,,,,,,,,,,y,sinx,sin(x，4,)y,cosx,cos(x，4,)22 ？？ ,,(n)(n),y,sin(x，n,),y,cos(x，n,)22注:其中三角函数的转换详见三角函数的诱导公式。 Sunny Yao - 22 - 高等数学(一)微积分 经济管理类公共课 3.3 函数的微分 一、定义:已知y=f(x)在x的邻域内有定义，如果f’(x)存在，则称f’(x)?x叫y=f(x)的微分。 记作:dy=df(x)= f’(x)?x (?x是常数，此公式常用于应用题的解答)。 二、几何意义 当??x?很小时，?y?dy，且?y与dy间相差一个比?x高阶的无穷小量。 三、当?x趋向于0时，?x=dx，dy=f’(x)dx (此公式常用于计算题的解答) 四、微分与导数互为充分必要条件 五、求微分:求出导数后再乘以dx即可。 六、应用:(求函数的近似值) 公式:f(x) ?f(x)+ f’(x)?x (x= x+?x) ooo 当?x?<< 1时(表示x是一个非常小的正数，<<读作小于小于)，f(x)?f(0)+ f’(0)x 4例1求1.001的近似值 4 解:令y,f(x),x 14当x,1.001时,f(1.001),1.001,1，，0.001,1.000254 x例2当x,,1时,求e,ln(1，x) x00 解:e,e，e,x,1，x 1ln(1，x),ln(1，0)，,x,x1，0 3.4 导数在经济学中的应用 一、边际函数 已知y=f(x)，则f’(x)叫f(x)的边际函数，f’(x)叫f(x)的边际函数值。 o 意义:f’(x)是y=f(x)在x的邻域内当?x=1时函数值的改变量。 oo 1、边际成本函数 dCdC已知总成本函数C=C(Q), 所以叫边际成本函数，叫边际成本函数值。 Q,Q0dQdQ 2、边际收益函数 dRdR已知总收益函数R=R(D)，所以叫边际收益函数，叫边际收益函数值。 D,D0dDdD 1P,20,D例:已知某产品满足需求函数，求当D=15时的总收益，平均收益，边际收5 益。 Sunny Yao - 23 - 高等数学(一)微积分 经济管理类公共课 RPD,,1,2解？RDD:,,,，201,5PD,20,,5, 当D时RR,15,,255,,17 dRdR2,,D，20,,14D,15dDdD5 二、函数的弹性 ,xx,x，,x定义:对于y=f(x)在x的邻域内有定义，时，相对变化率为，，y,y，,yx y, y,y,iflim相对变化率为存在，此极限叫函数y=f(x)的弹性函数，ε(y对x的弹性函数)。 yx,x,0,xy x 1、当x=x时，ε?x=x，叫做在x的弹性函数值或弹性系数。 oyxoo yx,,2、意义:当??x?很小时， ,,,yxyx 3、弹性函数的计算 ,y ,yxx,yy,改变的是和当作常数,lim,lim,,lim(,x,xy)yx,,0,,0,,0xxx,xy,xy,x x xx,,？,,,f(x),,f(x)yxyf(x) 4、需求价格的弹性 PdD,,,,已知需求函数D=D(P), 则 (经济学中规定前加负号,这样,需求价格弹性取正值) DPDdP (1) 如果ε>1，当P下降1%时，D上升大于1%，R上升，则该商品是具有弹性的DP 商品。(应降价) (2) 如果ε<1，当P下降1%时，D上升小于1%，R下降，则该商品是不具有弹性DP 的商品。(应升价) (3) 如果ε=1，则该商品叫做单位弹性的商品。 DP PD,10,例:已知某商品满足需求函数，求 2 (1)ε DP (2) 当P=3时，ε的值 DP (3) 当P=3时，如果P上升1%，R是上升还是下降，它将改变多少, Sunny Yao - 24 - 高等数学(一)微积分 经济管理类公共课 ,1PdDPP解:(1),,,,,,(,),DPPDdP220,P10,2 ,3当时(2),3,,PDP17 ,3？当上升时上升(3),,1,1%,PR,3DPP17 ,，RPD,1,2？,R,,P，10P,P2,10,D,2, PdRP10,P,,,,,(,P，10),RP11RdP2,P，10P10,P22 7,？,,3RPP8.5 ,R,P7？,,,,，1%,0.82%RP RP8.5 第四章 导数的应用 4.1 微分学的中值定理 一、罗尔定理(求最大值、最小值) 已知函数y=f(x)在[a, b]内连续，在(a, b)内可导，且f(a)=f(b)，则至少存在x(a, b)，使f’(x)=0 ,oo由定理可推出:函数y=f(x), x(a, b), f’(x)=0, 则 f(x)=C (常数)。 , 二、拉格朗日中值定理(函数的单调性) f(b),f(a),f(x),已知函数y=f(x)在[a, b]内连续，在(a, b)内可导，则至少存在x(a, b)，使 ,o0b,a三、柯西定理(求极限) 已知函数y=f(x)、y=g(x)在[a, b]内连续，在(a, b)内可导，则至少存在x(a, b)，使,o,f(x)f(b),f(a)0, ,f(x)g(b),g(a)0 例1 判断下列函数在[-1，1]内是否满足罗尔定理。 1(1)y,f(x),满足21，x 32(2)y,x不可导 (3)y,x不可导 (4)y,xx,0 32例2 已知y=f(x)=x+4x-7x-10在[-1，2]内满足罗尔定理，求使f’(x)=0中x的值。 ooSunny Yao - 25 - 高等数学(一)微积分 经济管理类公共课 2,,:()387解y,fx,x，x, 23870令x，x,, 437437,，,, :,(,)解方程得x,x,不在定义域中舍去1233 ,4，37？x,x,013 4.2 导数的应用 一、罗必达法则(利用柯西定理，求未定型函数的极限) 0,未定型:“0/0”、“?/?”、“0•?”、“?-?”、“”、“0”„„ 1 1、“0/0”型(“?/?”型) ,fxfxfx()()()fx,gx,,形如lim,且()0,()0,则limlimx,xx,xx,x000,gxgxgx()()()x,,x,,x,, ,,fx(),,(如求导后分式上下仍都0,则再次使用罗必达,即再次求导)lim？x,x,,0gx()x,, 321，x,1x例2lime,1xx,0例1lim,ecosx1，x,12x,0x3lim例2,0xxxsin2,1x3,(e,1)(1，x)x,lim，esinx132x,0 ,lim,lim(),(x)1x,0x,0,，sinxxcosx0122xx(1，)e,2x2,limx,0x22,,,,13 lnsin3xx,x4例6lime,e,2xx,2，x,0lnsin5x例5lim例4limx,0,x16xx,sinx,41x,x,cos3,3x3e，e,2,1sin3x,lim4,limxx,0，1,cosxx,014,cos5,5x,limx,x1,x16e,esin5x,12,lim xx,03cot33tan5xxsinx2,lim,limx,x，，1x,x,005cot55tan3xxe，e,1,lim4x,limx,01xcos,16x2,523,2cos5x1,lim,1，,x,015,342cos3x 2、“0•?”型 Sunny Yao - 26 - 高等数学(一)微积分 经济管理类公共课 fx(),lim(0/0),x,x10x,,,gx(),fxgxfxgxfxgx ,,,,,,lim[()()],()0,(),lim()()形如且则,x,xx,x00gx(),x,,x,,,,lim(/)x,x,10x,,,fx(), 1k1lim,ln(,0)2例xxk2x，例2limx(e,1)x,0x,,11122,3xxlnxe,1e,(,2x)x,lim,lim,lim,lim,k,k,1，， ,2,3x,0x,0x,,x,,,xkxx,2x 1111k，1k2,,lim,,,limxxx，，e,limx,0x,0kxkx,, ,0,1 3、“?-?”型 lim[f(x)g(x)],f(x),g(x),,,,,,形如且x,x0x,, 11，，, ,,11g(x)f(x)lim[f(x)g(x)]limlim,,,,则,,x,xx,x11x,x11000,,,x,,x,,x,,,,f(x)g(x)f(x)g(x)，， x1xx7lim(tan,sec)例,8lim(),例x,x,12x1lnx, xxsin1sin,1xlnxx1,，,lim(,),lim lim,,,x,1xxxcoscoscosxx(,1)lnx,x,22 1xcos,lim,0xln，1,11x,x,sinx,,,,limlim2x,x,111112lnx，(x,1)，2xxx 0,14、“”型(“0”型) limg(x),lnf(x)x,x0g(x)g(x)x,,形如limf(x),且f(x),1or0,g(x),,or0,则limf(x),e x,xx,x00x,,x,, Sunny Yao - 27 - 高等数学(一)微积分 经济管理类公共课 sinx9limx例x,0 1 lnxxlimlim2x,0x,011sinxsinxsinx,,,,,cosxlimlimlimsinxlnx2x,0x,00sinxsinxxcosxxcosxx,0,e,e,e,e,e,e,1 二、函数的单调性 ,,iff(x),0,则f(x)在(a,b)内单调增,。 1、定义:对于y=f(x)，x(a, b)， ,,,iff(x),0,则f(x)在(a,b)内单调减,。, 2、讨论y=f(x)在定义域Df内的单调性 ,(1)求导数f(x) x,Df,1, (2)令f(x),0,取交集, 在该集合里单调增,。,x,Df, ,xDf,1,(3)令(),0,取交集， 在该集合里单调减,。fx,x,Df, 32例1 讨论y,f(x),x,3x,9x，41的单调性(x,R). 22,解: (1) y,3x,6x,9,3(x,2x,3),3(x,3)(x，1) ,(2) 令 f(x),3(x,3)(x，1),0,x,3 or x,,1 ？ 当 x,3 or x,,1 时， f(x) 单调增, ,(3) 令 f(x),3(x,3)(x，1),0,,1,x,3 ？ 当 ,1,x,3 时， f(x) 单调减, 例2 求证: 当 x,0 时， arctanx,x 证明: 令 f(x),arctanx,x 21,x,？f(x),,1,,022 1，x1，x ？当 x,0 时， f(x) 单调减 ？当 x,0 时， f(x),f(0),0 ？当 x,0 时，arctanx,x,0,arctanx,x 三、函数的极值(极大值、极小值) 1、定义:if y=f(x)在x处取极值，且可导，则f’(x)=0, x叫做极值点。 ooo2、求极值(利用一阶导数列表求极值) (1) 求f’(x)，使f’(x),0，得解xx(驻点) ，12 Sunny Yao - 28 - 高等数学(一)微积分 经济管理类公共课 (2) 找出f’(x)不存在的点x3 (3) 列表: x (-?, x) x (x, x) x (x, x) x (x, +?) 111222333f’(x) - + - + 如果f’(x)的符号如上表所示: 所以 当x= x时，y=f(x) 极小11 当x= x时，y=f(x) 极大22 当x= x时，y=f(x) 极小33 3、求极值(利用二阶导数求极值) (1) 求f’(x)，使f’(x),0，得解x 0 (2) 求f’’(x) ,,iffxx(),0,则在取极小值。,00 ,,,iffxx(),0,则在取极大值。(3) 将x代入f’’(x)中，求f’’(x)的值， 000,00 ,,,iffx(),0,无法确定。0, 注:函数不存在导数值不存在的点时，利用二阶导数求极值，否则只能用列表法求极值;如 利用二阶导数求极值时出现无法确定的情况时，也只能用列表法来求极值。 32例1 求y=f(x)=x-3x-9x+11的极值。 2解:(1)y’=f’(x)=3x-6x-9=3(x-3)(x+1) 令3(x-3)(x+1),0，得解x,3， x,-1 12 (2)y’’=6x-6=6(x-1) (3)当x=3时，f’’(3)=12>0，所以当x=3时，y= -16 极小 当x= -1时，f’’(-1)= -12<0，所以当x= -1时，y= 16 极大 223例2 求 ()(2)的极值。y,fx,x,x 41,x,,,解: (1) (), 令 ,01，0，2y,fx,,y,x,x,x, 1231323(2)x,x (2) 列表: x (-?, 0) 0 (0, 1) 1 (1, 2) 2 (2, +?) f’(x) - + - + 注:在各个区间选有特点发数代入f’(x)即可得知该区间的符号 所以， 当x=0时，y=0 极小 当x= 1时，y=1 极大 当x= 2时，y=0 极小 Sunny Yao - 29 - 高等数学(一)微积分 经济管理类公共课 四、函数的最值 1、根据唯一的极值可得最值，即唯一的极值就是最值。(应用题) 2、在闭区间〔a, b〕内求最值。 (1) 求所有可能的极值点 (2) 检验求出的极值点是否在〔a, b〕内 (3) 求出各极值点与端点a, b的函数值再比较，得出最值 3、最值的应用(经济学中的应用)(总利润的最大值) (1) 设变量 (2) 建立函数关系式 (3) 求导数，找出驻点，利用二阶导数，求极值，求最值 131 ()(), (0) 1, 6 例求函数y,fx,，xx,在〔〕上的最值。 8x 13,, (1) (1), 03, 3 ()解:y,,，令y,,x,x,,舍去1228x 1313(2) f(1),, f(3),, f(6), 2416 133？y,y,, maxmin164 例2 已知一边长为2a的正方形铁皮，现将四个角分别剪掉四个大小相同的小正方形，再将四边折起，做一个无盖的长方体的盒子，问小正方形的边长为多少时，盒子的体积最大, 2322解: (1) 设小正方形的边长为 x，则V,(2a,2x),x,4x,8ax，4ax 22,(2) V,12x,16ax，4a,4(3x,a)(x,a) a ,令V,0,x,, x,a (舍去，不合实际意义)123 a？ 当边长为时，盒子的体积最大 3 例3 某工厂生产某种产品，每批至少5(百台)，最多20(百台)，如生产x(百台)时的总 1322成本，可得收入R(x)=20x-x，问每批生产多少时总利润最大, C(x),x,6x，29x，15 3 Sunny Yao - 30 - 高等数学(一)微积分 经济管理类公共课 1123232解: (1)？L,R,C,20x,x,x，6x,29x,15,,x，5x,9x,15 33 2,,(2)L,,x，10x,9,令L,0,x,9,x,1(不合题意，舍去) 12 ,,,,(3)L,,2x，10,当x,9时，L,,8,0 ？当 x,9 时， 取极大值 例4 设某商品每周生产x单位时总成本C(x)=100+2x，该产品的需求函数为x=800-100P，求能使利润最大的P值。 Sunny Yao - 31 -