北京崇文门数学
北京市崇文区2009—2010学年上学期高二年级期末考试
数学试卷(理科)
2010.1
本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分,共100分。考试时间120分钟。
第I卷(选择题,共40分)
一、选择题:(本大题共10小题,每小题4分,在每小题给出的四个选项中。只有一项是符合题目要求的。)
1(按照程序框图(如下图)执行,最后输出的S=( )
A(1 B(4 C(9 D(16
222(双曲线x,3y=3的渐近线方程为( )
31y,,xy,,x33A( B.
y,,3xy,,3xC( D(
3(在[0,100]上任取实数,则实数x不大于20的概率为( )
1114
2355 A. B( C( D(
x,,y,04(方程表示的曲线是( )
654325(用秦九韶算法计算多项式f(x)=3x+4x+5x+6x+7x+8x+1,当x=0.4时的值,需要做乘法和加法的次数分别是( )
A(6,6 B(5,6
C(5,5 D(6(5
22xy,,1mm,26. P:方程表示椭圆,Q:m>2,则P是Q的( )
A(充分不必要条件 B(必要不充分条件
C(充要条件 D(既不充分也不必要条件
27(已知点A(1,2)是抛物线C:y=2px与直线l:y=k(x+1)的一个交点,则抛物线C的焦点到直线l的距离是( )
23222222 A( B( C( D. 8(已知命题P:“非空集合M中的任意一个元素都是集合N中的元素”,若命题P是假命题,以下命题中正确的是( )
A(M中的元素都不是N中的元素
B(M中存在不属于N的元素
C(N中存在一个元素不属于M
D(M中只有一个元素是N中的元素
2222yxyx,,1,,1412449(椭圆与双曲线的( )
A(y的取值范围相同 B(顶点个数相同
C(焦距相同 D(离心率相同
10(在抛掷一枚骰子的试验中,下列事件与“掷出的点数为3的倍数”互斥且不对立的事件是( )
A(掷出的点数为偶数
B(掷出的点数不是3的倍数
C(掷出的点数为1或2
D(掷出的点数为奇数
第II卷(非选择题,共60分)
二、填空题:(本大题共6小题,每小题3分,共18分。)
11(一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人,并根据所得数据画了样本的频率分布直方图(如下图),为了
居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系,要从这10000人中再用分层抽样
抽出160人作进一步调查,则在[1500,2000)(元)月收入
段应抽出________________人。
12(已知x、y的取值如下表:
x 0 1 3 4
y 2.2 4.3 4.8 6.7
,
y,0.95x,a从散点图分析,y与x线性相关,且回归方程为,则a=______________________。
,
y,bx,aa,y,bx(注:对于直线回归方程,其中。)
13(若空间向量a=(a,3a+2,,3),b=(1,2,a+b),a//b,则a,b=_________________。 14(已知某运动员每次投篮命中的概率低于40,,现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率,先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数,指定1,2,3,4表示命中,5,6,7,8,9,0表示不命中,再以每三个随机数为一组,代表三次投篮的结果。经随机模拟产生了20组随机数:
907 966 191 925 271 932 812 458 569 683
431 257 393 027 556 488 730 113 537 989
据此估计,该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为_______________________。 15(已知正方形ABCD,则以A、B为焦点,且过C、D两点的双曲线的离心率为_____________。
22xyC:,,19516(已知椭圆的右焦点为F,点P是椭圆C上任意一点,O为原点,则
22|OP|+|PF|的最大值为_______________________。
三、解答题:(本大题共5小题,共42分。解答应写出文字
,证明过程或演算步骤。)
17((本小题满分6分)
2x,mx,1,0 已知命题P:关于x的方程有两个不等实根:命题Q:关于x的方程
2mx,mx,1,0(m,0)无实根。
(I)若命题Q是假命题,求实数m的取值范围;
(II)若命题P是假命题,命题Q是真命题,求实数m的取值范围。 18((本小题满分9分)
某次考试甲、乙两名学生八门课程(语文、数学、英语、物理、化学、生物、地理、历史)的成绩如下:
甲生:81,87,65,9l,83,78,82,73(
62,93,59,78,67,58( 乙生:71,88,
(I)将这两组数据用茎叶图表示;
(II)结合茎叶图说出甲生、乙生成绩的中位数,并结合八门课程的成绩分布情况比较哪名学生的成绩较好,哪名学生的成绩较均衡;
(III)分别求出两名学生八门成绩的方差,并据此说明哪名学生的成绩较均衡(
19((本小题满分6分)
有大小相同的5个小球,其中有3个黑球2个白球,从中随机取出两个小球。
(I)求取出的两球都是黑球的概率;
(II)求取出的两球中含有白球的概率。
20((本小题满分9分)
已知PA垂直于矩形ABCD所在平面,PA=1,AB=1,AD=2,点E是BC中点,
(I)求异面直线DE与PC所成角的余弦值;
(II)求PE与平面PDC所成角的正弦值;
(III)求二面角B—PC—D的余弦值。
21((本小题满分12分)
2
72已知椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,离心率为,点A(,1)在椭圆C
上。
(I)求椭圆C的方程;
(II)直线l与椭圆C交于不同的两点M、N,点B(1,1)是线段MN的中点,求直线l的方程;
(III)如图,以椭圆C的长轴为直径的圆上有一动点P(m,n),且点P异于长轴端点,过点P作一条直线与椭圆C相切于点Q(m,n),m
标准
2010.1 一、选择题:(本大题共10小题,每小题4分。共40分。)
1(C 2(A 3(C 4(C 5(A 6(C 7(B 8(B 9(C 10(D
二、填空题:(本大题共6小题,每小题3分,共18分。)
11,2 11(32; 12(2.6; 13(;
2,114(0.25; 15(; 16(34
三、解答题:(本大题共5小题,共42分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。) 17((本小题满分6分)
解:(I)?命题Q是假命题,
2?mx,mx+1=0有实根 1分
2则?=m,4m?0,解得m?0或m?4 2分
又知m?0,?m?(,?,0)?[4,+?) 3分
2(II)?命题P是假命题,?m,4?0,解得,2?m?2(
2又?命题Q是真命题,则m,4m<0,解得0
S,所以甲的成绩较均衡( 9分 乙甲
((本小题满分6分) 19
解:从5个球中任取两个共有10种取法,其中都是黑球共有3种取法:
3p,,0.3110 (I)取出的两球都是黑球的概率为 3分
(II)事件“取出的两球含有白球”与事件“取出的两球都是黑球”是对立事件,所以
p,1,p,0.721取出的两球含有白球的概率为 6分
20((本小题满分9分)
解:以点A为原点O,以直线AB、AD、AP分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系Oxyz。
,,
DE,(1,,1,0)PC (I)D(0,2,0),E(1,1,0),,P(0,0,1),C(1,2,0),=(1,2,,1)
,,,,DE,PC1,23?|cos,DE,PC,|,,,,,62,6|DE|,|PC|
3
6 异面直线DE与PC所成角的余弦值为 3分
,,,
PCPE,PD (II)(1,1,,1),=(1,2,,1),=(0,2,,1)
设平面PCD的一个法向量n=(a,b,c)
,,
PC,n,a,2b,c,0,PD,n,2b,c,0 则
a,0,c,2 令b=1,则
n,(0,1,2)
,,PE,n1,215|cos,PE,n,|,,,,153,5|PE|,n
15
15 ?PE与平面PDC所成角的正弦值为 6分
,,,
BC,AD,(0,2,0),PC,(1,2,,1) (III)
n,(x,y,z)1 设平面PBC的一个法向量
,,
BC,n,2y,0,PC,n,x,2y,z,011 则
x,,1 令
y,0,z,,1,n,(,1,0,,1)1 则
210,n(0,1,2),cosn,n,,,,,,1525, 又平面PCD的一个法向量
10,5 ?二面角B—PC—D的余弦值为 9分
21((本小题满分12分)
c2,2222a,2c,2(a,b)a2 解:(I),则
22a,2b 即 2分
22xy,,1222bb 设椭圆C的方程为
71,,1222bb 依题意,得
92b,2 解得
22x,2y,9 ?椭圆C: 4分
M(x,y),N(x,y)1122 (II)设,则有
22,x,2y,9?,11,22,x,2y,9?,22 22,2,,(x,x),2y,y,0 ?,?得 1212
y,yx,x1212,x,x,2(y,y)1212 即
?点B(1,1)是线段MN的中点
x,x,2,y,y,21212 ?
1k,,2 ?直线l的斜率 6分
1y,1,,(x,1)2 ?直线l的方程为
x,2y,3,0 即
经检验此方程符合题意。 8分
y,n,k(x,m) (III)设直线PQ的方程为
y,kx,(m,km) 即
y,kx,(n,km),
,22x,2y,9, 由
22,,x,2(kx,(n,km)),9,0 消去y,得
222(1,2k)x,4k(n,km)x,2(n,km),9,0 整理,得,(*) 9分
2222,,,,16k(n,km),4(1,2k)2(n,km),9,0 依题意
222(18,2m)k,4mnk,9,2n,0 22m,n,9 ?,
9222nk,2mnk,,n,02?
9932222(nk,m),,n,m,0,(nk,m),,kn,,,m222 10分 m,m1 ?
4k(n,km)22m,,,m,,2kn,2km,m,2km122(1,2k)m,2kn,0?由(*)式得,
63kn,,mm,,2m,0
22m,32,3,m,3 当时,,,与矛盾
3kn,,,m
2 ?
3,,m
2k,m,0n ?,即 11分
3,,F,0,P(m,n),,
2,, ?
3,,mnn2k',,k',k,,,,133nm,m,
22 ?当直线PF的斜率k’存在时,
?PF?PQ
33,,3,,,,,Q0,,,,,,
222,,,,?当直线PF?x轴时,点P坐标为,点,直线PQ与椭圆C相切,且与x轴平行
?PF?PQ 12分
注:由于篇幅所限,各题都只给了一种解法,其他的解法请参照本评分标准酌情给分。
年级 高二 学科 数学 版本 期数 标题 北京市崇文区2009—2010学年上学期高二年级期末考试数学试卷(理科)(通用
版)
分类索引 G.622.475 分类索引描述 统考试题与题解 号
主题词 北京市崇文区2009—2010学年上学期高二年级期末考试栏目名称 名校题库
数学试卷(理科)(通用版)
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