高中数学不等式证明常用方法

高中数学不等式证明常用 中学证明不等式的常用方法 所在学院:数学与信息技术学院 专 业: 数学与应用数学 姓 名: 张俊 学 号: 1010510020 指导教师: 曹卫东 完成日期: 2014年04月15日 摘 要 本文主要是对高中学习阶段不等式证明方法的概括和.不等式的证明方法多种多样,其中有比较法,法,综合法,反证法,数学归纳法,放缩法等常见的方法,另有一些学生比较不熟悉但也经常采用的方法,如构造法,向量法,求导法,换元法等等. 关键词: 不等式的证明;函数的构造;极值;导数 ABSTRACT This paper is mainly on the high school stage the inequality proof method and summarized. The inequality proof methods varied, including comparison, analysis, synthesis, reduction to absurdity, mathematical induction, scaling and other common methods, and some students are not familiar with but also the methods used, such as construction method, vector method, derivation method, method and so on. Key words: The inequality proof; function; extreme value; derivative 目 录 1.构造函数法 ?????????????????????????????????????????1 1.1 移项法构造函数 ?????????????????????????????????1 1.2 作差法构造函数 ?????????????????????????????2 1.3 换元法构造函数 ?????????????????????????????2 1.4 从条件特征入手构造函数 ??????????????????????3 1.5 主元法构造函数 ??????????????????????????????????3 1.6 构造形似函数 ????????????????????????????????????4 2.比较法 ?????????????????????????????????????????????4 2.1 作差比较法 ??????????????????????????????????????4 2.2 作商比较法 ??????????????????????????????????????5 3.放缩法 ????????????????????????????????????????????5 4.判别式法 ????????????????????????????????????????????6 5.反证法 ????????????????????????????????????????????7 6.向量法 ???????????????????????????????????????????8 7.不等式证明的具体应用 ????????????????????????????????9 参考文献 ??????????????????????????????????????????????11 江苏第二师范学院2014届本科生毕业(论文) 众所周知,生活中存在着大量的不等量关系.不等量关系是基本的数学关系,它在数学研究与应用中起着不可忽视的作用,因此,研究不等式的方法至关重要,许多数学家在这一领域取得丰硕的成果,他们的成就举世瞩目,无可替代. 不等式的证明是高中学习阶段的重要内容之一,纵观近几年的高考,不等式的证明每年都有涉及,一般都出现在最后一题,可见它的困难和重要程度,因此不等式证明的学习既是重点也是难点,无论是求最值还是求不定量的范围都需要用到不等式的证明.所以,有必要对不等式的证明方法做一个全面的,科学的,系统的总结和归纳. 1.构造函数法 1.1移项法构造函数 【例1】 已知函数,求证:当时,恒有 f(x),ln(x，1),xx,,1 11,,ln(x，1),x. x，1 分析:本题是双边不等式,其右边直接从已知函数证明,左边构造函数 1 ,从其导数入手即可证明. g(x),ln(x，1)，,1x，1 11x1,则g(x),,,证:先证左边,令, g(x),ln(x，1)，,122x，1(x，1)(x，1)x，1 ,, 当 , x,(,1,0)时,g(x),0;当x,(0,，,)时,g(x),0 即g(x)在上为减函数,在上为增函数,故函数 x,(,1,0)x,(0,，,) g(x)在上的最小值为, g(x),g(0),0(,1,，,)min 1ln(x，1)，,1,0 ?当时,,即 g(x),g(0),0x,,1x，1 1ln(x，1),1, ? (左边得证). x，1 1x,f(x),,1,, 再证右边, x，1x，1 ,,1,x,0f(x) ? 当时,,即在上为增函数, f(x),0x,(,1,0) ,时,,即f(x)在上为减函数, 当f(x),0x,(0,，,)x,0 f(x),f(0),0 于是函数fx()在上的最大值为, (,1,，,)max 1 江苏第二师范学院2014届本科生毕业设计(论文) ln(x，1),x,0 因此,当时,即 f(x),f(0),0x,,1 ln(x，1),x ? (右边得证). 1 综上可知,当 x,,1时,有,1,ln(x，1),xx，1 【启迪】: 如果是函数在区间上的最小(大)值,则有 fa()fx()fx()fa(), 0 (或)那么要证不等式,只要求函数的最小值不超过就可得证( fx()fa(), 1.2作差法构造函数 22(1，x)ln(1，x),xx,(0,1) 【例2】 当时,证明:. 分析:本题是一个单边不等式,很难直接看出两者有什么联系,因此联想到采用作差 的方法,将两个函数变为一个函数.作差法是最直接把两者结合的方法且求导 后能很容易看出两者的联系. 22f(0),0f(x),(1，x)ln(1，x),x 证:做函数,易得, 2f'(x),ln(1，x)，2ln(1，x),2x,当x,0时,f'(x),0 而 ln(1，x)22f''(x),2，,2,[ln(1，x),x] 又得,, 1，x1，x1，x 当时, x,(0,1)f''(x),0 f'(x)f'(x),f'(0),0x,(0,1) ?f(x)(0,1)在上递减,即,即在递减 f(x),f(0),0 ?,从而原不等式得证. 【启迪】: 本题先构造出一个函数并利用所设函数的导数判断函数的单调性,再根据单调 性的性质来证明原不等式如果一阶导数无法判断两个关系,可以采用二阶导数 来先判断一阶导数关系,再来判断原函数的关系. 1.3换元法构造函数 12222,x,xy，y,31,x，y,2 【例3】 已知 ,求证:. 2 22x，y 分析:本题看上去毫无联系,但发现经常出现在三角代换中.于是可以采用 换元法进行尝试,则结果显而易见. 221,x，y,2x,rcos,y,rsin, 证:因为 ,所以可设,, 20,,,2,1,r,2 其中,. 1122222x,xy，y,r,rsin2,,r(1,sin2,) ? 22 2 江苏第二师范学院2014届本科生毕业设计(论文) 113,1,sin2,,？ , 222 113222r,(1,sin2)r,r,？ 222 31122r,r,3 而, 222 122,x,xy，y,3？ . 2 22x，yx,y【启迪】:当发现不等式题目中含有,或者别的与有关的不等式,可以采用换 x,y 元法.将进行替换,再找两者的关系来进行论证. 1.4从条件特征入手构造函数 ,xf(x),,f(x)y,f(x) 【例4】 若函数在上可导且满足不等式恒成立,且常数 R bf(b)0,a,bbaf(a)a ,满足,求证:<. ,,xf(x)，f(x),0xf(x),,f(x) 证:由已知条件可得 F(x),xf(x)？ 构造函数, ,F(x)xf(x)，f(x) 此时可以得到的导数为 ,F(x)F(x),0R？ ,所以在上为增函数, f(a),f(b)0,a,b？？ , af(a),bf(b)？ 得证. 【启迪】:把条件进行简单的变形后,很容易发现它是一个函数积的导数,因此可以构造出 F(x) ,求导后即可得到证明结果. 1.5主元法构造函数 2222(a，b，c),2(a，b，c)，4da,b,c,d,R 【例5】 设,且满足, ab，bc，ca,3d 求证: 分析:本题初看含有四个未知量,且题目中只含一条不等式,因此解题时必须从这条 不等式入手,对其进行变换. a 证:把看成未知量进行化简,得一元二次不等式 22a，2(b，c)a，(b,c)，4d,0 22f(x),x，2(b，c)x，(b,c)，4dxa 用替换,构造一个函数 2x？ 前面的系数大于0,所以该抛物线开口向上 f(a),0x,a 且当时,. 22,,4(b，c),4[(b,c)，4d],0？ 其判别式 3 江苏第二师范学院2014届本科生毕业设计(论文) b,cca,d,ab,dbc,d 化简,得.同理把看成未知量,可得 ab，bc，ca,3d 叠加可得 . 【启迪】:有些复杂的不等式可以看成一个未知量的简单不等式,再找几个未知量之间的 关系,进行证明. 1.6构造形似函数 baa,b,ea,b 【例6】 当时,证明. babablna,alnb,0a,blna,lnb 分析:要证,只要证,即证明, blnx,xlnb 也就是要证明,因此构造函数 f(x)f(x),blnx,xlnb ,然后只需要证明单调递减就可以了. babablna,alnb,0a,blna,lnb 证:要证,只要证即证 b,f(x),,lnbf(x),blnx,xlnb(x,b,e) 设,则 x b ,？lnb,1,,1？f(x),0？b,e,x,b x ？f(x)(e,，,) 在上单调递减. ？a,b ？f(a),f(b)blna,alnb,blnb,blnb,0 故 bablna,alnb？a,b 即 . 【启迪】:在证明简单不等式时,可以采用求导等变换来构造出一些相似的函数,再利用函 数的单调性来证明简单不等式. 2.比较法 2.1作差比较法 log(1,x),log(1，x)0,x,1(a,0,a,1) 【例1】 若,证明,. aa 0,a,1a,1 分析:用作差法来做,则需去掉绝对值,必须要分和两种情况来考虑 问题. 0,1,x,11,1，x,20,a,1？ 证:(1) 当时,, 2log(1,x),log(1，x),log(1,x)，log(1，x),log(1,x)？ aaaaa 20,x,10,1,x,1？？ , 2log(1,x),0？ ,得证. a 0,1,x,11,1，x,2？ (2)当a,1时,, 2log(1,x),log(1，x),,log(1,x),log(1，x),,log(1,x)？ aaaaa 20,x,10,1,x,1？？ , 4 江苏第二师范学院2014届本科生毕业设计(论文) 2,log(1,x),0？ ,得证. a log(1,x),log(1，x) 综合(1)(2)可得. aa 【启迪】:当不等式两边的式子比较相近,或者是对数式子时可以采用作差法来尝试. 2.2作商比较法 ab，ab2(ab),aba,b,Ra,0,b,0 【例2】 设,且,求证. 分析:发现作差变形后符号很难判断,且无法化简,考虑到两边都是正数,可以作商, 判断比值和1的大小关系,从而来证明不等式. a，b ab2(ab),0ab,0？？ 证:,,将不等式两边相除, a,bb,aa,bababa222ab,,() 得a，bb2ab() a,ba2(),1a,b 当时,. b a,ba,0,10,b,a 当时,,, 2b a,baa02(),(),1 由指数函数的单调性可知,. bb a,baaa,ba02,0,1(),(),10,a,b 当时,,,同理可得. 2bbb ab，ab2(ab),aba,b 综上所述,对于任意的正实数都有. 【启迪】:当遇到作差法无法解决的问题时可以采用作商法来证明不等式,使用作商法的前 提条件是不等式两边均要大于0,一般为指数函数的形式. 3.放缩法 2n,1s,1,a(n,N),,a 【例1】 已知数列的前n项和为 nnn2 x,(2n，1)s,,x (1)设,求证:数列为等差数列. nnn 11115，，，..........，,n,2 (2)当时,. 2222xxxx32nn，n，n122 分析:本题分为两小题,第一小题是考察数列的知识,是为第二小题做的铺垫,在做 第二小题时,需要采用放缩来证明,来把不等式的左边放大来比较. 2n,1s,1,(s,s)n,2 证:(1) 当时, nnn,12 5 江苏第二师范学院2014届本科生毕业设计(论文) (2n，1)s,2，(2n,1)s 化简,得 nn,1 x,x，2x,x,2 由已知条件得,即 nn,1nn,1 ,,x,2xd,2？ 是以首项为公差的等差数列, 1n x,2n 其通项公式为. n 1111..........，，，， (2) 2222xxxxnn，1n，22n 11111,，，，，[......] 2222nn，n，n4(1)(2)(2) 11111,[，，，......，] 4n(n,1)n(n，1)(n，1)(n，2)(2n,1)(2n) 1111111,[(,)，(,)，(,)，...... 4n,1nnn，1n，1n，2 111111n，1，(,)],(,),() 2n,12n4n,12n42n(n,1) 1n，1, 242(n，1),6(n，1)，4 11, 442(n，1),6， n，1 4f(n),2(n，1)，f(n)nn,2 令,当时,的值随着的增大而增 n，1 f(n),f(2)？ 大,, 111136,,, 即 444f(2),616322(n，1),6， n，1 11115，，，，,..........？ . 2222xxxx32122nn，n，n 【启迪】: 采用放缩法题目一般比较开放,且没有固定的放缩范围,一般比较灵活,且方法 较多. 4.判别式法 7，，2221,x,y,zx，y，z,9x，y，z,5 【例1】 已知,,求证都属于 ,,3，， 6 江苏第二师范学院2014届本科生毕业设计(论文) 2ax，bx，c,0 分析:实系数一元二次方程有两个不等实根、有两个相等实根、 222b,4ac,0b,4ac,0b,4ac,0 没有实根的充要条件是: 、、( 2,,b,4ac 记,称其为方程是否有实根的判别式.同时也是与方程对应的 函数、不等式的判别式.此题含有三个未知数,所以要进行替换. 222x，y，z,9z,5,x,y 证:有条件可得,代入中 22x，(y,5)x，y,5y，8,0 化简可得: 2,,b,4ac,0x,R？？ ,且方程有解,根的判别式 77，，22y,1,1,y,(y,5),4(y,5y，8),0 即,解得,即. ,,33，， 77，，，，x,1,z,1,x,y 同理,替换可得,. ,,,,33，，，， ？ 得证. 【启迪】:本题看似复杂,含有三个未知量,其实只需要简单的几个步骤就解决了,因此在 解决这类问题时,第一步是替换未知量,第二部把另一个未知量看成已知量,再 用根的判别式来确定范围. 5.反证法 1 0,a,b,c,1(1,a)b,(1,b)c,(1,c)a 【例1】 设,求证:,不可能同时大于. 4 分析:本题的结论为否定形式,适合用反证法来证明,假设命题不成立,从而导出矛 盾. 1 (1,a)b,(1,b)c,(1,c)a 证:假设三个数都大于, 4 111(1,a)b,,(1,b)c,,(1,c)a, 则有 444 0,a,1,0,b,1,0,c,1？ 又 111(1,a)b,,(1,b)c,,(1,c)a,？ . 222 7 江苏第二师范学院2014届本科生毕业设计(论文) 3(1,a)b，(1,b)c，(1,c)a, ？ , 2 1,a，ba，b(1,a)b,ab, 又由基本不等式得, 22 1,b，c1,c，a(1,b)c,(1,c)a, ,, 22 3(1,a)b，(1,b)c，(1,c)a, 把上面三个式子相加得 , 2 显然,与,相矛盾,所以假设不成立. 1 (1,a)b,(1,b)c,(1,c)a？ ,不可能同时大于. 4【启迪】:命题中出现“至少”,“都”,“同时”,“至多”等字样时,可以采用反证法, 反证的关键在于找出与命题相反的结论,然后再用假设的条件推出矛盾. 6.向量法 222abc，，,12a,1,b,1,c,1 【例1】设,证明:. b,1c,1a,1 分析:本题只有一个已知条件,且结论也无法化简,因此可以想到高中最直接的方法 向量法,构造两个向量.利用向量的知识进行解决. 222abc,,m,(,,)n,(b,1,c,1,a,1) 证:设, b,c,a,111 222abc,,m,n,,b,1，,c,1，,a,1 则 b,1c,1a,1 ,a，b，c 222abc ,，，,a，b，c,3,cos, b,1c,1a,1 222abc ,，，,a，b，c,3 b,1c,1a,1 222abca，b，c ，，,？ b,1c,1a,1a，b，c,3 3 ,a，b，c,3， a，b，c,3 ,23 8 江苏第二师范学院2014届本科生毕业设计(论文) a,1,b,1,c,1？ . 222abc ，，,12 两边同时平方可得. b,1c,1a,1 ？ 得证. 7.不等式证明的具体应用 1125(a，)(b，),a，b,1a,0,b,0【例1】 已知,且,求证 ab4 分析:本题是高中阶段一道普通的不等式证明题,如让学生独立完成,可得到如下解决 方法. 解法一:分析法 1125(a，)(b，), 要证, ab4 222，，，，4ab，4a，b,25ab，4,0 只要证, 2，，，，4ab,33ab，8,0 即证, 1ab,或ab,8 即. 4 ab,8a，b,1a,0,b,0 因为,,所以不成立. 1ab,1,a，b,2ab 又因为,所以. 4 得证. 解法二:作差比较法 a，b,1a,0,b,0 ？, 1 ab,a，b,2ab ,？ ？4 2211251125a，b，()()a，b，,,,, ？44abab 224ab，33ab，8(1,4ab)(8,ab),,,0 4ab4ab 1125(a，)(b，),. ？ab4 解法三:三角代换法 a，b,1a,0,b,0？ , 9 江苏第二师范学院2014届本科生毕业设计(论文) ,,,22,sin,,cos,,0,ab,,,,, 故设 2,, 1122,,,(sin，)(cos，) 则原式 22,,sincos 4422sin,cos,2sin,cos,2，,， , 24sin2, 22(4sin,)16,， , 24sin2, 22sin2,,14,sin2,,4,1,3 . ？？ 1122,？(4,sin2,)，16,25 ,. 24sin2,4 1125 ？(a，)(b，), . ab4 本题归纳与小结:本题一共采用了3种不同的方法,第一种是从问题入手,对问题进行一步 步的剖析,有逆向思维的方式,是把问题具体化,把所要证明的问题转化 为所学的知识,或者已知条件.只要分析的过程合理,一般过渡的结论很 容易得到.第二种方法也是根据问题入手,不同的是它把问题直接改变为 一道运算式,这样就把问题变为运算式结果与零比较大小,因为题目所给 的数字往往让在解题时无从下手,无法想出这个数字从何而来,一但转化 为零后,解题时只需要考虑对算式的变形,最后只需判断算式的正负号. a，b,1 第三种方法使用范围比较小,它一般具有特殊的条件如, 22a，b,1 这种情况下会考虑三角代换,采用三角代换最需要注意的是 角的范围,一般学生在采用代换时往往忘记角的范围,从而无法确定三角 函数值的范围,容易产生多解或错解.这种方法好处在于已经知道了三角 且三角函数含有多种变形方式可以对式子进行更好的化简.并 值的范围, 且利用三角值的确定性能很快的得到所求式子的范围.本题三种方法均 可采用,根据学生个人的掌握程度来选择方法. 本论文主要对高中不等式的常用证明方法进行简单的总结,使中学生在证明不等式时有法可依,能尽快的找到适合的方法,主要介绍构造法,作差法,放缩法,判别式法,反证法,向量法这些常用的方法. 10 江苏第二师范学院2014届本科生毕业设计(论文) 参考文献 [1]雷小平.证明不等式的常用方法.太原科技[A],2002(1):54,55 [2]丁海军.证明不等式的常用方法.自然科学版[J],2009:55,57 [3]曹军芳.高中数学中不等式证明的常用方法.佳木斯教育学院报[A],2014(1):220,221 [4]孔凡哲.证明不等式正确性的几种常用方法.武汉教育学院报,1995(3):31,33 [5]刘志雄.谈不等式证明的常用方法.重庆师专学报,1999(4):101,103 [6]徐志科.王彦博.利用导数证明不等式的几种方法.自然科学版[A],2013(7):7,8 [7]李天荣.曹玉秀.中学数学不等式的证明方法.临沧师范高等专科学校学报,2013(2):88,90 [8]严万金.浅谈中学数学不等式的证明的常见技巧及方法策略.数学教育[A],2012(2):64 [9]封平平.不等式证明方法初探.新课程学习[J],2012:72,73 [10]黄俊峰.袁方程.证明不等式中的常用方法.数学教学研究[J],2012(8):28,30 不等式证明的方法与技巧.课程教育研究[A],2012:60,61 [11]程勋跃. 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