不等式及其解集

不等式及其解集 “不等式及其解集”教学设计 明溪县城关中学 赖庆发 设计理念 新的教学理念倡导课程内容与学生生活以及现代社会发展的联系，关注学生的学习兴趣和经验，注重培养学生自主学习，合作探究的意识和终身学习的能力.因此在本课的教学设计中，按照新课程标准的要求和理念，努力探索一种让学生主动参与课堂教学的方式.把学生的活动渗透到教学的各个环节中去，引导学生自觉地发现问题、研究问题、解决问题.同时关注学生获得知识，更关注学生知识获得过程与方法以及学生个性品质的发展.学生通过分析讨论，使他们的学习潜能得到充分发挥. 教学内容 《义务教育课程标准实验教科书?数学》(人教版)七年级第126-128页 教学目标 知识与技能 1.能够从现实问题中抽象出不等式，理解不等式的意义，会根据给定条件列不等式. 2.正确理解“非负数”、“不小于” 、“不大于”等数学术语. 3.理解不等式的解、解集和一元一次不等式的意义，能举出一个不等式的几个解并且会检验一个数是否是某个不等式的解. 4.能用数轴表示不等式的解集. 过程与方法 经历由具体实例建立不等式模型的过程，进一步发展学生的符号感和数学化的能力，体会在解决问题的过程中与他人合作的重要性. 情感态度与价值观 使学生能独立克服困难,运用知识解决问题，树立学好数学的自信心;在独立思考的基础上，积极参与讨论，在合作交流中有一定收获. 教学重点 理解不等式、不等式的解和解集,一元一次不等式的意义,能正确列出不等式. 教学难点 准确应用不等号,理解不等式的解和解集的意义. 学情与教材分析 1 一、学情分析: 学生在小学对不等量关系、数量大小的比较等知识已经有所了解,但对含有未知数的不等式还是第一次接触，本节就是对“不等式”这一概念进一步明确，使它成为一种有效的数学工具.学生在列不等式时，对数量关系中的“不大于”、“不小于”、“负数”、“非负数”等数学术语的含义不能准确理解，在把用文字语言表述的不等关系转化为用符号表示的不等式时有一定困难,对不等式的解、不等式的解集两个概念容易混淆. 二、教材分析 不等式是解决实际问题的一种数学模型，它不仅是初中阶段学习的重点内容，而且也是后面学习函数等知识的基础.它是在学习了一元一次方程、二元一次方程组之后的后续内容，贯穿于数学学习的始终,起着承上启下的作用.本节是本章的第一课时，主要学习四个概念:不等式、不等式的解、解集、一元一次不等式.同时渗透建模、类比、分类等思想方法. 教学过程 (一)创设情境，引入新知(多媒体演示) 情境1 如图，天平左盘放三个质量相等的苹果，右盘放200克砝码，天平倾斜.设每个苹果的质量为x克，怎样表示x与200之间的关系, 200克 x克 先引导学生独立思考、合作交流，再根据情况出示思考题: 1(天平左边的三个苹果的总质量如何用含x的代数式表示, 2(天平哪边重, 3(应该用怎样的符号才能把表示天平左右两边的代数式连接起来,若左高右低,又怎样表示呢? 答案:3x,200. 【由实际问题入手，既体现数学知识的实用性，又激发学生的学习兴趣.】 情境2 如图,小明与小聪玩跷跷板,大家都不用力时,跷跷板左低右高.小明体重50千克,小聪体重a千克,小聪背的书包重2千克,小明没有背书包.怎样表示a与50之间的关系呢? 2 在上一个情境的启发下，学生思考后可以很快得到答案:a+2,50,或50,a+2. 【通过上面两个实例,学生们切实经历了不等式的产生过程,体验到不等式是由于表示不 等关系的需要而产生的数学模型. 】 接着师生互动进行归纳: 引导学生思考:上面的4个式子:3x,200，200,3x,a+2,50，50,a+2. 有什么共同特征?它们是等式吗? 目的是引导学生回忆等式的概念，类比得出不等式的概念: 用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式(inequality). 教师顺势引出本节课题:?9.1不等式及其解集. 同时告诉学生:“?”、“?”、“?”也是不等号,并利用下表加深印象. 常见不等号的读法和意义: 不等号 读 法 表示的意义 , 大于 左边的量比右边的量大 , 小于 左边的量比右边的量小 ? 大于或等于 左边的量不小于右边的量 ? 小于或等于 左边的量不大于右边的量 ? 不等于 左边的量大于或小于右边的量 【通过以上探索，学生很自然地理解了不等式的意义及常见的不等号的读法和意义，本 节重点和难点都得到了初步突破.】 (二)深入思考，再探新知 设计以下几个问题,引导学生探索不等式的解和解集的概念. 问题1:小聪体重为49千克时,跷跷板那边高?那边低?用不等式怎样表示. 问题2:小聪体重为47千克时,跷跷板那边高?那边低?用不等式怎样表示. 问题3:要使不等式a+2>50成立,发现a可取那些值? 3 通过讨论交流,学生很容易a的值分为两类,当a=49,50,51„时不等式a+2>50成立;当a=47,46,45„时不等式a+2>50不成立. 进一步引导学生观察、思考:当a=48时a+2=50即a=48是方程a+2=50的解.同理a=49,50,51„时能使不等式a+2>50成立.它们就是不等式a+2>50的解.即可得出不等式的解的概念:能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解. 【类比是学习数学的一种重要方法，此环节不仅让学生理解了不等式的解的意义，突破了重点和难点，而且感受了其中的函数思想，为今后学习奠定基础.】 问题4:能使不等式a+2>50成立的a的值有几个(即有多少个解)? 讨论后得出:当a>48时，不等式a+2>50成立;当a<48或a=48时，不等式a+2>50不成立.这就是说，任何一个大于48的数都是不等式a+2>50的解，这样的解有无数个.因此,a>48表示了能使不等式a+2>50成立的“a”的取值范围.我们把它叫做不等式a+2>50的解的集合，简称解集(这个解集还可以用数轴来表示(教师示范表示方法)( 回到课本问题，要使汽车在12:00以前驶过A地，车速应满足什么条件? 一般地，一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解集(求不等式的解集的过程叫做解不等式( 类似于一元一次方程,含有一个未知数,未知数的次数是1的不等式,叫做一元一次不等式.如a+>50, 3x>200 【课本是学生了解世界的窗口和工具，心理学研究表明:任何学习都是学习者自主建构的过程.在这个过程中，离不开学习主体与文本之间的交互作用.有意义的接受学习是自主建构，有意义的发现学习也是自主建构.前者的认知机制是同化，它引起认知结构的量变;后者的认知机制是顺应，它引起认知结构的质变.既没有绝对的接受学习，也没有绝对的发现学习，总是两者相互交替、有机结合.所以，课本必须成为学生赖以学会学习的文本.在教学中要让学生学会认真看书、用心思考，养成讲讲议议、动手动笔、仔细观察、用心体会的好习惯，真正学会读“数学书”.】 (三)典例示范，应用新知 例1用不等式表示下列关系，并写出两个满足不等式的数: (1)a的一半小于,1; (2)y与4的和大于0.5; (3)a是负数; (4)b是非负数;b是非正数;b不大于0. 4 【前3个小题,让学生独立思考,教师个别指导完成后,让学生点评.重点启发变式最后一个小题并给出的书写过程，如把“b是非负数”变式为“b是负数”、“b是正数”,“b是非正数”等,让学生反复体味不等号的用法和意义.】 解:(1)0.5a<-1,如a=-3,-4; (2)y+4>0.5,如y=0,1; (3)a<0，如a=-3,-4; (4)b是非负数，就是b不是负数，它可以是正数或零，即b>0或b=0，通常可以表示成b?0，如b=0,2. 然后启发学生归纳出:列不等式的基本步骤: (1)确定不等式两边的代数式. (2)根据所给条件中的关系，选择合适的不等号. 【顺利突出本节重点】 例2下列各数:0，,3，3，4,,0.5，,20,,0.4中, 是方程a+3=0的解; 是不等式a+3,0的解; 是不等式2a+3,a的解. 此例是为突出重点和难点而增加的题目，体现创造性地拓宽、使用教材. 【通过判断这几个数是否是方程a+3=0的解,启发学生类比得出:检验一个数是否是不等式的解的方法:把所给的数值分别代入不等式的两边，化简后，观察不等式是否成立，成立者即为不等式的解，否则不是.】 (第2个难点又一次顺利突破.) 答案:0，,3，3，4,,0.5，,20,,0.4中,,3是方程a+3=0的解; 0，3，4,,0.5,,0.4是不等式a+3,0的解;-20是不等式2a+3,a的解. (四)练习反馈,巩固新知 1.下列各式中不等式有 个. 2(1)8,9; (2)a+b=0; (3)a+1,0; (4)3a-1?a; 22(5)a-y?1; (6)3-a=0; (7)4-2a; (8)a+y,0. 【目的是强化本节重点，检测学生识别不等式的水平.】答案:5. 2.下列各数中是不等式5a-1,0的解有 个. -9，0，-2，3，1.5，-2.5，7，12. 【目的是考查学生检验不等式的解的能力.】答案:4. 3.下列说法中，哪些是正确的,哪些是错误的,请把错误的加以改正. 5 (1)“2a与1的和是负数”用不等式表示为:2a+1,0; (2)“a与b的差是非负数”用不等式表示为:a-b,0; (3)“a的2倍与4的差不小于5”用不等式表示为:2a-4,5; (4)“a的相反数与3的和是正数”用不等式表示为:3-a,0. 解:(1)，(4)正确;(2)(3)错误,改正如下: (2)因为非负数即?0,可改为:a-b?0;(3)因为不小于5即?5,可改为:2a-4?5. 【此题旨在帮助学生充分辨析“负数”、“非负数”、“不小于”等关键词.】 4.直接写出不等式的解集,并在数轴上表示出来: (1)x+3,6 (2)2x,8 (五)小结盘点 通过本节课的学习你有什么收获,取得了哪些经验教训?还有哪些问题需要解决, 【通过反思、归纳，培养概括能力;帮助学生经验教训，巩固知识技能，提高认知水平.】 (六)课后作业 1.课本第128页练习第2题. 2.课本第134页习题8.1第1、2、3题. 设计思路 1.教学设计中要密切关注概念的实际背景与形成的过程,通过对天平、跷跷板等一系列学生熟悉的问题中数量关系的分析,引入了不等式和不等式的解、解集、一元一次不等式的概念,淡化了严格的定义,使学生对不等式有较完整的认识.整节课始终让学生在经历“情境-探索-猜想-验证-归纳”的过程中学习和接受知识,强调知识的动态生成,注意渗透数学建模、类比、分类等思想方法,实践了从学会到会学的转变. 2.以数学来源于生活,又服务于生活设计本节课.着重突出新知识必须在学生自主探索、合作交流的基础上让学生自己去交流和归纳. 3.以贯彻新课程理念为前提,从学生的认知特点出发,通过创设情境、引导学生观察、类比、联想已有的知识经验和归纳总结新的知识等一系列活动,让学生充分感受知识的产生和发展过程.使学生始终处于积极的思维状态之中,对新概念的得出不觉得意外,让学生“跳一跳就可以摘得到桃子”. 6 7