用变分法求解矩形等截面螺旋肋片效率

用变分法求解矩形等截面螺旋肋片效率 第l1卷第2期 上海机械学院 1.$HANGHA1INCoT.MECH.KNG. Vo111K0.2]989 用变分法求解矩形等截面螺旋肋片效率 喻央央卓宁马其良 (动力工程学亮): ,提要 用要分法求解定解形式不便用初等函数达的导热微分方程简单易行.本文应 用变分法求解矩形等截面螺旋肋片传热方程,得到了能满足一般工程应用要求的计 算矩形等投面螺旋肋片效率的渐近表连式. 关键词:鳍片管}热传导}变分法,过余温度 目前,在各种换热器中均广泛采用肋片来强化换热T,,整 个肋片表面放热系数及肋片根部温度To皆为常量, 且沿肋片周向的温度梯度为零. 令0=T—为肋片表面温度与环境温度之差,称 其为过余温度. 职微元环体d为研究对象.由导热进入体积元 d的热量: d(AQt)=(一2z~?丽)”(1) 由于对流换热,该体积元所失去的热量 d(【?02)=2aOAS.w~,,=4?丽 收稿日期:1~B-06-30 (2)附图矩形等截面连续罐最肋片 32上海机械学院]989年第1】卷 由热平衡d(AQ1)d(?0:)可表述为一个施图姆一刘维尔型二阶常微 分方程 [m)(川(5) 且有()>0,耍()?O 其中(),g(.,,()均为的函数,r()为温度分布.,般情况下,该式不一定能 求 得用初等函数表达的解析式.. 而武5)的求解过程等价于求解泛函问题 n):)(鲁)+q(x)Tz2it卜 :j .lF(x,T,T)dx(6) i. 的极值曲线【51. 取式?)申()的试探函数为 一n ()=T+暑如-JtF.O 其中,西为待定系数. 可I,』证明【51,在满足()>0,口()?0的条件下,若r()是泛函,(T)的极端函数, 并使,(T)取极小值,则对于试探解T()满足 第2期喻央央等:用变分法术解矩形等靛面螺旋曲片效率33 limliT()]= n? limT.(>=T() 为求解式(6)的极值,可将,()看作dj”:0,l,…,)的函数,并以式(6)作为+1维 的目标函数,定积分由数值方法求出,通过寻求+1维无约束优化过程以获得di(=0,1, … ,n),从而T(>可得.但考虑到一般优化计算过程较为复杂,且占用计算机内存及机时 均太大,为能方便地写出积分结果,计算本问题宜采用瑞利一里茨法. 2.2求艉变分极值曲线 比较式(4,6),可写出泛函式(6)的被积函数 F(xI,日,日>={?+A(日.+日).(7a) 容易证明,传热方程式(4)正是相应于变分问题式(6)的欧拉一拉格朗日方程,其中被积 函数F(,日,日)由式(7a)给出.因此,可通过水解泛函 ,(日)=吾?(目2+目)d日=Nx=xo时(7b) 的极值曲线来求得式(4)的渐近解. 由于边界条件(4b)在变分法中可作为自然边界条件处理|5l,故不予考虑.现在的问题 是:构造一个满足式(4a)的试探函数(,,d一,d),代入式(7b),并求取(= 0,1,…,),使得I(0)达极小值,这样则可用日近似表示式(4)的精确解0(). 职一簇相对完备的坐标函数 Wj=日0(一0)xi 满足齐次边界条件. 令 :+曼,:.fl+(X-:co)壹1(8)自J’?LJ’口J 以此作为+1次试探函数.式(8)显然满足边界条件式(4a). 对式(8)求一阶导数 dO.[喜”螭帕t】 使式(7)迭极值的必要条件为’ 亘婴;0(i:0.1,…,n)百一”‘…. 印. [封=:?翮日z_+】=0(,l,… 上海机械学院1989年第?卷 变分F(X,日,日,)可视为与?(i=0,】,….)函数F(0,..,J),且di有 界(江O,1,…,). 由于F(,,dI,…,d)在域XO??I,d…?,?d…上有定义,且di固定时 <…一)连续,一号F(,…j,…)在上述区域内存在且连续,所以在‰??1, a”‘ - .?=I?.十d 并有递推公式 南EXI.-Ita4-)3.’(Xoe+Aa).一扯-1.] 且厶={2?2+Aaln] j1=[(j2+),2一(D+A).] 式(10)为n+I元线性方程组,可从中解得d(j=0,1,…,?),从而渐近表述矩形等 截面螺旋肋片温度分布表达斌(8)可以确定. 一 般情况下,?取得大些总能使试探函数0从总体上更接近于原极端函数0t1.但是,由 于取得越大,使8.的项数越多,计算也越烦,而且”太大会使得8振荡尉烈,造成_热 在总体范围内+;t2dr:埘 叫?t2--/”0?J 肋片效率:一 将式(]]),(12)代入,经整理得矩形等截面螺旋肋片效率的表达武为 一 ?s.+(2~ro)?d. 一一—— , 实例计算及结果分析 用上述算法在计算机上求解一个实际例子. 设有矩形等截面螺旋肋片管,其结构参数为 =0.127m;ro=O0509m; s=0.OSm;=50W/(ra?K): 分别取为0,1,2,3,4.计算结果见附表. 附表取不同值时用变分法计算所最得的结栗 (】3);m咖 ?上 == 上海机械学院1989sg第11卷 由附表..知,随着n的增加,,(日):越来越小,且趋向于某一定值,岛与钆 相当一致, 日 且;}一l也逐渐趋于零,尽管在求解过程中并未考虑式(4b),但计算结果中该点的温Ir-. 度梯度却较好地反映了这一要求.事实上,放弃这一强制性的定解条件更能窖观地反映传热 的自然过程.可见,作为工程上虚用,一个4次多项式已基本上可满足要求了,它不但有一 定的精度,而且表达式形式简单,对术导,求积分及进一步分析都是方便有利的.作为比较, 对同样结构的等截面螺旋肋片采用有限差分法计算其效率,在径向将肋片分割成大于20等分 的情况下,用两种方法计算结果的相对误差不大于4%. 5结语 用变分法术解定解形式不便用初等函数表达的导热微分方程有其独到的方便之处.它简 单易行,因而在工程设计巾有着广泛的应用领域,特别是在最优化设计中,一个便于计算的 解析表达式可以大大加快设计过程. 符号表 I肋片温度肋片表面对流放热系数 ,环境温度肋片导热系数 .肋片根部温度6肋片厚度 渐近温度8肋片表面过余温度 r光管外半径8o肋片根部过余温度 愿管半径8叻片表面渐近过余温度 0o通过肋片根部热量0.理想肋片传热量 .肋片根部面积s,肋片单.jI表面积 待定系数曲片效率 参考文献 [13ChapmanAlan!..HeatTransler.NewYork;MacmillanPublishingComp any, London:CollierMacmillanPublishers,1984:98~]58 [23机械工程手册.电机工程手册编辑委员会.机械工程手册第2卷, 第6篇,北京. 机械工业出版社,1982 [3]茹卡乌斯卡斯着,马昌文等译.换热器内的对流传热.北京:科学出 版社,1986t 339,370 [4]彭旭麟,罗汝梅.变分法及其应用.武汉:华中工学院出版社,1988 (英文提要下转第44页) 上海机械学院1989年第1l卷 TheComputerTreatmentofQuadraticRegression FittingofThermocoupleTransferProperty LuQianqingChenQimai Abstract Thispaperpresentsamethodforquadraticregre~sionfittingoftbelmcccup]e transferpropertytostudyitscomputerrealizationaudformasoftwarepackage.By meansofthissoftware,thecustomercanquicklyobtainasetofconicequalions whichbestfitthelramferprop(rtycftbesmcccupleundsrgiven{e~peralurerange andpermittederror.Thenumberofthissetofequationsismuchtma]krthanthat ofastraJIghtlinefitting.Thisisveryusefulinthedesignofintelligentthermo—en gineerlnginstrument. Keywords;Therrn,occuples~Approximation6Pctyzcmials;cr’[itting~Non - linearregression;Ccmtueer},口GqChcracteristicCr2’ (上接第36页) Usingthe of Variattonal Equivalent YuYangyang MethodtoSolvetheEfficiency Cross—sectionSpiralFin ZhuoNingMaQiliang Abstract Uptonowtheefficiencyofspiralfinsjsmuchthesameasthat0ftheannular fjn.Inthepresentarticle,throughtheanalysisofthedifferentialequation0fheat transferfortheequivalentcross—sectionspiralfi.theauthorssuccessfullyus ethe varlatlonalmethodtoobtainthefinefficiencyandtheasymptoticsolution0f temperaturedistributionalongthefin. Keywords}Finnedtube,HeatcondactionlVariationalmeihcd~Excesstemperature