对角占优矩阵直积的一些性质

对角占优矩阵直积的一些性质 研 究 对角占优矩阵直积的一些性质 1, 2 1 1全袁志杰, 仲, 徐陆 ( )1. 西北工业大学 应用数学系, 陕西 西安 710072 ( )2. 合肥工业大学 理学院, 安徽 合肥 230009 摘要: 给出了对角占优矩阵直积的一些对角占优性质以及?2范数估计式. 关键词: 对角占优矩阵; 直积 1 引言 () 矩阵的直积 积不仅在矩阵理论的研究中有着广泛的应用, 比如, 直积运算 K ro n eck e r 可以把解矩阵方程问题转化为解线性方程组的问题, 而且在诸如信号处理与系统理论中的 随机静态分析与随机向量过程分析等工程领域中也是一种基本的数学工具. 在用数值方法 求解实际问题所得到的线性方程组中, 其系数矩阵常常具有对角占优的特性. 本文将对角占 优与矩阵的直积结合起来讨论, 得到一些新的结果. 1m ×n p ×q ) ) () ((定义 1 设 A = a ? C, B = b? C , 则 A 与 B 的直积 积定 ij i j K ro n eck e r 义为 a B a B a B 11121n a Ba Ba B21 22 2n m p ×nqA ? B = ? C fi fi fi fi aBaBaBm 1 m 2 m n n×n ) () ( 设 A =a ? R , 若 a Ε 0 i, j = 1, , n , 则称A 为非负矩阵, 记为A Ε O. 若 a i j i j i j ( ) > 0 i, j = 1, , n 为正矩阵, 记为A > O. 类似地, 把各个分量都非负的向量 x 称, 则称A 为非负向量, 记为 x Ε 0. 把各个分量都为正的向量 x 称为正向量, 记为 x > 0. n×n n ×n () () () () 设 A = a ? C , 记 + A = | a | , 简记为 + . 又设 m A = m ? R , 其i j i ij ii j ? j ?i 中 a , j = i ||ii m = i j - j ? i| a | ,i j () 称 m A 为 A 的比较矩阵. n×n ) ( n 都成立, 则称A 为严格对角, 定义2 设A = a ? C , 若 | a | > + 对 i = 1, 2, i j ii i n×n 占优矩阵, 记为 A ?D , 其中D < C 示严格对角占优的 n × n 复矩阵的集合; 若有正数 收稿日期: 2004205230 ( ) 基金项目: 陕西省自然科学基金 2004110002c s 5 期袁志杰, 等: 对角占优矩阵直积的一些性质105 , d , 使得 | a | d > | a | d 对 i =d , d , n i i i i j j 1, 2, , n 都成立, 则称 A 为广义对角占优矩1 2 ? j ?i 3 3 n×n 3 阵, 记为?, 其中< 表示广义对角占优的 ×复矩阵的集合, 显然Α . A D D C n n D D n ×n ) ( 定义 3 设 A = a ? R 的主对角线外的元为非正值, 且逆矩阵为非负矩阵, 即i j - 1 ) ( a Φ 0 i ? j , A Ε Oij 则称 A 为M 2 矩阵. n×n ) () ( 定义 4 设 A = a ? C , 若 m A 是M 2 矩阵, 则称 A 为 H 2 矩阵.i j n×n m ×m ) ) ) (((以下均设 A = a ? C , B = b? C, 同时我们约定矩阵 d iag A 为由A 的对 ij ij 角元构成的对角阵. 主要结论2 首先给出本文要用到的几个引理. 2- 1 () 引理 1A ? B = P B ? A P , 其中 P 是唯一确定的置换矩阵. 2T n) () (引理 2A ? D Ζ m > 0, 其中 e = 1, 1,, 1? R . A e - 1 - 1 () () 引理 3m PA P = Pm A P , 其中 P 是置换矩阵. - 1 证 当 P 是置换矩阵时, PA P 的对角元是 A 的对角元的重排, 而非对角元全部来自 A 的非对角元, 由比较矩阵的定义, 显然引理 3 成立. 33 - 1() ( () ) 引 理4 A ?D Ζ A 是 H 2矩阵 Ζ m A 是M 2矩阵 Ζ ΘI - D 0 m A < 1, 其中 () ) () (D 0 = d iag m A , ΘA 是 A 的谱半径. 2n×n ) (引理 5 设 A ? D , 则对任意的 C = c? C , 有 i j n c||ij ? j = 1 - 1‖A C ‖Φ m ax ? n 1Φ iΦ n | a | - | a |ii ij ? j = 1, j ?i 引理 6 ‖A ? B ‖Φ ‖A ‖‖B ‖. ? ? ? 证 由直积的定义知, A ? B 的行元素的模求和具有如下形式 n m ) ()(| a | r | b| is j t ?? s= 1 t= 1 于是 n m ) ) ((‖A ? B ‖ Φ m ax a m ax b = ‖A ‖‖B ‖||r ||? is j t ? ??? 1Φ iΦ n 1Φ j Φ m s= 1 t= 1 关于对角占优矩阵的直积, 本文得到了以下一些新的结果. 定理 1 若 A ? B ? D , 则 B ? A ? D . 证 由引理 1 知, 存在置换矩阵 P , 使得 - 1() B = P B ? A P A ? T m n- 1 ) () ( B e > 0, 其中 e = 1, 1, , 1? R . 令 y =P e, 由于 A ? B ? D , 根据引理2, m A ? 注意到 P 是置换矩阵, 则有 y = e, 且 - 1 - 1 (() ) () () m P B ? A P e = Pm B ? A P e = Pm B ? A e > 0 () A e > ? D .从而 m B ? 0, 故 B ? A 3 3 定理 2若 A ?B ? D , 则 B ? A ? D . 106 数 学 的 实 践 与认 识37 卷 - 1 () ) () (证 m A ? B , 由引理 1, A ? B = P B ? A P , 这里 P 为置换矩 d iag 设 D 1 = 阵, 再由引理 3, - 1- 1 () () (m B ? A = P m A ? B P = P D +() ) 1 m A ? B - D 1 P - 1- 1 (() = P D P + P m A ? B -) 1 D P1 由上式得 - 1() )(P D P = d iag m B ? A 1 又有 - 1- 1 - 1- 1) () ()((I - P D P m B ? A =)I - P D P m B 1 ? A 1 - 1 - 1- 1 ) ) ((= ? A P P I - P D Pm B 1 - 1 - 1) ) ((B P I - P D m A ? 1 = - 1 - 1( () ) = P I - D m A ? B P 1 故 - 1- 1- 1) ) ( ) () ) ( ((? B < 1 ΘI - P D P m B ? A = ΘI - D m A1 1 3 由引理 4 知, B ? A ? D . 定理 3 若 A , B? D , + = | a | , s= | b| , 则 A i i j i i j ? B ? D 的充要条件是 ?? j ?i j ?i |b| + s i i i | a j j | > + j r m ax 1Φ iΦ m b- s|| i i i () 证 充分性. 令 C = A ? B = c, 则必唯一存在 1 Φ i, t Φ m , 1 Φ j , s Φ n , 使得 k l m n×m n ( () ) k = m j - 1+ i, l = m s - 1+ t, 且当 k ? l 时, j = s, t = i 不同时成立. 于是 c=k l c( (= a b, c= a b) ) m j - 1+ i, m s- 1+ t j s i t k k j j ii 又有 m n | c| = a b= a s+ b + + + s|| |||| k l j sit j j i ii j j i??? s= 1 t= 1 l?k j = s, t= i不同时成立 由题设条件可得 | a | | b| > | a | s+ | b| + + + s j j i i j j i ii j j i B ? D . 必要性. 上述过程倒推即得.故 c> c , 即 A ?|| ||k k k l ? l?k 3 ? D , s= | b|. 令定理 4 若 A ? D , Bi i j ? j ?i b+ || j j sj () ) )()((, D = d iag m A , C = Α= m ax 1 - ΑD 0 + Αm A 0 1Φ j Φ m b- s || j j j 3 3 则当 C ? D 时, 有 A ? B ? D . 3 T () () , x >证 由 B ? D 知, Α> 1; 又由 C ?D 知, 存在 x =x 1 , x 2 ,0, 使得 m C x n > 0, 于是 ) ( > + + |||||| a 1n x n Α> a 12 x 2 + a 13 x 3 + a 1n x n + ||||||+ ||a 11 x 1 a 12 x 2 a 13 x 3 ( > + +||||||) a 22 x 2 a 21 x 1 a 23 x 3 + | | > | | + | | ++ | | a 2n x n Αa 21 x 1 a 23 x 3 a 2n x n fi ) (+ a n, n- 1 x n- 1 ||| | > | | + | | ++ | a n, n - 1 | x n- 1 Α> | a n1 | x 1 + | a n2 | x 2 + a nn x n a n 1 x 1 a n2 x 2 ) ( 且所以 A d iag x 1 , x 2 , , x n ? D , 5 期袁志杰, 等: 对角占优矩阵直积的一些性质107 bs | | + iii) ) (( a x > a x Α= a x m ax||||||j j j j l l j l l ?? 1Φ iΦ m | b| - s ii il?j l?j ) (令 D 2 = d iag x 1 , x 2 , , x n ? I , 显然 D 2 是正对角矩阵. 利用直积的性质, 得 () (() ()A ? ) () ) (I = A ? x x , , B d iag x 1 , x 2 ,B D 2 =n ?A d iag x 1 , x 2 ,n ?B () )(由于 A d iag x , x , , x 与 B 满足定理3 的条件, 由定理3 知, A ? B D ?D . 从而A ? 1 2 n 2 3 B ? D . () 定理 5 若 A , B ? D , 且 A , B 对角线上的元素为正数, 则 A ? I + I ? B ? D . () 证 令 C = A ? I + I ? = c, 对 1 Φ k Φ m n , 则必唯一存在 1 Φ i Φ m , B k l m n×m n 1 Φ j Φ n 使得 ( ) k = m j - 1+ i 从而 | c| = | a | + | b| > | a | +| b| =| c|k k j j ii j l i l k l ??? l?j l?i l?k 3 3 () 定理 6若 A , B ? D , 且 A , B 对角线上的元素为正数, 则 A ? I + I ? B ? D . 3() ) (证 由 A , B ?D 知, 存在正对角矩阵D 3 = d iag d 1 , ?m , 使 , , d n , D 4 = d iag ?1 , 得 A D , B D ? D3 4 且有 ) () ( A ? I + I ? B D 3 ? D 4 = A D 3 ? D 4 + D 3 ? B D 4 ) (ck l m n×m n , 则 令 C = A D 3 ? D 4 + D 3 ? B D 4 = a d ?,( () ) j ss i k = m j - 1+ i ? l = m - 1+ is ) ) k = ( bd ?,( i ? l = m j - 1+ titj t m j - 1+ c= k l () ( ) + b?, l = m j - 1+ i a j j i i d j i k = 其他0, 注意到 A , B 对角线上的元素为正数, 有 () c||| c| = | a + bd ?| = | a | d ?+ | b| ?d > ?| a | d + d | b| ?=k l k k j j ii j i j j j i i i ij i j s s j i t t ??? s?j t?i l?k 3 () 所以 A ? I + I ? B ? D . 下一定理给出了有关对角占优矩阵直积的 ?2 范数的估计式.定理 7 若 A , B? D , + = | a | , s= | b| ,则 i i j i i j ?? j ?i j ?i 1 1 - 1 ) () ? B ‖Φ m ax r m ax ; 1‖ A ? 1Φ iΦ n a - Φ j Φ m || 1ii + | b| - s i j j j 1 - 1 )() 2 当 a , b>B ‖Φ m ax ; ii j j 0 时, ‖ A ? I + I ? ? 1Φ iΦ n , 1Φ j Φ m a + b- + - s|| || ii j j i j 1 1 - 1 - 1 ) 3‖A ? I + I ? B ‖Φ m ax + m ax . ? 1Φ iΦ n | a | - Φ j Φ m 1i i + | b| - s i j j j ) 证 1由引理 6 及直积的性质, 得 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 () ‖ A ? B ‖= ‖A ? B ‖Φ ‖A ‖‖B ‖? ? ? ? 再由引理 5, 即得. () ) ) ( 定理 5 的证ck l m n×m n ,2由定理 5, A ? I + I ? B ?D . 令 C = A ? I + I ? B = 明中已推得 108 数 学 的 实 践 与 认 识37 卷 | c| = | a | + | b| > | c| = | a | + | b|k k j j ii k l j l il ??? l?k l?j l?i 再由引理 5, 即得. ) 3由引理 6 得 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 ‖A ? I + I ? B ‖Φ ‖A ? I ‖+ ‖I ? B ‖Φ ‖A ‖+‖B ‖ ? ? ? ? ? 再由引理 5, 即得. 参考文献: ( ) 程云鹏, 张凯院, 徐仲. 矩阵论 第二版[. 西安: 西北工业大学出版社, 1999. 1 M 陈景良, 陈向晖. 特殊矩阵[. 北京: 清华大学出版社, 2001.2 M 3 胡家赣. 线性代数方程组的迭代解法[. 北京: 科学出版社, 1991.M The Proper t ie s f or Kron ecker Produc t of D iagona lly D om inan t M a tr ice s 1, 2 1 12,,YU A N Zh ijie XU Zho n g L U Q u an (1. , , D ep a r tm en t o f A pp lied M a th em a t ic sN o r thw e ste rn Po ly tech n ica l U n ive r sity)′710072, X ian Sh anx i C h ina ()2. , , 230009, Schoo l o f Sc ienceH efe i U n ive r sity o f T ech n ica lH efe i A nh u i C h inaA bstrac t: Seve ra l d iago na ll dom inan t p rop e r t ie s and ?2no rm inequa lit ie s fo r K ro neck e r p ro d2 .uc t o f d iago na lly dom inan t m a t r ice s a re g iven Keywords: d iago na lly dom inan t m a t r ix; K ro neck e r p ro duc t