欧拉公式

欧拉公式 2欧拉公式 2.1 欧拉公式的发现 欧拉公式的发现有三个重要的途径: 、归纳法:1639年，笛卡尔从五种正多面体顶点数V、面数R和棱数E的1 关系的考察中,猜测出公式R+V-E=2,然而由于归纳的证据比较单一,对公式进一步有效的检验难以给出,因此他未予。 2、为多面体分类法:“从数学史的角度来看，欧拉公式的来源与对多面体进 平面多边形可依据边数或顶点数来分类,类似行几何意义下的分类有密切关系。 的，多面体的分类自然会联想到它的边界元素(面、顶点和棱数)”。欧拉在研究多面体的分类时发现，对于某些结构不同的凸多面体，在面数R相等和顶点数V相等的情况下，棱数E也相等,这样把多面体的三种元素R、V、E结合起来，也无法对多面体进行分类，然而由此启发他发现了R、V、E三者的关系。 3、类比法:这个发现的途径属于公式发现之后的“再发现”，通过这种方法可以使人明白数学发现的另一种基本方法和理解数学变换中的拓扑思想。多边形是平面内的直线形,多面体是空间中的“平面体”，因此可以把它们的某些性质加以类比。比如，n边形的内角和为π?(n-2)，而且它经连续的拉伸或压缩变形后其内角和不变，因此它的内角和是n的一个不变量，类似的,注意到“V个顶点的多面体经连续拉伸或压缩变形后其面角和不变”，也是一个不变量，推导可得“有V个顶点的多面体的面角和是2π?(V-2)”，再由这个结论发现并推导多面体欧拉公式.。 ，，fp,V，R,E在欧拉公式中，叫做欧拉示性数。 2.2 欧拉公式的推论 G,,3推论1:设是带e条边和个顶点的连通平面简单图，其中，则v e,3,,6。 Gv,3推论2:设是带e条边和个顶点的连通平面简单图，其中且没有长v e,2v,4度为3的圈，则。 G,,e，r,1，w推论3:设是带e条边、个顶点和r个面的平面图，则，v 其中为连通分支数。 w 推论4:设G是任意平面图，，则 δ(G)?5。 V,3