一类奇异半线性反应扩散方程组解的存在唯一性

一类奇异半线性反应扩散方程组解的存在唯一性 赵改萍 ,杨凤藻 ,方郁文 () 昆明理工大学 理学院 ,云南 昆明 650093 摘要 : 讨论了一类具有奇异系数的反应扩散方程组解的存在唯一性问题 ,幵给出了一些结果. 关键词 : 奇异 ;反应扩散方程组 ;存在 ;唯一 ( ) 中图分类号 : O175. 29文献标识码 : A 文章编号 : 1007 - 855X 2010 02 - 0121 - 04 Ex istence and Un iquene ss of a Sem ilinea r S ingular Rea c t ion - D iffus ion Sy stem ZHAO Ga i2p in g , YAN G Fe n g 2zao , FAN G Yu 2w e n ( )Facu lty of Sc ience, Kunm ing U n ive rsity of Sc ience and Techno logy, Kunm ing 650093, Ch ina A b stra c t: The existence and the un iquene ss of a sem ilinea r singu la r reac tion2d iffu sion system a re d iscu ssed in th is p ap e r, w ith som e re su lts p rovided. Key word s: singu la r; reac tion2d iffu sion system; existence; un iquene ss 0 引 言 5u 1p Δ( ) 关于方程 -u = u+ f x 解的存在唯一性已在文献 [ 3 ] [ 4 ]中得到研究 ,本文讨论如下方程组σ 5t t 的弱耦合形式非负解的存在唯一性. 5u 1 p N Δν ν> 0, x ? R( )-= t + f x 1 σ 5 t t ( ) 5u 1 q N 1 Δν ( )-> 0, x ? R= u + f x t 2 σ 5 t t Nν( )( ) lim u t, x = lim t, x = 0 x ? R ++t?0 t?0 ( ( σ ) ) 其中 > 0, fx , fx 连续有界且非负 , pq > 1 . 1 2 1 预备知识 ( )σ 当 = 1时 ,不 1 式相对应的积分方程组为 : t t s( )Δ ln - ln p ( ) ( ) φ( ) v s, x ds u t, x = t, x + e1 0? t t s( )Δ ln - ln q φ( ( ) ) ( ) v t, x = t, x + eu s, x ds 2 0? t t s( )Δ ln - ln )( ) ( ( φ) ex ds i = 1, 2 f 其中 t, x = i i 0? σ σ 当 > 0且 ? 1时 ,不上述方程组相对应的积分方程组为 : () 收稿日期 : 2009 - 04 - 15. 基金项目 :云南省教育厅自然科学基金项目 项目编号 : 2006L00004. t (ξ( ) ξ( ) )Δ s-tp ( )( ) φ( ) v s, x ds u t, x = t, x + e1 0? t (ξ( ) ξ( ) )Δ s-tq φ( ) ( ) ( )= t, x + eu s, x ds v t, x 2 0? t σ (ξ( ξ( ) )Δ ) 1 -s-t( ) φe( ) ( ) ξ( ) (σ ) 其中 t, x = fx ds i = 1, 2 , t= t / - 1 . i i 0? 2 主要结果 n ( ) ( ) ) ( 定理 设 fx i = 1, 2 连续 ,有界 ,非负 , pq > 1 ,则对于方程组 1 ,在带形域 S=×R 内 0, T i T 存在唯一非负解. σ σ σ 证明 以下证明均以 = 1 来证 ,当 > 0, 且 ? 1时 ,方法类似. ( )1 当 p > 1 , q > 1时 : N N ? ) ( ( ) ) ( ( ) ( ) ( ) = su p ‖u ‖E= { u, v: [ 0, T ?L R ×R , ‖ u, v‖ < R } , R > 1 ,其中 ‖ u, v‖ ?T ? )+ ‖v‖ ? ( ) ( ( ) ( ) ) 定义算子. F u, v= Fu, v, Fu, v,其中 :1 2 t t s( )Δ ln - ln p ( φ( ) ( ) ) Fu, v= t, x + ev s, x ds 1 1 0? t t s( )Δ ln - ln q ( ) ( ) φ( ) u s, x ds Fu, v= t, x + e2 2 0? t t s( )Δ ln - ln p‖? ‖‖+ φ( ) ‖F) ( v s, x ds‖ ? t, x ? ‖ e 1u, v 1 0? t p ? T + ( ) ( ) ‖fx ‖‖ v s, x ds‖1 ? 0? p ? T + TR ( ) ‖fx ‖ 1 ?q 同理得+ TR ? T ( ( ) ) ‖Fu, v‖‖fx ‖ 2 ? 2 ? p q ‖ su p ? T+ ‖F‖‖F+ R + R ‖+ ‖ ( ) ( ) u, v 12?‖fx ? ‖fx ? u, v ? 1 2 ( )则取 T 适当小 ,可使< R , 故 F u, v? E. su p + ‖ ‖F‖‖F T ?1?2u, v u, v E,则 :? , 取 Π T u, vu, v 1 12 2t t t st s( )Δ ( )Δ ln - ln ln - ln p p qq 1111?eds‖ vv- 1 20 0? t t t t _ _ p- 1 q- 1 p p qq 1 1 111 1?+ = + ( ) qv v- vds‖ 1 12 0 0 ? l - 1 lR T ‖+ ‖‖u-u‖v- v ??1 2 1 2 其中 l = m ax{ p, q} . 则取 T 适当小 ,可利用压缩映象原理 ,证明其解存在唯一. ( )< q < 1时 : 2 当 p , q中有一个大于 1 ,另一个小于 1时 ,不妨设 p > 1, 0 5u 1 p -Δ( )u= v + fx 1 5 t t 5v 1 ( ) 2 Δ( ) ( )-v = gu + fx n 2 5t t 1 ( ) ( ) lim ux = lim vx = n n ++t?0 t?0 n n ( ) ( )) 其中 gu 为关于 u的非降的 L ipch itz函数 ,则根据 1 中的证明 ,在带形区域 S= [ 0, T ×R 中存在唯 n T ( ( ) ( ) ) 一解 ux , vx ,以下证其解关于 n 非增.n n 设 m > n : t t t t s 1 1 ( )Δ 1 p p p - ln - ln p p ( ) ( ) ( ( ) ) - vds ? lR vv - v ds ? vvds( ( - + e - ) ) ut, x - ut, x = mn m n m n ?0? 0 t t s 1 1 ( )Δ ln - ln ( ( ( ( ) ) ( ) ( ) ) ) + e vt, x -vt, x = -gu - gu ds m n m n 0? m n t ( ) ) ( ( )? gu - gu ds m n 0? t ( ) ? k u- udsm n 0? 其中k 是 g 的 L ip sch itz常数. t ) ( ( ) ( ) ) ( ( ) ( ) ( ( ) ( ) - udsux - ux + vx - vx ? a v- v+ u m n + m n + m n + m n + 0? p - 1 a = m ax{ R, k } . 其中 ( ( ) ( ) ) ( ( )( ) ) 则由Gronwa ll不等式得 ux - ux ? 0 vx - vx ? 0. m n + m n + ( ) ( ) ( ) ( ) 故得 ux ? ux , vx ? vx . m n m n t t t st s( )Δ ( )Δ ln - ln ln - ln p ( ) ( ) vdsut, x = 1 + efx ds + e 1 1 1 0?0? p - 1 ( ) ?T< 1 + sup fx T + pR sup ( )vs, x 1 1 ? s? 0, T s? 0, T < + ? 则由单调收敛定理 ,对其两边取极限得 : t t t st s( )Δ ( )Δ ln - ln ln - ln p ( ) ( ) u t, x = v ds ef x ds + e1 0?? 0 t t t st s( )Δ ( )Δ ln - ln ln - ln q ( ) e( ) 同理得 : v t, x =u ds fx ds + e 2 0?0? 故解存在. 下证其解具有唯一性 ,可转化为证方程组 : 5u 1 p Δu> 1 -= v p 5t t 5v 1 q Δ-v0 < q < 1 = u 5t t ) ( ) ( lim u x = lim v x = 0 ++t?0 t?0 ( ) ( )只有平凡解 u t, x ? v t, x ? 0 . t t s q t st sξ( )Δ q ( )Δ s ln - ln ln - ln ( )Δ ln - lnp( ) ( )= u s, x ds = ds v t, x ee(ξ) ξev , td 0?0? 0 ? 则由 J en sen不等式得 : t s q t sξs ( ln - ln )Δ Δ pln - ln( )v t, x ds ?(ξ) ξv , td e e ?00 ? 则由 Ho lde r不等式得 : t q t q s t s1 - q1 - qq ( ln - ln )Δt ss ξΔ ( ln - ln )Δ pp ln - ln( )( )v t, x ? t? t? tut eξd dse veξ ξξ d t - , t v ξ, t 0 ? 0? 0 ? t t t t st st s( )Δ )Δ )Δ ( ( ln - ln pln - ln - ln pqq ln q p ( ) eu s, x ds 0 0? _ _ 5 u 1 pq Δ ( )- u = T u ttt5 方程 ( ) lim u t, x = 0+t?0 _ n 在带形域 S=×R 内 , v ? 0 ,故得 u ? v ? 0 . 0, T T 定理得证. 参考文献 : [ 1 ] E scobedo M , H e rre ro M A. Boundedne ss and b low up fo r a sem ilinea r reac tion - d iffu sion system [ J ]. D if Equa, 1991, 89 ( ) 2: 176 - 202. ( ) [ 2 ] 张凯军 ,王亮涛. 关于 Fu jita型反应扩散方程组的 Cauchy问题 [ J ]. 数学学报 , 1997 , 40 5 . 717 - 732. [ 3 ] 彭大衡 ,王志成 ,苏醒. 一类奇异半线性反应扩散方程初值问题整体解的存在唯一性及解的增长性 [ J ]. 数学年刊 , 2001 , 22A: 483 - 490. ( ) [ 4 ] 蹇素雯 ,杨凤藻. 一类奇异半线性热方程初值问题解得唯一性结果 [ J ]. 数学学报 , 2000 , 43 2 : 301 - 308.()上接第 93 页 在 J PO SE R un tim e架构 , JPO SE位于 Engine的部分 ,而 Con ta ine r是 P lu to Po rtle t Con ta ine r, Po rtle t是为 )(具体业务编写的 Po rtle t; P ip e line 管道 是 JPO SE用来组织功能模块的方式 ,通过在 p ip e line的 bean定义 中定义模块来实现功能的组合 ,模块以职责链的模式对请求进行处理. J PO SE运行过程 : J PO SESe rvle t接收 R eque st,通过 Componen tM anage r获得 R eque stCon textComponen t, ( ) 针对 R eque st建立一个 R eque stCon text,在这个 R eque stCon text下调用 Engine jpo se. engine. JPO SEEngine ( )的 Se rvice 方法 ,该方法传入 R eque stCon text, Engine 会依据 R eque st的目标 URL 来取得相对应 P ip e line ( ) jpo se. p ip e line. JPO SEP ip e line 来处理 , 各个 V a lve 依序执行 , 其中某些 V a lve 会和 Con ta ine r动作 , 某些 V a lve会负责产生 R e spon se的 Po rta l页面 ,在这个过程中 , Con ta ine r会执行相关的 Po rtle t,幵将结果返回至 P ip e line,也就是 V a lve cha in中 ;最后将产生的 Po rta l页面传回给客户端 ,流程结束. Po rta l幵不等价于 Po rtle t Con ta ine r,一个企业级的门户实现 ,应该包含或者支持多种 Po rtle t Con ta ine r 同时运行 ,例如 IBM W ebSp he re Po rta l就既包含兼容 JSR - 168的 Po rtle t Con ta ine r,又包含了支持一些 [ 5 ] IBM 特有功能属性的 Po rtle t Con ta ine r; B EA 公司的 W ebLogic 也是采用相同策略 , 既有其旧有的基于 Stru ts技术的 Po rtle t Con ta ine r,又支持 JSR - 168标准. 对于 J PO SE而言 ,它同样关注的是门户本身的实现 , 而不是 Po rtle t Con ta ine r的实现. 3 结 论 本文介绉的开源解决 ,最终调试配置成功 ,幵在实际工程得到应用. 实践证明 JPO SE Po rta l开源 方案是合理可行的 ,提高了项目开发的绊济可行性 、系统可扩展性和安全性. 参考文献 : [ 1 ] 丁家满. 基于开源的 J PO SE门户框架的研究不 [ J ]. 昆明理工大学 , 2005. [ 2 ] J ava Comm un ity P roce ss. J SR - 168 [ DB /OL ]. h ttp: / /www. jcp. o rg / en / jsr / de ta il? id = 168. ( ) [ 3 ] 王清心 ,丁家满 ,等. 基于 J2EE的门户安全控制框架的不设计 [ J ]. 计算机科学 , 2004: 31 9 : 204 - 207. ( ) [ 4 ] 王清心 ,胡建华 ,丁家满. J PO SE Po rtle t的内部机理及其规范实现 [ J ]. 计算机工程不设计 , 2007 , 27 244622 - 4625.[ 5 ] V lad im ir Silva. Enab ling the Globu s secu rity infra struc tu re on W eb app lica tion s u sing W ebSp he re App lica tion Se rve r V4 and V5 [M ] , 2003.