【doc】 右理想上幂零导子的零化子

【doc】 右理想上幂零导子的零化子 右理想上幂零导子的零化子 2005年8月 第3期 吉林师范大学(自然科学版) JournalofJilinNormalUniversity(NaturalScienceEdition) ?.3 Aug.2005 右理想上幂零导子的零化子 卢兰,宁国成,王宇 (1.吉林师范大学数学学院,吉林四平136000;2.白城铁路一中,吉林白城137000) 摘要:设是一个素环,L是的一个非零右理想,D是R的一个非零导子,aER.假设oD()n:0对于 所有的?L成立,这里n是一个固定整数,那么aL=0或D=0d(P),对于某个P?Q,使得pL=0. 关键词:素环;导子;右理想;广义多项式恒等式 中图分类号:0153.3文献标识码:A文章编号:1000—1840一(2OO5)O3—0007—02 1引言 R表示一个素环,Z是它的中心,C是它的扩展 形心.p表示R的双边商环,这些定义的详细解释可 参见文献[1].设D是R的一个非零导子,n?R,n 是一个固定的整数.Brar在文献[2]中证得结果: 若R是(n一1)!一扭自由的,且aD()=0对于 任意?R成立,则n=0.Lee在文献[3]中去掉了 (n一1)!一扭自由条件,并且把上面的结果推广到 Lie理想上.本文的主要目的是把上面的结果推广到 右理想上,具体结果如下: 定理:设R是一个素环,是R的一个非零右理 想,J.)是尺的一个非零导子,n?R.假设aD()” = 0对于所有的?,J成立,这里n是一个固定整 数,那么n,J=0或D=ad(P),对于某个P?p, 使得P,J=0. 2定理证明及推论 设R是一个素环,[,Y]=,?一y表示和 的交换子,D是R的一个非零导子,如果存在一个 6?,使得D()=[6,]对于任意的?R成 立,则称D为由b诱导的内导子,否则称为外导子. (,*cC{z,Y}表示c一代数(J和C{,,的自由 积.为了证明定理,我们需要如下引理. 引理1没L是的一个非零右理想,『J?(J, .?R使得(6一),J?0对=r所有?C成立,假 设.,:0,对于所有?,J成立,这里n是 固定的一个整数.若.,J?0,则R是满足一个非平 凡的广义多项式恒等式的环(简称GPI一环). 证明:假设R不满足任何一个GPI一环,取, Y?L使得6和是C一线性无关.由假设6, [xX,YY]是一个广义多项式恒等式,所以在 0*cC{,Y中有 nl6,xX,YyJ=0(1) 展开(1)式 n(bx,Y一6,YxX—xXyYb+yYxXb)=0 由于6C,故有 n(6,一Y一6,一YxX—xXyYb+YYxXb)一xXyYb : 0.因为6与是C一线性无关的,则 n(bxXy}一by}xX—xXy}6ylxXb),(xXy}6)(xXyt6)=o 重复上面的过程我们有: n(6.Yvl一by}IY—xXyt6ytxXb)(xXyYb)=0 故有?vYxXb(IYvYb):0,从而?,=0对于所 有v?,J.即.,J=0与已知相矛盾,这就证明了 和是C一线性相关的,对于所有的?,J.即存在 一 个()?C使得bx=(),不难看出:() 与选择无关.即存在?C使得bx=对于所 有?,J成立,即(方一),J=0与已知相矛盾,证 毕. 引理2设,J是R的一个非零右理想,D是R 的导子,那么下列条件是等价的:(1)D(,J)L=0; (2)D(L)=0;(3)D(,J).=0;对于某个n?R, (4)D=ad(p)对于某个P?Q使得pL=0. 对于引理2的证明请参见文献[4]. 下面是定理的证明: 收稿日期:2005—06—01 第一作者简介:,i兰(1978一),女,林省人,现为?林帅fi芏大学数学学院 侄谈硕J研究,{ --一—— 假设尺是一个交换素环,由nD(x)n:0.可知 a=0或D()=0对于任意?L成立.从而n =0或D(L)=0.如果D(L)=0,有LD(R):0, 由于尺是整环,故D(R)=0,即D:0与已知相矛 盾. 假设尺是一个非交换素环,首先假设D是一个 ~NW;-子.令?L,r?尺,由已知有aD(r)”: a(D()r+xD(r))=0根据着名的Kharehenko 定理,可用Y?R替代D(r),由于r的任意性,可令 r=0,于是有a(y)”=0,那么(axv)”: a(xya)xy=0,由Levitzi定理,得口=0. 现在假设D是内导子,因此有D=ad(b)对于 某个b?Q.如果(b—p)L=0对于某个p?C成 立,那么有D=ad(P)和pL:0这里P=b—J8 定理得证.因此我们假设(b—)L?0对于所有的 E-C.假设n?0,由引理1知尺是一个广义多项 式恒等式环,因为尺和Q满足相同的广义多项式恒 等式,更进一步,Q是一个中心闭的素c一代数.由 Martindale定理[5]知Q是一个强本原环,设日: soe(Q),这里是一个自身带有极小右理想的单 环.因为和尺满足相同的广义多项式恒等式,我 们有 a[b,]=0(2) 对于所有的? 设e:e?LH,Y?H,在(2)式中用ev(1一 e)替代,并且(2)式右乘e,于是我们有 a(bey(1一e)一ev(1一e)b)”e:0 也就是(Y(1一e)6e)=0.根据文献[6]有 aey(1一e)be:0,由于尺是素环,有ae:0或6e: e6e.再由文献[7]定理知是一个正则环,那么对 于每一个?存在一个幂等元e?使得 =exe?xH,所以对于?LH,ax:0或6? c,那么LH是两个子加群{?I口: 0}和{?LHl6?L日的并集.由于一个群不 可能表示成两个子群的并,那么有n:0或bLH . 因为aL?0,故有bLHcLH.令-,=,用 里的一个非零元替代a,我们可以总假设n?-,. 设.,=.,/(.,n2,,(J))它是一个素环,是由 诱导的,也就是说D一():丽对于?-,,根据 已知,对于所有的?了我们有__aD()”:0由文献 [3]中的推论有aJ=0或D(J):0,如果aJ:0, 那么aLH=0,矛盾. 那么D(.,)J=0,进而d(L)L=0.由引理2知 (b—p)L=0,对于某个p?C,这又与我们的假设 矛盾,证毕. 由上面定理可见: 推论:设尺是一个素环,D是尺的一个非零导 子,a?R.假设aD()”=0对于所有的?尺成 立,这里n是一个固定的整数,则a:0或D:0. 参考文献 [1]K.I.Beidar,W.S.Martrindale ?,A..MikhalevRingwithGeneralizedIdentities[M].1996. [2JM.Brar.AnoteonderivationlJJ.MathJ.OkayamaUniv1900,32:83—88. [3jT.K.LeeandJ.S.Lin.AresultonderivationslJJ.Proc.Amer,Math.Soc,1996,124(6):1687,1691. [4JM.Br茜 ar.One—sideidealsandderivationsofprimeringslJ].Proe.Amer.Math.Soc,1994,122:979,983. [5]W.SMathnd~e ?.Primeringssatisfyinggeneralizedpolynomialidentiy[J].J.Algebra,1969,12:576,584. [6JB.Felzenszwalb.OnaresultofLevitzkilJJCanad,Math.Bull,1978,21:241,242. [7]C.FaithandY.Utumi.OnanewproofofLitoffstheorem[J].ActamathAcad.Aead.Sci.Hung,1963,14:369,371 AnnihilatorsofPowerValuesofDerivationsinRightIdeal LULan,NINGGuo-cheng,WANGYu (1.CollegeofMathematics,JilinNormalUniversity,Siping136000,China;2.?1MiddleSchoolofRailway.Baicheng.Bai~heng137000,China) Abstract:LetRbeprimering,LanonzeroderivationofRandnE-R.SupposethataD()”=0forall E-L,wherenisfixedpositiveinteger.Theneithern=0orD=ad(P)forsomeP? QSHellthatpL=0. Keywords:primering;dervation;rightideal;generalizedpolynomialidentities