斯托克斯公式

斯托克斯公式 第七节 斯托克斯公式 一、斯托克斯公式 斯托克斯公式是格林公式的推广。格林公式表达了平面区域上的二重积分与其边界曲线上的曲线积分间的关系，而斯托克斯公式则把曲面 上的曲面积分与,沿着的边界曲线的曲线积分联系起来，这个联系可陈述如下; , 定理1 设为分段光滑的空间有向闭曲线， 是以为边界的分片光滑的有,,,向曲面，的正向与的侧符合右手规则，函数P(x,y,z)、Q(x,y,z)、R(x,y,z),, 在曲面(连同边界)上具有一阶连续偏导数，则有 ,, ,,,,,R,Q,P,R,Q,P,, ,,,,,dydz，,dzdx，,dxdy,,,,,,,,,y,z,z,x,x,y,,,,,,, (1) ,Pdx，Qdy，Rdz,, 公式(1)叫做斯托克斯公式。 为了便于记忆，利用行列式记号把斯托克斯公式(1)写成 dydzdzdxdxdy ,,, ,Pdx，Qdy，Rdz,,,,,x,y,z,, PQR ,,R,,把其中的行列式按第一行展开，并把 与R的积 理解成为 与Q,y,y,z ,Q的“积” 理解成为 等等，于是这个行列式就“等于“ ,z ,,,,,R,Q,P,R,Q,P,, ,,,,,dydz，,dzdx，,dxdy,,,,,,,y,z,z,x,x,y,,,,,, 这恰好是公式(1)左端的被积表达式。 利用两类曲面积分间的联系，可得斯托克斯公式的另一形式: coscoscos,,, ,,,dS,Pdx，Qdy，Rdz, ,,,,x,y,z,, PQR cos,,cos,,cos,其中n=( )为有向曲面在点(x,y,z) 处的单位法向量。 , 170 如果 是xOy面上的一块平面闭区域，斯托克斯公式就变成格林公式。因此，格林公式是斯托克斯公式的一个特殊情形。 例1 利用斯托克斯公式计算曲线积分 ，其中为平面zdx，xdy，ydz,,, x+y+z=1 被三个坐标面所截成的三角形的整个边界，它的正向与这个三角形上侧的法向量之间符合右手规则(图10-13) 解 按斯托克斯公式，有 zdx，xdy，ydz,dydz，dzdx，dxdy,,,,, 由于 的法向量的三个方向余弦都为正，又由于对称, 性，上式右端等于 3d,, ,,Dxy 其中 为xOy面上由直线x+y=1及两条坐标轴围成的三角形区域，因此 Dxy 3 zdx，xdy，ydz,,2, 例2 利用斯托克斯公式计算曲线积分 222222 I,，，y,zdx，z,x，，，，dy，x,ydz,,, 3,,，，x,y,z0,x,1,0,y,1,0,z,1其中是用平面x+y+z= 截立方体 ,2 的表面所得的截痕，若从Ox轴的正向看去，取逆时 针方向。(图10,14(a)) 3 解 取为平面x+y+z=上侧被所围成的部,,2 1，，1,1,1,分， 的单位法向量n= 即 ,3 1cos,cos,cos,,,,。按斯托克斯公式，有 3 171 111 333 ,,,4IdS, = ，，,x，y，zdS,,,,xyz,,,3,,222222yzzxxy,,, 3因为在 上x+y+z= ,故,2 43I,,,dS,,233dxdy,,6,xy,,,,23,Dxy D其中 为在xOy平面上的投影区域(图10,xy ,14(b))， 13,D,1,2，,,为 的面积，因故xyxyxy84 9I,, 2 二、环流量与旋度 设斯托克斯公式中的有向曲面 在点(x,y,z)处的单位法向量为 , ,,, n,cos,i，cos,j，cos,k而 的正向边界曲线 在点(x,y,z)处的单位切向量为 ,, ,,, ,,cos,i，cos,j，cos,k,则斯托克斯公式可用对面积的曲面积分及对弧长的曲线积分表示为 ，，,,,,,R,Q,P,R,Q,P,,,,,,cos，,cos，,cosdS,,,,,,,,,,,,,,,y,z,z,x,x,y,,,,,,,，， ，，,Pcos,，Qcos,，Rcos,ds(7),, ,,, ，，，，，，，，Ax,y,z,Px,y,zi，Qx,y,zj，Rx,y,zk设有向量场 在坐标轴上的投影分别为 172 ,P,Q,P,R,Q,P,,,,, ,y,z,z,x,x,y的向量叫做向量场A的旋度，记作rot A ，即 ,,,,,,,,R,Q,P,R,Q,P,,rotA (8) ,,i，,j，,k,,,,,,,,,,,y,z,z,x,x,y,,,,,, 现在，斯托克斯公式可写成向量的形式 rotA,ndS,A,,ds, ,,,,, 或 ，，rotAdS,Ads,n,,,,, ,,,,,R,Q,P,R,Q,P,,其中 (rotA) ,,cos,，,cos,，,cos,,,,,,,n,,,,,y,z,z,x,x,y,,,,,,为 rot A 在 的法向量上的投影，而 , A,A,,,Pcos,，Qcos,，Rcos, , 为向量A在 的切向量上的投影 , 沿有向闭曲线 的曲线积分 , Pdx，Qdy，Rdz,Ads,,,,, 叫做向量场A沿有向闭曲线 的环流量。斯托克斯公式(9)现在可叙述为:向量, 场A沿有向闭曲线 的环流量等于向量场A的旋度场通过 所张的曲面 的,,, 通量，这里 的正向与的侧应符合右手规则。 ,, 为了便于记忆，rot A 的表达式(8)可利用行列式记号形式表示为 ,,,ijk ,,,rot A= ,x,y,z PQR 习题10,7 1(利用斯托克斯公式，计算下列曲线积分: 2222(1)ydxzdyxdz,其中为圆周xyza,xyz0,若从x轴的正向看去，，，,，，,，，,,, 这圆周取逆时针方向 173 xz222(2)(yz)dx(zx)dy(xy)dz,其中为椭圆xya,1(a0,b0),,，,，,,，,，,,,,,ab若从x轴的正向看去，这椭圆取逆时针方向; 22222(3)3ydxxzdyyzdz,其中为圆周xy，za,z2,若从z轴的正向看去，,，,，,,,, 这圆周取逆时针方向; 2(求下列向量场的旋度: ,,, (1) A,(2z,3y)i，(3x,z)j，(y,2x)k ,, (2) A,(z，siny)i,(z,xcosy)j 3.求下列向量场A沿闭曲线(从z轴正向看去依逆时针方向)的环流量 , ,,,22(1) A,,yi，xj，ck(c为常量),,为圆周x，y,1,z,0 ,,,3222(2) A,(x,z)i，(x，yz)j,3xyk,,为圆周z,2,x，y,z,0 174