等差、等比数列的求和公式　

等差、等比数列的求和公式　 等差、等比数列的求和公式 【复习目标】 1( 掌握等差、等比数列前n项和的公式 【重点难点】 理解求等比数列前n项和时，要分q=1和q?1建立分类讨论的思想 【知识梳理】 (1) 数列的前n项和: SS,a，a，,,,，ann12n Sn,1,1(2) 由求 Sna, a,,nnS,Sn,2,nn,1 注意:用求出的不一定是数列的通项公式，还必须检验n=1 a,S,S(n,2) annn,1n 的情形 n(a，a)n(n,1)(3)等差数列的前n项和的公式:= 1n S, na，d1n22 ,n(n1)dd由=，可得非常数列的等差数列的前n项和是关于2 S, na，dn，(a,)nn11222 n的二次函数，缺常数项 注意:等差数列中通项公式和前n项和公式中五个量，只要知道其中三a,d,n,S,a1nn 个，就可以求其它两个，而是基本量; a,d1 na (q,1),1(4)等比数列的前n项和的公式: ,n S,aaq,a(1,q),n1n1, (q,1),1-q1,q, 注意: 1、等比数列中通项公式和前n项和公式中五个量，只要知道其a,q,n,S,a1nn 中三个，就可以求其它两个，而是基本量; a,q1 2、求等比数列前n项和时，一定要分q=1和q?1分类讨论 【课前预习】 1.等差数列{a}的前n项和为S，若a=18,a，则S等于 ( ) nn458 A(18 B(36 C(54 D(72 2. 有200根相同的钢管，把它们堆放成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么 剩余钢管的根数为 ( ) A(9 B(10 C(19 D(29 3(在等比数列中，，则= ; S,,aa,,1,a,,164n13 4(若是等差数列前n项和，则是否成等差数列, SS,S,S,S,S,,an484128n 若是等比数列前n项和，则是否成等差数列, SS,S,S,S,S,,an484128n 25(已知数列的前n项和，则 . ,,aS,n，n，2a,nnn【典型例题】 题型一:前n项和公式的应用 nn,1n,222n,2n,1n*例1 S,a，ab，ab，？，ab，ab，b(n,N)n ,1n，1例2已知数列，对一切都满足，求数列的通项公式.n,N,,a,,aa,a,1,3()nnn，1n2 题型二:基本量的计算 例3如果一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和之比为32: 27，求公差; 例4设等差数列{a}的前n项和为S.已知a=12, S,0,S,0. nn31213 (?)求公差d的取值范围; (?)指出S,S,„,S,中哪一个值最大,并说明理由. 1212 aS题型三:由求 nn n例5等比数列的前n项和，则k的值是 ( ) S,k,3，1n A(全体实数 B(,1 C(1 D(3 题型四:等差、等比数列的混合应用 例6给出数表: 1, 2,3, 4,5,6, 7,8,9,10, ？？？？？ 1)前m行共有几个数, ( (2)第m行的第一个数和最后一个数各是多少, (3)求第m行的各数之和; 4)数100是第几行的第几个数 ( 题型五:等差、等比数列的应用题 2某地今年年初有居民住房面积为a m,其中需要拆除的旧房面积占了一半(当地有关部门 2决定每年以当年年初住房面积的10%的住房增长率建设新住房，同时每年拆除x m的旧 住房，又知该地区人口年增长率为4.9?((1)如果10年后该地的人均住房面积正好比 目前翻一番，那么每年应拆除的旧住房面积x是多少, (2)依照(1)拆房速度，共需多 少年能拆除所有需要拆除的旧住房, 【巩固练习】 1(二进制数即“逢2进1”，如(1101)，表示二进制数，将它转换成十进制形式是 2 3210(111？1)，那么二进制数，转换成十进制形式是: 1，2，1，2，0，2，1，2,13 2001个 2002200120012000(A)2,, (B)2,2 (C)2,, (D)2,, 2(若数列是等差数列，d=2,a =-10,则S = . 1515,,an 22n-13(数列1，1+2，1+2+2，„„，1+2+2+„„+2，„„的前n项和是S= . n 4(等比数列的前n项和为，若，2，3成等差，则数列的公比= . SS,,aS,,aS12nn3n 5(若在等差数列中，，，则 . ,,aa，a，a,,24a，a，a,78S,n23416182020 SS1312?6(设是等差数列的前n项和，若，求的值. ,,Sa,nnS3S66 【本课小结】 【课后作业】 ad,1(已知是等差数列，aa，,6，其前5项和S,10，则其公差 ( ,,n465 4710310n，fn()2(设，则等于 ( ) fnnN()22222(),，，，，，, 2222nn，1n，3n，4(A) (B)(C) (D) ,,,,(81)(81)(81)(81)7777 Aa745n，nn3(已知两个等差数列和的前项和分别为A和，且，则使得 ,{}bB{}annnnnbBn，3nn为整数的正整数的个数是( ) n A(2 B(3 C(4 D(5 4(数列是等比数列，,8，设，如果数列的前7项和是它的前n项Sa,,ab,loga,,b71nn2nn 和组成的数列的最大值，且，求的公比q的取值范围( ,,,SSa,,S78nn n21*n,?5(设数列a满足 ，，，,,33...3,.aaaanN,,n123n3 n(I)求数列a的通项; (II)设b,,求数列b的前项和. Sn,,,,nnnnan ?6(有一条生产流水线，由于改进了设备，预计第一年产量的增长率为150%，以后每年的 增长率是前一年的一半，设原来的产量为a. (?)写出改进设备后的第一年，第二年， ―1年n?2，n?N)的产量之间的关系式; (?)第三年的产量，并写出第n与第n 由于设备不断老化，估计每年将损失年产量的10%，请说明从第几年起，产量将比上一 年减少. ?23等差、等比数列的求和公式参考答案(简答) 【课前预习】 1、D 2、C 3、-85，51 4、一定，不一定 如1，-1，1，-1，„„„ 4 (n,1)5、 ,a,,n2n (n,2), 【典型例题】„„ nn例1:讨论:a=0或b=0时，S,b(a) n n当a=b时，S,(n，1)a; n n，1n，1a,b,当ab时，S, na,b 3: 例2a,，n,2nn2 例3:解:设等差数列首项为，公差为d，则 a1 1,12，，12，11,,354ad1,2,12，66,354ad,2a,,1,116(，)，，6，5,2add,, ,,,1325,2,02,5add,,1,,127,6，，6，5,2ad1,2, , ,又法: S，S,354奇偶,,S,S,d,偶奇,S32偶,,S,27奇, 12，(12,1)例4:解: (?)依题意,有 S,12a，,d,01212 2，11,0(1)ad,13，(13,1)1，即 S,13a，,d,0,131a，6d,0(2)21,由a=12,得 a=12,2d 31 24，7d,0,24(3)将(3)式分别代入(1),(2)式,得 ，?. ,,d,,3,3，d,07, (?)由d,0可知 a,a,a,„,a,a. 1231213因此,若在1?n?12中存在自然数n,使得a,0,a,0, nn+1则S就是S,S,„,S中的最大值. n1212 由于 S=6(a+a),0, S=13a,0，即 a+a,0, a,0. 1267137677由此得 a,,a,0.因为a,0, a,0,故在S,S,„,S中S的值最大. 676712126 例5: B 111例6:(1) (2) m(m，1)m(m,1)，1;m(m，1)222 12 (3) (4)第14行的第9个数 m(m，1);2 【巩固练习】 1、A 5、180„„ 【课后作业】„„ 11、 2、D 3、D 2 nn,121n,22n,?5、(I) ，，，,33...3,aaaaaaaan，，，,,33...3(2),123n1231n,33nn,111n,1 an,,3(2).an,,,,(2).nnn3333 1*验证时也满足上式， n,1anN,,().nn3 n13nnn，，11(II) ，利用错位相消得 bn,,3,,,,，,S33nn244