同济高数第五版答案

同济高数第五版 ----------------------- Page 1----------------------- 习题 1 1 1. 设A (?, 5)?(5, +?), B [ 10, 3), 写出A ?B, A ?B, A\B 及 A\(A\B) 的达式. 解 A ?B (?, 3)?(5, +?), A ?B [ 10, 5), A\B (?, 10)?(5, +?), A\(A\B) [ 10, 5). C C C 2. 设A 、B是任意两个集合, 证明对偶律: (A ?B) A ?B . 证明 因为 C C C C C x ?(A ?B) x A ?B x A 或x B x ?A 或x ?B x ?A ?B , C C C 所以 (A ?B) A ?B . 3. 设映射f : X ?Y, AX , BX . 证明 (1)f (A ?B) f (A)?f (B); (2)f (A ?B)f (A)?f (B). 证明 因为 y ?f (A ?B)x ?A ?B, 使f (x) y (因为x ?A 或x ?B) y ?f (A)或y ?f (B) y ? f(A)?f (B), 所以 f (A ?B) f (A)?f (B). (2) 因为 y ?f (A ?B) x ?A ?B, 使f (x) y (因为x ?A 且 x ?B) y ?f (A)且y ?f (B) y ? f(A)?f (B), 所以 f (A ?B)f (A)?f (B). 4. 设映射f : X ?Y, 若存在一个映射g : Y?X , 使 , , 其中I 、I 分别 是X 、 g f I f Xg I Y X Y Y上的恒等映射, 即对于每一个x ?X , 有I x x ; 对于每一个y ?Y, 有I y y . 证明:f 是双射, 且g X Y 是f 的逆映射: g f 1. 证明 因为对于任意的y ?Y, 有x g(y ) ?X , 且f (x) f [g(y )] I y y y , 即Y中任意元素都是X 中 某 元素的像, 所以f 为X 到Y的满射. 又因为对于任意的x ?x , 必有f (x )?f (x ), 否则若f (x ) f (x ) g [ f(x )] g [f (x )] x x . 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 因此f 既是单射, 又是满射, 即f 是双射. 对于映射g : Y?X , 因为对每个y ?Y, 有g(y ) x ?X , 且满足f (x) f [g(y )] I y y y , 按逆映射的 定义, g 是f 的逆映射. 5. 设映射f : X ?Y, AX . 证明: 1 (1)f (f (A))A ; (2) 当f 是单射时, 有f 1(f (A)) A . ----------------------- Page 2----------------------- 证明 (1) 因为x ?A f (x) y ?f (A) f 1(y ) x ?f 1(f (A)), 1 所以 f (f (A))A . 1 (2) 由(1)知f (f (A))A . 另一方面, 对于任意的x ?f 1(f (A))存在y ?f (A), 使f 1(y ) xf (x) y . 因为y ?f (A)且f 是单 射, 所以x ?A . 这就证明了f 1(f (A))A . 因此f 1(f (A)) A . 6. 求下列数的自然定义域: y (1) x3+ 2 ; 2 2 解 由3x+2?0 得>x + ,[? ) . 函数的定义域 为 . 3 3 1 (2) y 1x2 ; 解 由 1x2?0 得x?? 1. 函数的定义域为(?, 1)?( 1, 1)?(1, +?). 1 y 1 x2 ; (3) x 解 由x?0 且 1x2?0 得函数的定义域D [ 1, 0)?(0, 1]. 1 (4) y ; 4x 2 解 由4x2>0 得 |x |<2. 函数的定义域为(2, 2). y (5) x sin ; 解 由x?0 得函数的定义 D [0, +?). (6) y tan(x+ 1); π π 解 由 ? x+ k π 1 +x ? 1 (k 0, ? 1, ?2, )得函数的定义域为 (k 0, ? 1, ?2, ). 2 2 (7) y arcsin(x3); 解 由|x3|?1 得函数的定义域 D [2, 4]. 1 (8) ; y 3x + arctan x 解 由3x?0 且x?0 得函数的定义域 D (?, 0)?(0, 3). (9) y ln(x+ 1); 解 由x+ 1>0 得函数的定义域 D ( 1, +?). 1 (10)y e x . 解 由x?0 得函数的定义域 D (?, 0)?(0, +?). 7. 下列各题中, 函数f (x)和 g(x)是否相同,为什 么, ----------------------- Page 3----------------------- 2 (1)f (x) lg x , g(x) 2lg x ; (2)f (x) x , g(x) x 2 ; (3) 4 3 3 3 f x x (x ) g( )x x , x 1 . 2 2 (4)f (x) 1, g(x) sec xtan x . 解 (1)不同. 因为定义域不同. (2)不同. 因为对应法则不同, x<0 时, g(x)=x . (3)相同. 因为定义域、对应法则均相相同. (4)不同. 因为定义域不同. π |sin | | x| x < 3 π π π 8. 设 ( )x , 求 ( ) , ( ) , ( ) , (2), 并作出函数y (x) 的图形. π 6 4 4 0 | | x ? 3 π π π 1 π π 2 π 2 解 )( |sin | , , ( 2, ) 0 . )( |sin = | = ( ) |sin( )| 6 6 2 4 4 2 4 4 2 9. 试证下列函 数在指定区间内的单调性: x (1) y , (?, 1); 1 x (2)y x+ln x , (0, +?). 证明 (1)对于 任意的x , x ?(?, 1), 有 1x >0, 1x >0. 因为当x