大一(第一学期)高数期末考试题及答案

大一上学期高数期末考试 一、单项选择 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. . （A）   （B） （C）   （D） 不可导. 2. . （A） 是同阶无穷小，但不是等价无穷小；  （B） 是等价无穷小； （C） 是比 高阶的无穷小；        （D） 是比 高阶的无穷小. 3. 若 ，其中 在区间上 二阶可导且 ，则（    ）. （A）函数 必在 处取得极大值； （B）函数 必在 处取得极小值； （C）函数 在 处没有极值，但点 为曲线 的拐点； （D）函数 在 处没有极值，点 也不是曲线 的拐点。 4. （A）   （B） （C）   （D） . 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5.                     . 6.                   . 7.                 . 8.                       . 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 设函数 由方程 确定，求 以及 . 10. 11. 12. 设函数 连续， ，且 ， 为常数. 求 并讨论 在 处的连续性. 13. 求微分方程 满足 的解. 四、 解答题（本大题10分） 14. 已知上半平面内一曲线 ，过点 ，且曲线上任一点 处切线斜率数值上等于此曲线与 轴、 轴、直线 所围成面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程. 五、解答题（本大题10分） 15. 过坐标原点作曲线 的切线，该切线与曲线 及x 轴围成平面图形D. (1) 求D的面积A；(2) 求D绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积V. 六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分） 16. 设函数 在 上连续且单调递减，证明对任意的 ， . 17. 设函数 在 上连续，且 ， .证明：在 内至少存在两个不同的点 ，使 （提示：设 ） 解答 一、单项选择题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1、D  2、A  3、C  4、C 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. . 6. .7.  .  8. . 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 解：方程两边求导 ， 10. 解： 11. 解： 12. 解：由 ，知 。 ， 在 处连续。 13. 解： ， 四、 解答题（本大题10分） 14. 解：由已知且 ， 将此方程关于 求导得         特征方程：     解出特征根： 其通解为                        代入初始条件 ，得    故所求曲线方程为： 五、解答题（本大题10分） 15. 解：（1）根据题意，先设切点为 ，切线方程： 由于切线过原点，解出 ，从而切线方程为： 则平面图形面积 （2）三角形绕直线x = e一周所得圆锥体体积记为V1，则 曲线 与x轴及直线x = e所围成的图形绕直线x = e一周所得旋转体体积为V2 D绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积 六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共12分） 16. 证明： 故有： 证毕。 17. 证：构造辅助函数： 。其满足在 上连续，在 上可导。 ，且 由题设，有 ， 有 ，由积分中值定理，存在 ，使 即 综上可知 .在区间 上分别应用罗尔定理，知存在 和 ，使 及 ，即 .