离散数学期末复习题

离散数学期末复习题 第一章集合论 一、判断题 （1）空集是任何集合的真子集．                          （  错  ） （2） 是空集．                                        （  错  ） （3）                                         （  对  ） （4）设集合 .                  (  对  ） （5）如果 ，则 或 ．                  （  错  ） 解 则 ，即 且 ，所以 且 （6）如果A∪                             （  对  ） （7）设集合 ， ，则 （ 错  ） （8）设集合 ，则 是 到 的关系．                                                      （  对  ） 解 ， （9）关系的复合运算满足交换律．                          （  错  ） （10）   （  错  ） （11）设           (  对  ) （12）集合A上的对称关系必不是反对称的.                          （  错  ） （13）设 为集合 上的等价关系, 则 也是集合 上的等价关系(  对 ) （14）设 是集合 上的等价关系, 则当 时，     (  对  ) （15）设 为集合 上的等价关系, 则       (  错  ) 二、单项选择题 （1）设 为实数集合，下列集合中哪一个不是空集                    （  A  ） A.         B． C.         D. （2）设 为集合，若 ，则一定有                        （  C  ） A.         B．       C.         D. （3）下列各式中不正确的是                                        （  C  ） A.         B．       C.        D. （4）设 ，则下列各式中错误的是                        （  B  ） A.         B．       C.        D. （5）设 ， ， ，则 为      （  B  ） A.            B．       C.            D. （6）设 ， ，则 的恒等关系为            （ A  ） A.    B．       C.            D. （7）设 上的二元关系如下，则具有传递性的为            （  D  ） A.  B．       C.  D.  （8）设 为集合 上的等价关系，对任意 ，其等价类 为    （  B  ） A. 空集；      B．非空集；      C. 是否为空集不能确定；  D. . （9）映射的复合运算满足                                    （  B  ） A.  交换律        B．结合律        C.  幂等律        D. 分配律 （10）设A，B是集合，则下列说法中（ C ）是正确的. A．A到B的关系都是A到B的映射 B．A到B的映射都是可逆的 C．A到B的双射都是可逆的 D． 时必不存在A到B的双射 （11）设A是集合，则（ B ）成立. A． B． C． D． （12）设A是有限集（ ），则A上既是 又是～的关系共有（ B ）. A．0个 B．1个 C．2个 D． 个 三、填空题 1. 设 ，则 ____________. 填 2.设 ，则 =                        . 填 3.设集合 中元素的个数分别为 ， ，且 ， 则集合 中元素的个数               .3 4.设集合 ， ，则 中元素的个数为          .40 5.设 , 是 上的包含于关系，,则有 =                                                                  . 6.设 为集合 上的二元关系, 则               . 7.集合 上的二元关系 为传递的充分必要条件是                ． 8. 设集合 及集合A到集合 的关系 ｛ | ∩ ___________________. 填 四、解答题 1. 设 上的关系 （1）写出 的关系矩阵； （2）验证 是 上的等价关系； （3）求出 的各元素的等价类。 解 （1） 的关系矩阵为 （2）从 的关系矩阵可知： 是自反的和对称的。 又由于 或 满足 所以 是传递的。 因为 是自反的、对称的和传递的，所以 是 上的等价关系。 （3） ， 2. 设集合 ， 是 上的整除关系， （1） 写出 的关系矩阵 ； （2） 画出偏序集 的哈斯图； （3） 求出 的子集 的最小上界和最大下界。 解：（1）             （2） （3）lubB=6,    glbB=1 五、题 1. 设 为集合 上的等价关系, 试证 也是集合 上的等价关系。 证明：由于 是自反的，所以对任意 , , 因而 ，即 是自反的。 若 ，则 ,由于 是对称的，所以 , 从而 ，即 是对称的。 若 ，则 ,由于 是传递的，所以 , 从而 ，即 是传递的。 由于 是自反的、对称的和传递的，所以 是等价关系。 第二章 代数系统 一、判断题 （1）集合A上的任一运算对A是封闭的．                      （  对  ） （2）代数系统的零元是可逆元.                              （  错  ） （3）设A是集合， ， ，则 是可结合的． （  对  ） （4）设 是代数系统 的元素，如果 是该代数系统的单位元），则                                                       (  对  ) （5）设               （  错  ） （6）设 是群．如果对于任意 ，有 ，则 是阿贝尔群．                                                        （  对  ） （7）设                     （  对  ） （8）设集合 ，则 是格．        （  对  ） （11）<{0，1，2，3，4}，max，min>是格．                      （  对  ） （9）设 是布尔代数，则 是格．            （  对  ） （10）设 是布尔代数，则对任意 ，有 ．                          （  对  ） 二、单项选择题 （1）在整数集 上，下列哪种运算是可结合的                  （  B  ） A.                B．       C.                D. （2）下列定义的实数集R上的运算 * 中可结合的是.        （  C  ） A． B． C． D． 其中，+，·，︱ ︱分别为实数的加法、乘法和取绝对值运算. （3）设集合 ，下面定义的哪种运算关于集合 不是封闭的 （  D  ） A.  B．       C.  ，即 的最大公约数 D.  ，即 的最小公倍数 （4）下列哪个集关于减法运算是封闭的                        （  B  ） A.  （自然数集）；            B． ； C.  ；            D.  . （5）设 是有理数集，在 定义运算 为 ，则 的单位元 为                                                          （  D  ） A.  ；        B． ；          C.  1；          D. 0 （6）设代数系统 A，· ，则下面结论成立的是.                （  C  ） A．如果 A，· 是群，则 A，· 是阿贝尔群 B．如果 A，· 是阿贝尔群，则 A，· 是循环群 C．如果 A，· 是循环群，则 A，· 是阿贝尔群 D．如果 A，· 是阿贝尔群，则 A，· 必不是循环群 （7）循环群 的所有生成元为                            （  D  ） A. 1，0          B．-1，2        C.  1，2        D. 1，-1 三、填空题 1. 设 为非空有限集，代数系统 中， 对运算 的单位元为    ，零元为        .填 2.代数系统 中（其中 为整数集合，+为普通加法），对任意的 ，其       .填 3.在整数集合 上定义 运算为 ，则 的单位元为      . 解 设单位元为 ， ，所以 ， 又 ，所以单位元为 4.在整数集合 上定义 运算为 ，则 的单位元为      . 解设单位元为 ， ， ，所以 5.设 是群，对任意 ，如果 ，则          .填 6.设 是群， 为单位元，若 元素 满足 ，则         .填 四、解答题 1.设 为实数集 上的二元运算，其定义为 ，对于任意 求运算 的单位元和零元。 解：设单位元为 ，则对任意 ，有 ， 即 ，由 的任意性知 ， 又对任意 ， ； 所以单位元为0                                                设零元为 ，则对任意 ，有 ， 即  ，由 的任意性知  又对任意 ， ， 所以零元为  2. 设 为集合 上的二元运算，其定义为 ，对于任意 （1） 写出运算 的运算表； （2） 说明运算 是否满足交换律、结合律，是否有单位元和零元、如果有请指出；