非交换代数C_a_b_c_X_Y_Z_的导子代数

非交换代数C_a_b_c_X_Y_Z_的导子代数 2007年 2月Feb. , 2007 ()Jou rna l of Changshu In stitu te of Techno logy N a tu ra l Sc ience s 非交换代数[ X, Y, Z ] 的导子代数 C a, b, c 法焕霞 ()215500 常熟理工学院 数学系 ,江苏 常熟 摘 要 : 利用初等的方法直接了文献 [ 1 ]中引理 2. 4 的一个特例 : C[ X , Y, Z ] 的导子代数 a, b, c 由内导子和 D形式的导子生成 .αβγ ,, 关键词 : 导子代数 ;内导子 ;罗朗多项式环 ( ) 文献标识码 : A中图分类号 : O 152. 5 文章编号 : 1008 - 2794 2007 02 - 0015 - 04 1 引 言 ?1 ?1 ?1 ?1 设 C[ X , Y ]为复数域 C上的非交换罗朗多项式环 , 对任意 X , Y ? C[ X , Y ]满足关系 YX = qX Y, q q n ?1 ?1 其中 q为非零复数 , 且对任意整数 n都有 q? 1. 文献 [ 2 ] - [ 4 ] 都对代数 C [ X , Y] 进行过讨论 , 考虑了 q 它的导子代数 , 并对所有内导子组成的代数的非平凡中心扩张进行了研究 . 我们考虑满足下面所给关系的三 个变量的代数 C[ X , Y, Z ], 并对其导子代数进行讨论.a, b, c i j k 3 设 a, b, c ? C = C \ { 0 } , 且对任意 i, j, k ? N ? { 0 } = Z 不同时为零时 , 都有 a b c ? 1, 其中 X , Y, + Z 为三个参变量 , 并且假设 YX = aX Y, Z Y = bY Z , Z X = cX Z. 记 C[ X , Y, Z ] 为复数域 C 上满足上述关系a, b, c i j k 的非交换罗朗多项式环 . 由其构造过程可以看出 X YZ, i. .j k ? Z 形式的单项式构成向量空间 C [ X , Y, + a, b, c Z ] 的一组基. βγ α 对 ,,? C, 定义代数 C[ X , Y, Z ] 上的线性映射 D为αβγ a, b, c ,,i j k i j k ) ( )( (αβγ) 1 DX Y Z = i +j +k X Y Z , αβγ ,,i j k 其中 X YZ? C [ X , Y, Z ]. a, b, c 本文利用初等的方法直接证明了 C[ X , Y, Z ] 的导子代数是由其内导子和 D形式的导子生成的 , a, b, c α,β,γ 这一结果是文献 [ 1 ] 中引理 2. 4的一个特例. 2 代数 的导子代数 ( ) 下面我们证明由 1 式所定义的代数 C[ X , Y, Z ] 的映射是此代数的导子 , 即有下面的引理. a, b, c αβγ( ) 引理 对 ,,? C, 由 1 式所定义的代数 C[ X , Y, Z ]的映射 D实际上为 C[ X , Y, Z ]的导 αβγa, b, c ,,a, b, c 子 , 并且它不是此代数的内导子 . i j k r s t [ X , Y, Z ], 我们有 证明 :对任意的 X YZ, X YZ ? C a, b, c i j k r s t k r jr ks i + r j+s k + t ( )( a b X Y Z DX Y Z X Y Z =Dc) αβγ αβγ ,,,, k r jr k s i + r j+s k + t (α( ) β( ) γ( ) ) = c a b i + r+j + s+k + tX Y Z 收稿日期 : 2006 - 12 - 24 ( ) 作者简介 :法焕霞 1978—,女 ,山东胶南人 ,常熟理工学院数学系讲师 ,硕士 。 ()16 2007年常熟理工学院学报 自然科学版 同时也有 i j k r s t i j k r s t (( ) ) ( ) ( ) (( ) )DX Y Z X Y Z + X Y Z DX Y Z αβγ αβγ ,,,,i j k r s t i j k r s t (αβγ) ( ) (αβγ) ( )= i +j +k X YZX YZ + X YZi +j +k X YZ k r jr k s i + r j+s k + t k r jr k s i + r j+s k + t (αβγ) (αβγ) = i +j +k cabX YZ+ r +s +tcabX YZ k r jr ks i + r j+s k + t (α( )β( ) γ( ) ) = c a b i + r +j + s+k + tX Y Z 从而我们得到 i j k r s t i j k r s t i j k r s t ( )(( ) ) ( )( ) (( ) )DX Y Z X Y Z DX Y Z X Y Z + X Y Z DX Y Z = α,β,γ α,β,γ α,β,γ ?1 ?1 ?1 ?1 ?1 ?1 ( ) 即证得由 1 式所定义的代数 C[ X , Y , Z] 的映射 D是 C[ X, Y , Z ] 的导子. αβγ a, b, c ,,a, b, c i j k i j k ) ( 导子 D作用在单项式 X Y Z i, j, k ? Z 时 , X Y Z 的次数没有发生变化 , 而内导子作用在单项式 α,β,γ i j k i j k ( ) X Y Z i, j, k ? Z 时 , X Y Z 的次数会发生变化 , 因而我们说 D不是代数 C[ X , Y, Z ] 的内导子 . α,β,γ a, b, c 定理 C[ X , Y, Z ]的所有导子所构成的李代数是由 C[ X , Y, Z ]的内导子和形为 D的由代数 αβγ a, b, c a, b, c ,, 导子生成的 . 证明 :设 D 为 C[ X , Y, Z ] 的任意导子 , 由关系式a, b, c YX = aX Y, Z Y = bY Z , Z X = cX Z ( )2 其中 a, b, c如上所述 , 我们得到 ( ) ( ) ( ) ( )D Y X + YD X = aD X Y + aXD Y )( 3 ( ) ( )( ) ( )D Z Y + ZD Y = bD Y Z + bYD Z ( ) ( )( ) ( )= cD X Z + cXD Z D Z X + ZD X 整理可得 ( ) ( )( ) ( )D Y X - Y = aD X Y - YD X aXD ( )4 ( ) ( )( ) ( )D Z Y - bYD Z = bD Y Z - ZD Y ( ) ( )( ) ( )D Z X - cXD Z = cD X Z - ZD X 不妨设 n n n i j k ( )D X α= X Y Z ,i, j, k ??? i = 0 j = 0 k = 0 n n n i j k ( )5 β)X Y Z ,( D Y = i, j, k ??? i = 0 j = 0 k = 0 n n n i j k γ( )Z D = X Y Z .i, j, k ??? i = 0 j = 0 k = 0 ( ) 那么上述 4 式可化为 n n n n n n j k i +1 j k k i i j+1 k ( )β( )αa ca b- Y Z = - Z , a X a X Y i, j, k i, j, k ?????? i = 0 j = 0 k = 0 i = 0 j = 0 k = 0 n n n n n n k i i j+1 k i j i j k +1 ( )6 ( ( )γ)βbb -ba X Y Z c b X Y Z , - = i, j, k i, j, k ?????? i = 0 j = 0 k = 0 i = 0 j = 0 k = 0 n n n n n n j k i +1 j k j i i j k +1 γα))( ( a cc -- Y Z = cX b c X Y Z . i, j, k i, j, k ?????? i = 0 j = 0 k = 0 i = 0 j = 0 k = 0 ( ) 比较 6 式两边 , 可得系数关系 j kki( ( β)α)ac = a b - a - a i - 1, j, k i, j- 1, k k ii j( )7 ( ( b- )γ= b - )βba c b i, j- 1, k i, j, k - 1 j kj i( ac γ)α)- c b c ( = c - i - 1, j, k i, j, k - 1 其中 , i, j, k = 0, 1, , n. 第 2 期法焕霞 :非交换代数 C[ X , Y, Z ] 的导子代数 a, b, c 17 从而可得到 αβa. = 0; j = 1, k = 0, i ? 1时 , = 0; i = 1, k = 0, j ? 1 时 , i, 0, 00, j, 0 βγb. = 0; i = 0, k = 0, j ? 1时 , = 0; j = 1, i = 0, k ? 1 时 ,0, j, 00, 0, k c. αγ= 0; j = 0, k = 1, i ? 1时 , = 0; i = 1, j = 0, k ? 1 时 ,i, 0, 00, 0, k βγα进一步 , 当i, j, k ? 0, 1,= 0, 从而我们有下列结论., n 时 , = = i, j, k i, j, ki, j, k )α)βd. 1 0; 2 0; = = i = 0 时 ,j = 0 时 , 0, j- 1, ki - 1, 0, k )β)α3 4 i = n + 1时 ,= 0; j = n + 1时 ,= 0; n, j, k i, n, k ))γβe. 1 = 0; 2 = 0; = 0时 ,j = 0 时 ,k i, j- 1, ki, 0, k - 1 )γ)β3 4 0; = i = n + 1时 ,k = n + 1时 ,= 0; i, n, ki, j, n ))αγ1 2 f. = 0; k = 0; i = 0 时 ,= 0时 , 0, j, k - 1i - 1, j, 0 γα))0; = 3 i = n + 1时 ,4 k = n + 1时 ,= 0. n, j, ki, j, n ( ) 因而 , 5 式可改写为 n n - 1 n - 1 i j k αα( )D X = X + X Y Z ,1, 0, 0 i, j, k ??? i = 1 j = 1 k = 1 n - 1 n n - 1 i j k ( )8 ( )ββ D Y = Y + X Y Z ,0, 1, 0 i, j, k ??? i = 1 j = 1 k = 1 n - 1 n - 1 n i j k γ( γ)D Z = Z + X Y Z .0, 0, 1 i, j, k ??? i = 1 j = 1 k = 1 又因为 i - 1 j k i - 1 j k i - 1 j k j k i j k ) ( )( 1 X Y Z 9 [ X Y Z , X ] = X Y Z X - X X Y Z - = a c 所以有 i - 1 j k i j k 1 i - 1 j k i - 1 j k X Y Z ( ) ( )( )() ( )[ X Y Z , X ] = a d X Y Z X = a d X X Y Z = 10 j k j ka c - 1 a c- 1 ( ) ( ) ( ) 因而 , 根据 1 和 10 可将 8 改写得到下式 n n - 1 n - 1 i - 1 j k X Y Z (α=D( ) ) ( )( ) D X X + a d X α, ,β γ i, j, kj k 1, 0, 00, 1, 0 0, 0, 1 ??? i = 1 j = 1 k = 1 a c - 1 n n - 1 n - 1 i - 1 j k X Y Z ) = (α( ) D X + a d αβ γ i, j, k ,k , j 1, 0, 00, 1, 0 0, 0, 1 ??? i = 1 j = 1 k = 1 a c - 1 n - 1 n n - 1 i j- 1 k X Y Z (β( ) ) ( )( )a d =D D Y Y + Y , , αβ γ i, j, kk i 1, 0, 00, 1, 00, 0, 1 ??? i = 1 j = 1 k = 1 b - a ( )11 n - 1 n n - 1 i j- 1 k X Y Z ( )= (β) Y + a d D αβ γ i, j, k , ,k i ???1, 0, 00, 1, 0 0, 0, 1 i = 1 j = 1 k = 1 b - a n - 1 n - 1 n i j k - 1 X Y Z (γ( )( ) ) ( ) =Da d D Z Z +Z αβ γ , ,i, j, kj i 1, 0, 00, 1, 0 0, 0, 1 ??? i = 1 j = 1 k = 1 1 - b c n - 1 n - 1 n i j k - 1 X Y Z ( ) Z . D(γ= + a d ) α, i, j, k β ,γ j i 1, 0, 00, 1, 0 0, 0, 1 ??? 1 - b c i = 1 j = 1 k = 1 ( ) 由 7 我们得到推算过程 αβ α β j kki +1, j, k i, j+1, ki +1, j, ki, j+1, kiβ)α( )( ] ] c - a = a b - a a = = i - 1, j, k i, j- 1, k j k k i j kk i( ) ( )a cb aa ac- 1 a b- a 1 - - βγβ γ k i, j, k +1ii ji, j+1, ki, j, k +1i, j+1, k( )γ)β( )b- ( ] ] ba c b =12 = = b - i, j- 1, k i, j, k - 1 k i i j i jk i( ) )(b b- a b 1 - cb 1 - b - ac b γ αα γ j ki +1, j, ki, j, k +1i, j, k +1j ii +1, j, k( ( γ)α) ac - c b c = c -] ] == i - 1, j, k i, j, k - 1 j k j i j k j i )( ( )c a c - 1 c 1 - b c a c - 1 1 - b c ()18 2007年常熟理工学院学报 自然科学版 进而有 i - 1 j ki j- 1 kαβ i +1, j, k i, j+1, kX Y ZX Y Z βα= ] = i, j, k i, j, kj k k i k i j k( ) a c - 1 b - a a c - 1 b- a ki j k - 1i j- 1 βγ X Y ZX Y Zi, j+1, k i, j, k +1 γβ= ] = i, j, ki, j, kk i k i j i i j ( )b - a 1 - c b b - a 1 - b c i - 1 j k i j k - 1 αγ i +1, j, k i, j, k +1 X Y Z X Y Z αγ] = = i, j, k i, j, kj k j i i j j ka c - 1 1 - c b a c - 1 1 - b c ( ) ( ) 最后由 11 和 12 , 可以推出n n - 1 n - 1 i - 1 j k X Y Z (α) + a d =DD αβγ,,i, j, k j k1, 0, 00, 1, 00, 0, 1??? i = 1 j = 1 k = 1 a c - 1 n - 1 n n - 1 i j- 1 k X Y Z β(+ a d )=Di, j, k αβγ,,ki ???1, 0, 00, 1, 00, 0, 1 i = 1 j = 1 k = 1 b - a n - 1 n - 1 n i j k - 1 X Y Z ) (γ+ a d =Dαβγi, j, kj ,,i ???1, 0, 00, 1, 00, 0, 1 i = 1 j = 1 k = 1 1 - b c 至此 , 我们完成了定理的证明 . ?1 ?1 ?1 注 :文献 [ 1 ] 的引理 2. 4已经包含了非交换代数 C[ X , Y , Z ] 的导子代数的相应结果 , 在这里我 a, b, c 们给出了一个较直接的不同的证明方法.i j k ( ) 记 In n为代数 C[ X , Y, Z ]的所有内导子所构成的李代数为一类无限维李代数 , 并且 { a d X Y Z | i, a, b, c j, k ? Z } 构成向量空间 In n 的一组基 , 同时有i j k r s t i j k r s t ( ) ( ) ( )[ a d X YZ, a d X YZ ] = a d [ X YZ, X YZ ] i j k r s t r s t i j k ( ( ) ( ) ( ) ( ) )= a d X YZX YZ - X YZ X YZ it js jt i + r j+s k + tk r jr ks ) )c a b X Y Z ( ( = a d cab- jr k s k r js jt it i + r j+s k + t ) ( )( = abcabca d X YZ- 利用文献 [ 5 ]的主要结果 ,我们可以很容易得到关于李代数 Inn的单性的结果 ,即李代数 Inn为无限维单李代数. 参考文献 : [ 1 ] B e rm an S, Gao Y. Q uan tum To ri and the struc tu re of E llip tic Q ua si - simp le L ie a lgeb ra s[ J ]. Func tiona l A na lysis, 1996 , 135: 339 - 389. ( ) [ 2 ] Kirm an E, P rocesi C, Sm all L. A q - ana log fo r the V ira so ro a lgebra [ J ]. Commun ica tion s in A lgeb ra, 1994, 22 10: 3755 - 3774. J iang Cu ipo, M eng D ao ji. The de riva tion a lgeb ra and the un ive rsa l cen tra l exten sion of the q - ana log fo r the V ira so ro - like a lge2 [ 3 ] ( ) b ra [ J ]. Comm un ica tion s in A lgeb ra, 1998, 26 4: 1335 - 1346. ( ) [ 4 ] J iang Cu ipo, M eng D ao ji. The de riva tion a lgeb ra of the a ssoc ia tive a lgeb ra [ J ]. Comm un ica tion s in A lgeb ra, 1998, 26 6: 1723 - 1736. Su Y, Zhu L. D e riva tion a lgeb ra s of cen te r - le ss p e rfec t L ie a lgeb ra s a re comp le te [ J ]. A lg, 2005, 285: 508 - 515. [ 5 ] The D er iva t ion A lgebra of the A lgebra FA H uan 2x ia ()D ep t. of M a them a tic s, Changshu In stitu te of Techno logy, Changshu 215500 , Ch ina A b stra c t: The de riva tion s of the a lgeb ra a re comp u ted in th is p ap e r. U sing the e lem en ta ry m e thod, we d irec tly p rove tha t the L ie a lgeb ra of de riva tion s of is gene ra ted by the inne r de riva tion s and the de riva tion s, wh ich is a sp ec ia l [ 4 ] ca se of Theo rem 2. 4 in. Key word s: de riva tion a lgeb ra; inne r de riva tion s; a ring of L au ren t po lynom ia ls