第13讲.轴对称及将军饮马问题.教师版

第13讲.轴对称及将军饮马问.教师版 370份精品奥数资料 需要购买请联系QQ971063715 第十三讲 轴对称及“将军饮马” 问题 中考要求 考试要求 板块 A级要求 B级要求 C级要求 了解图形的轴对称～理能按要求作出简单平面图形经过一次能运用轴对称进行图案 解对应点所连的线段或两次轴对称后的图形,掌握简单图设计 轴对称 被对称轴垂直平分的形之间的轴对称关系～并能指出对称 性质,了解物体的镜面轴, 对称 知识点睛 轴对称图形: 如果一个图形沿一条直线折叠～直线两旁的部分能够互相重合～这个图形就叫做轴对称图形(这条直线就是它的对称轴(这时我们就说这个图形关于这条直线(或轴)对称( ,ABC如下图～是轴对称图形( 两个图形轴对称: 把一个图形沿着某一条直线折叠～如果它能够与另一个图形重合～那么就是说这两个图形关于这条直线对称～这条直线叫做对称轴～折叠后重合的点是对应点～叫做对称点( AA'BB',ABC,ABC'''lCC'如下图～与关于直线对称～叫做对称轴(和～和～和是对称点( l 2010年?暑假 初二数学?第13讲? 教师版 page 1 of 19 轴对称图形和两个图形轴对称的区别和联系: 轴对称图形 两个图形轴对称 区图形的个数 1个图形 2个图形 别 对称轴的条一条或多条 只有1条 数 联系 二者都的关于对称轴对称的 对称轴的性质: 对称轴所在直线经过对称点所连线段的中点～并且垂直于这条线段(即:如果两个图形关于某条直线对称～那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线(类似地～轴对称图形的对称轴～是任何一对对应点所连线段的垂直平分线( 线段的垂直平分线: 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线～叫做这条线段的垂直平分线( ABABABO如图～直线经过线段的中点～并且垂直于线段～则直线就是线段的垂直平分线( ll 线段垂直平分线的性质: 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等( PABPAPB,如图～点是线段垂直平分线上的点～则( 线段垂直平分线的判定: 与一条线段两个端点距离相等的点～在这条线段的垂直平分线上( 成轴对称的两个图形的对称轴的画法: 如果两个图形成轴对称～其对称轴就是任何一对对应点所连线段的垂直平分线(因此～我们只要找到一对对应点～作出连接它们的线段的垂直平分线～就可以得到这两个图形的对称轴( 成轴对称的两个图形的主要性质: ?成轴对称的两个图形全等 ?如果两个图形关于某条直线对称～那么对称轴是任何一对对应点连线的垂直平分线 轴对称变换的方法应用: 轴对称变换是通过作图形关于一直线的对称图形的手段～把图形中的某一图形对称地移动到一个新的位置上～使图形中的分散条件和结论有机地联系起来(常用的辅助线有角平分线条件时的各种辅助线～本质上都是对称变换的思想( 轴对称变换应用时有下面两种情况: ?图形中有轴对称图形条件时～可考虑用此变换, 2010年?暑假 初二数学?第13讲? 教师版 page 2 of 19 ?图形中有垂线条件时～可考虑用此变换( 重、难点 重点:理解轴对称的概念～并且熟悉掌握轴对称的性质以及作图～同时理解轴对称 变换的概念～能很好的做出轴对称变换的图形～并能很好的利用轴对称的知 识来解决题目 难点:运用轴对称变换来解决实际题目～以及轴对称的生活中的实际运用 例题精讲 板块一、轴对称与轴对称图形的认识 【例 1】 下列”情”中属于轴对称图形的是( ) QQ A( B( C( D( 【解析】 C 【巩固】(08年广东省)下列图形中是轴对称图形的是 ( ) 【解析】 C 2010年?暑假 初二数学?第13讲? 教师版 page 3 of 19 【例 2】 (09湖南株洲)下列四个图形中，不是轴对称图形的是( ) A( B( C( D( 【解析】 , 【巩固】(2004泸州)下列各种图形不是轴对称图形的是( ) 【解析】 C( 【巩固】(2003吉林)下面四个图形中,从几何图形的性质考虑,哪一个不其他三个不同？请指出这个图形, 幵简述你的理由, 答:图形__________;理由是__________, 【解析】 ?;四个图形中～只有图?不是轴对称图形( 【例 3】 如图,它们都是对称图形,请观察幵指出哪些是轴对称图形,哪些图形成轴对称, 【解析】 轴对称图形:1～3～4～6～8～10 成轴对称的图形有:2～5～7～9 2010年?暑假 初二数学?第13讲? 教师版 page 4 of 19 【例 4】 (09黑龙江哈尔滨)下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( ) 【解析】 D 【巩固】(2004北京)下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是( ) A,等腰三角形 B,等腰梯形 C,正方形 D,平行四边形 【解析】 C 【例 5】 (2003四川)我国主要银行的商标设计基本上都融入了中国古代钱币的图案,下列我国四大银行的商 标图案中是轴对称图形而不是中心对称图形的是( ) 【解析】 C 【例 6】 (2003北京市海淀区)羊年话”羊”字象征着美好和吉祥,•下列图案都不”羊”字有关,其中是轴对 称图形的个数是( ) A,1; B,2; B,3; D,4 【解析】 B 【巩固】?(08山东省青岛市)下列图形中，轴对称图形的个数是( ) 1243A( B( C( D( ?如图所示的图案是我国几家银行标志，其中轴对称图形有( ) 1243A(个 B(个 C(个 D(个 2010年?暑假 初二数学?第13讲? 教师版 page 5 of 19 【解析】 ?B,? , 【例 7】 (上海)正六边形是轴对称图形，它有 条对称轴( 6【解析】 (点拨:可以画出例图进行～明确正边形有条对称轴( nn 【巩固】(2003河北省)下列图案中,有且只有三条对称轴的是( ) 【解析】 D 【巩固】?(08苏州)下列图形中，轴对称图形的是 ((((( ?下列图形中对称轴最多的是( ) A(圆 B(正方形 C(等腰三角形 D(线段 【解析】 ?D;?, 【例 8】 作出下图所示的图形的对称轴: 【解析】 见右上图( 2010年?暑假 初二数学?第13讲? 教师版 page 6 of 19 【巩固】作出下图所示的成轴对称图形的对称轴: 【解析】 答案见右上图( AB【例 9】 求作线段的垂直平分线 A B 【解析】 略 MPP，ABCNPMPN,，ABC【例10】 已知:如图,及两点、,求作:点,使得,且点到两边所在的直 线的距离相等, B N C A M 【解析】 因为是两边所在的直线～所以有两个答案( ，ABCMN答案一:内角平分线与线段的垂直平分线的交点 B N PC A M ，ABCMN答案二:外角平分线与线段的垂直平分线的交点 2010年?暑假 初二数学?第13讲? 教师版 page 7 of 19 B NP C A M【例11】 (2003长沙)如图,请根据小文在镜中的像写出他的运动衣上的实际号码:_______, 【解析】 108 lABCDABCD,ABCD?【例12】 (2004河南)如图,直线是四边形的对称轴,若,有下面的结论:? ? ACBD,AOOC,ABBC, ? ?,其中正确的结论有_______, D lOAC B 【解析】 ??? lABCDADBC?ABCD?ABBC,【巩固】(2003安徽)如图,是四边形的对称轴,如果,有下列结论:? ? ABBC,AOOC,? ?,其中正确的结论是_________,(•把你认为正确的结论的序号都填上) 2010年?暑假 初二数学?第13讲? 教师版 page 8 of 19 lA DBO C 【解析】 ?、?、? 【例13】 (2003南宁市)尺规:把右图(实线部分)补成以虚线L为对称轴的轴对称图形,你会得到一只美丽蝴 蝶的图案(不用写作法、保留作图痕迹), 【解析】 答案见右上图( 板块二、轴对称的应用 ，B'AB,ABC,ABC'''l，,:B90AB''6cm,【例14】 如图,和关于直线对称,且,,求的度数和的长, L A'A B'B ,ABC,ABC'''【解析】 ?和关于直线成轴对称 l C'C，,，BB'ABAB,''，,:B90AB''6cm, ?，;又 ?， ，,:B'90AB,6cm?，( 2010年?暑假 初二数学?第13讲? 教师版 page 9 of 19 ABEDDABE【例15】 如图，有一块三角形田地，ABAC,,10cm，作的垂直平分线交AC于，交于，量 得,BDC的周长为17m，请你替测量人员计算BC的长( EDABDADB,【解析】 ?垂直平分 ?～ BDDCBC，，,17mADDCBC，，,17m ?～ ? AC,10m?～ BC,7m ?( DEDE,ABCBCBCACBE,5,BCE【巩固】如图,中,边的垂直平分线交于,交于,厘米,的周长是 BC18厘米,则等于多少厘米？ A E CBD EDBC【解析】 ?垂直平分 EBEC, ?～ ,BEC18cm ?的周长为 BC,8cm ?( ，,:AOB40CDOA，ACB【例16】 如图,已知,为的垂直平分线,求的度数, A D OBC CDOA【解析】 ?垂直平分 COCA, ? ，,，OA ? ，,:O40 ? ，,:A40 ? ，,，，，,:ACBAO80 ?( 2010年?暑假 初二数学?第13讲? 教师版 page 10 of 19 B,ABCABBC,,2，,:ABC120BC【例17】 (2004陕西)已知:如图,在中,,,平行于轴,点•的坐标x 是, (3,1), ,ABC,ABC'''?画出关于y轴对称的; ABB'A'?求以点、、、为顶点的四边形的面积, 【解析】 ?画图正确 ADADBC,BC ?过点作～交的延长线于点～则 ，,:,，,:ABDABC18060 ～ Rt,ABD 在中～ 1 BD,AB?cos?ABD,2×,1 2 33 AD,AB?sin?ABD=2×, 2 又知点B的坐标为(-3～1) ,，413， 可得点A的坐标为 ，， AABB''? ?轴～轴 ? AAy',BBy', AB'' ?AB与不平行 ?以点为顶点的四边形是等腰梯形 ABBA，，，'' 由点A、B的坐标可求得 AABB'248'236,，,,，,， 11ABBA''33 ?梯形的面积,(AA′+BB′)?AD,×(8+6)×=7( 22 2010年?暑假 初二数学?第13讲? 教师版 page 11 of 19 板块三、轴对称在几何最值问题中的应用 APBPl【例18】 已知点在直线外,点为直线上的一个动点,探究是否存在一个定点,当点在直线上运ll PABB动时,点不、两点的距离总相等,如果存在,请作出定点;若不存在,请说明理由, BABA【解析】 点与点重合～或者点是点关于直线的对称点( l ABAB【例19】 如图,在公路的同旁有两个仓库、,现需要建一货物中转站,要求到、两仓库的距离和a M最短,这个中转站应建在公路旁的哪个位置比较合理？ A B a 【解析】 答案见右上图( MMNMN,10NABMN【巩固】若此题改成,在上找到、两点,且,在的左边,使四边形的周长最短, aA B‘B A BaMN a 【解析】 见右上图( B'' PR，,:AOB45O【例20】 (”五羊杯”邀请赛试题)如图,,角内有点,在角的两边有两点、(均不同于Q 2010年?暑假 初二数学?第13讲? 教师版 page 12 of 19 A R点),求作、,使得的周长的最小, Q,PQR QA P OBPR OB 【解析】 见右上图( MABPN,ABCACBC,PMN【巩固】如图,、为的边、上的两个定点,在上求一点,使的周长最短, C M N AB 【解析】 见右上图( MABP,ABCBC【例21】 (2000年全国数学联赛)如图，设正的边长为2，是边上的中点，是边上的任意 22PAPM，一点，的最大值和最小值分别记为和(求的值( tsst, A A M M BCP BCPM' MM'AM'PM'BC【解析】 作点关于的对称点～连接、( MM'PMPM,'BC 由点、关于对称可知～( PAPMPAPMAM，,，''? 故 22APM'tAM,,(')7当且仅当、、共线时～等号成立～故( BC另外两个临界位置在点和点处( 2010年?暑假 初二数学?第13讲? 教师版 page 13 of 19 PC当点位于点处时～, PAPMACCM，,，,，23 PB当点位于点处时～PAPMABBM，,，,3( 2222s,，,，(23)743故～( st,,43 AA'AM'PA'BC关于的对称点～连接、( 本题也可作点 MPPMP，AOBOBOA【例22】 已知如图,点在锐角的内部,在边上求作一点,使点到点的距离不点到的 边的距离和最小, AAOO PMM M'BB 【解析】 见右上图( ABM【例23】 已知:、两点在直线的同侧, 在上求作一点,使得最小, ||AMBM,ll 【解析】 见右上图( ABM【巩固】已知:、两点在直线的同侧,在上求作一点,使得最大, |AM,BM|ll 【解析】 见右上图( MDM,2ABCDAB,8DCN【例24】 (07年三帆中学期中试题)如图，正方形中，，是上的一点，且，是 ACDNMN，上的一动点，求的最小值与最大值( 2010年?暑假 初二数学?第13讲? 教师版 page 14 of 19 ADAD MM NN BCBC DAC【解析】 找点关于的对称点～ BDAC由正方形的性质可知～就是点关于的对称点～ BMBNDNMNBNMNBM，,，,连接、～由可知～ 22BMNDNMN，当且仅当、、三点共线时～的值最小～该最小值为( 6810，, NAC当点在上移动时～有三个特殊的位置我们要考察: BMACDNMN， 与的交点～即取最小值时, AN 当点位于点时～, DNMNADAM，,，,，8217 NCDNMNCDCM，,，,，,8614DNMN， 当点位于点时～(故的最大值为( 8217， DNMN,【巩固】例题中的条件不变，求的最小值与最大值( DMDNMN,NACDNMN,【解析】 当时～有最小值为0～此时点位于的垂直平分线与的交点处( NCDNMNDM,,,2 ～当点与点重合时～等号成立～此时有最大值2( MDM,2ABCDDCNAC【巩固】(黑龙江省中考题)如图,已知正方形的边长为8,在上,且,是上的一 DNMN，个动点,则的最小值是 AD M CBBMACNDNMN，,10【解析】 连接交于～此点即为所求(所以根据勾股定理～( ABl【例25】 (2004郸县改编)某供电部门准备在输电主干线上连接一个分支线路同时向新落成的、两个居 MABl民小区送电，分支点为，已知居民小区、到主干线的距离分别为AA,2千米，BB,2千11 米，且AB,4千米( 11 ABMl? 居民小区、在主干线的两旁如图?所示，那么分支点在什么地方时总线路最短,最短 线路的长度是多少千米, ABMl? 如果居民小区、在主干线的同旁，如图?所示，那么分支点在什么地方时总线路最短, M此时分支点与A距离多少千米, 1 2010年?暑假 初二数学?第13讲? 教师版 page 15 of 19 llBB1 BB1 A A AA11 (1)(2) lBl B1B1BB2 MMAA A1A1 ABABMl【解析】 ? 连结～与的交点就是所求的分支点～分支点开在此处总线路最短～ 如图～因为～( ，,，,:BBMAAM90，,，BMBAMA1111 所以( ,,BBMAAM?11 所以( AM,21 MA由勾股定理～得～～所以分支点在线段上距点ABAMBM,,22ABAMBM,，,4211 千米处～最短线段的长度为千米, 2242 BMll? 如图～作点关于直线的对称点～连结交直线于点～此处即为分支点～由图可知～BAB22 2的长度为千米( AM1 点拨:在解本题时～应注意线段最短～在第?问中也可以先画A点的对称点A( 2 ABAlllAC,1km【例26】 (09山东临沂)如图，，是公路(为东西走向)两旁的两个村庄，村到公路的距离， BBD,2kmBAl45:村到公路的距离，村在村的南偏东方向上( AB? 求出，两村之间的距离; P? 为方便村民出行，计划在公路边新建一个公共汽车站，要求该站到两村的距离相等，请用尺 P规在图中作出点的位置(保留清晰的作图痕迹，简明写作法)( 北 东 A N A D l D O C l C P B B M 2010年?暑假 初二数学?第13讲? 教师版 page 16 of 19 AB【解析】 ? 方法一:设与CD的交点为O～根据题意可得，,，,:AB45( ,ACO,BDO?和都是等腰直角三角形( ?～( AO,2BO,22 ?两村的距离为 AB，ABAOBO,，,，,22232km，， BElACCDBE方法二:过点作直线的平行线交的延长线于(易证四边形是矩形～ CEBD,,2?( Rt,AEB，,:A45BEEA,,3在中～由～可得( 32 AB,，,3332km，， ?两村的距离为( 32kmAB， ? 作图正确～痕迹清晰( 1AB作法:?分别以点为圆心～以大于的长为半径作弧～ AB，2 MNMN两弧交于两点～～作直线, PPMNl?直线交于点～点即为所求( 家庭作业 )下列图形中，轴对称图形的是 【习题1】 (08苏州 ((((( 【解析】 D 【习题2】 ?(09湖南株洲)下列四个图形中，不是轴对称图形的是( ) A( B( C( D( ?(08山东烟台)下列交通标志中，不是轴对称图形的是( ) 2010年?暑假 初二数学?第13讲? 教师版 page 17 of 19 ?(08年广东省)下列图形中是轴对称图形的是 ( ) 【解析】 ?,;?,;?,( BDE,ABC，,:A90，ABCDEBC,BC，C【习题3】 如图,中,,为的平分线,,是的中点,求的度数, B E CAD BD，ABC【解析】 ?平分 ，,，ABDEBD ? DEBC ?垂直平分 BDCD,，,，DBEC ?～ ，,，,，ABDDBEC ? ，,:A90 ? ，,，,，,:ABDDBEC30 ?( EBE,2ABRt,ABCCACB,,3BC【习题4】 (四川省竞赛题)如图,在等腰中,,的上一点,满足,在斜边 PPCPE，上求作一点使得长度之和最小, AA E' PP BCCEBE 【解析】 见右上图( 2010年?暑假 初二数学?第13讲? 教师版 page 18 of 19 EBE,2PBDPE【习题5】 在正方形ABCD中，在BC上，，CE,1，在上，求和PC的长度之和的最小 值( ADAD PP E‘ BECBEC E'PCPEPC，、、三点共线时～有最小值( 【解析】 当13 月测备选 【备选1】(2004天津)在下列图形中,既是轴对称图形,又是中心对称图形的是( ) 【解析】 C 【备选2】判断下列图形(图)是否为轴对称图形,如果是，说出它有几条对称轴( ? ? ? ? ? ? ? ? ? 11412【解析】 是轴对称图形的有:?～?～?～?～?,分别有条～条～条～条～条对称轴( MABABCDNBC【备选3】(2008年荆门市中考题)如图，菱形的两条对角线分别长6和8，点、分别是变、 PACPMPN，的中点，在对角线求作一点使得的值最小( DD N' PPAACC NNMM BB 【解析】 见右上图( 2010年?暑假 初二数学?第13讲? 教师版 page 19 of 19