[Word]利用参数求轨迹方程

[Word]利用求轨迹方程 利用参数求轨迹方程 四川江油中学 唐秋明 邮编621700 在高中数学中,我们常常遇到求动点轨迹方程,这个课题是中学数学的一个重要内容。但在有些求轨迹方程问题中,对于动点的坐标x、y不容易找到直接的关系，而如果选择适当的参数，轨迹的参数方程却较容易求得，所以，利用参数求轨迹方程是解决比较复杂的求曲线方程问题的重要。对用参数求轨迹方程，有不少同学感到无从下手，故本文在这里归纳出利用参数求轨迹方程的基本方法，以帮助同学们掌握解体规律，提高解题速度。 x=f(t)由曲线的参数方程{ 形式我们可以看出, 曲线的参数方程y=g(t) x=f(t){ 实质上表示的是曲线上的动点坐标(f(t),g(t)),故求曲线的参数y=g(t) 方程就是求动点的坐标。因此，根据求动点坐标的不同方式，对求曲线的参数方程有以下解法: 一、 坐标定义法: 这种方法就是充分利用题目中的条件，用坐标的定义，将动点的横纵坐标分别用与x轴平行和与y轴平行的线段表示，然后根据动点运动时联系这两个线段的变量关系，设置参数建立方程。 例1( 如图，OB是机器上的曲柄，长是r，绕点O转动，AB是连杆，M是AB上一点，MA=a，MB=b。当点A在Ox上作往返运动， 点B绕找点O作圆运动时,求点M的轨迹方程. Y B N M O B’ M’ A X 探求:由坐标定义，设动点M的坐标为(x，y)，过M做X轴的垂线，垂足为M’，则y=M’M;再过B作X轴垂线，垂轴为B’，过M作BB’的垂线交BB’于N，于是，x=OM’=OB’+B’M’，由观察可知:线段M’M、B’M’及OB’的长度与?MAO的大小相关，所以设?MAO=θ，则得曲线的参数方程 222,,x,bcos,r,(a，b)sin y,asin, 二、 配方法 当动点是已知方程的圆锥曲线的中心或顶点时，由于圆锥曲线的中心和顶点均可用配方法求得，所以，对此类问题通常利用配方法求解。 22例2:设曲线，当θ变化时，求y,2x,6ysin,,9cos,，8cos,，9,0 抛物线顶点的轨迹方程。 探求:因为，将方程配方后就可得抛物线的顶点坐标，故将方程配 方为: 2 ，，y,3sin,,2(x,4cos,) 22,x,4cosxy即得顶点轨迹的参数方程: ，化为普通方程是:。，,1y,3sin,169 三、 公式定义法: 对于可用公式或定义表示的动点的轨迹，我们可以直接利用公式或定义直接表示该动点坐标，然后再根据题意选择参数(确定参数)，求出该曲线的轨迹方程。 ,22，BAC,例3:圆上有定点A(2，0)和两动点B、C，且恒有，x，y,43求?ABC的重心的轨迹方程。 ，，，，xxxyyy,,123123探求:由重心坐标公式知，只要能表示出三,,,33,, 角形三顶点的坐标，那么，其重心的坐标(即动点参数方程)就可求得，如图: Y B X O A(2，0) C ,,222我们连接BO，CO，由 BAC=，则 BOC=，因为B、C在圆x，y,433 ，，2cos,,2sin,上，故设点B，则点C的坐标为 22,,,,，由重心坐标公式得轨迹的参数方程:2COS(，),2SIN(，),,,,33,, ,,,12,,,,x,,2，2cos，2cos，,,,,,33,,,, ( 为参数) ,,,12,,y,,2sin，2sin，,,,,,,,33,,,, 2242,,,,2化为普通方程是:，轨迹为以点为圆心，2/3,0x,，y,,,,,339,,,, 为半径的圆。 z3例4:设复数满足|z|=r(r R，r 0)，且ω=，求动点ω的，3z 轨迹方程。 探求:由复数的代数形式定义可知，求出复数ω的实部与虚部就可求出动点ω的参数方程，故本题的解法就是将复数ω用定义分成实 z3，部与虚部。设z=r(cosθ+isinθ)，代入ω=化简得:3z r3r3,,,,ω=，设ω=x+yi(x，y, R)，即得动点ω的，cos,，i,sin,,,,,3r3r,,,, ,r3,,,x,，cos,,,3r,,,参数方程: (θ为参数) ,r3,,,ysin,,,,,,3r,,, 22xy，,1化为普通方程就是: 2222,,,,r，9r,9,,,,,,,,3r3r,,,, 四、 交轨法 如果动点是几条曲线的交点或与这几条曲线的交点的有关，利用求交点(求交点的过程)或设交点坐标，再进行适当的转化就能 求出动点的轨迹方程。 22xyxy例5:已知椭圆，直线l:，P是L上一点，射线，,1，,11282416 2OP交椭圆于R，有点Q在OP上,且满足|OQ||OP|=|OR|，当P在L上移动时，求点Q的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。(95高考理科25题) Y P R Q X O 22xyxy，,1，,1探求:(解法1)动点Q与直线OP与椭圆和直线的1282416 2交点有关，故本题考虑用交轨法;又由于题目的条件|OQ||OP|=|OR| 反映三条以原点为起点线段的长度关系，利用过原点的直线的参数方程求其长度比较简便，所以有以下解法:设OP的参数方程为: ,,xtcos,(t为参数)? ,y,tsin,, 2822OR,t,将?代入椭圆方程，解出 ? 22，sin, 24OP,将?代入直线方程，解出 ? 2cos,，3sin, 2t设动点Q(x，y)对应的参数是，则由|OQ||OP|=|OR|及同OP,OQQ ,,22cos，3sin，，向，于是可解出==，(?0)，代入?就得出动ttOQQQ222cos,，3sin, ,,,2(2cos，3sin)cos,x,22,,,,2cos，3sin点Q的参数方程 ，消去参数就得出Q点,,,,,，，22cos，3sinsin,y,22,2cos,，3sin,, 22，，，，x,1y,122，,1的普通方程:，;其轨迹为以点(1，1)，，x，y,055 23 215为中心，长轴长2a=10，短轴长2b=的椭圆。 3 2(解法2):设Q(x，y)，P，R，由条件|OQ||OP|=|OR|，，，，x,yx,y1122 22和相似三角形性质，可得:;所以，只需解出x,x,x且y,y,y1212 代入上式就可得出动点Q的轨迹方程。由条件Q，P共线，x,x或y，y1212 xy,111，,,24x128,P在L上，就有，由此解出x,;同理解出,1yy2x，3y1,,,xx1, 248x22x,，代入，化简就得出Q点的轨迹方程x,x,x212222x，3y 22，，，，x,1y,1，,1(下同解法1) 55 23 综上所述，求动点轨迹的参数方程就是求动点的坐标，我们可 以根据题目中产生该动点的形式，适当的方法来求它的轨迹方 程。