高中文科数学 导数

:这两个问题可分别通过错位相减法及利用二项式定理来解决。转换思维角度，由求导 nn,1公式(x)',nx，可联想到它们是另外一个和式的导数，利用导数运算可使问题的解决更 加简捷。 解:(1)当x=1时， ; ?1时， 当x ， 两边都是关于x的函数，求导得 即 (2)?， 两边都是关于x的函数，求导得。 令x=1得 ，即。 导数的应用 函数单调性: ?函数单调性的判定方法:设函数在某个区间内可导， y,f(x) 'f(x)如果,0，则为增函数; y,f(x) 'f(x)如果,0，则为减函数. y,f(x) ?常数的判定方法; 'If(x)如果函数在区间内恒有=0，则为常数. y,f(x)y,f(x) 单调区间讨论 f(x),x,ln(x，a)(x,(0,，,)例7(设，求函数的单调区间. a,0 分析:本小题主要考查导数的概念和计算，应用导数研究函数性质的方法及推理和运算能力. 11. 解:,f(x),,(x,0)x，a2x 22,当时 f(x),0,x，(2a,4)x，a,0. a,0,x,0 22, f(x),0,x，(2a,4)x，a,0 22x，(2a,4)，a,0(i)当时，对所有，有. a,1x,0 ,，此时在内单调递增. 即f(x)(0,，,)f(x),0 22x，(2a,4)x，a,0(ii)当时，对，有， a,1x,1 ,即，此时在(0，1)内单调递增，又知函数在x=1处连续，因此， f(x)f(x)f(x),0 ,函数在(0，+)内单调递增 f(x) 22,x，(2a,4)x，a,0(iii)当时，令，即. f(x),00,a,1 解得. x,2,a,21,a,或x,2,a，21,a (2,a，21,a,，,)因此，函数在区间内单调递增，在区间 f(x)(0,2,a,21,a) 内也单调递增. 22,f(x),0,即x，(2a,4)x，a,0令，解得. 2,a,21,a,x,2,a，21,a (2,a-21,a,2,a，21,a)因此，函数f(x)在区间内单调递减. 2fxxaxa()(2ln),(0),,，,,例8.已知函数，讨论fx()的单调性. x 132fxaxbxx()3,，，，a,b例9.已知函数,其中(1)当满足什么条件时,f(x)取a,03 af(x)(0,1]得极值?(2)已知,且在区间上单调递增,试用表示出的取值范围. ba,0 极值的判别方法: (极值是在附近所有的点，都有,，则是函数的极大值，极小值同xf(x)f(x)f(x)f(x)000理) 当函数在点处连续时， xf(x)0 ''f(x)f(x)?如果在附近的左侧,0，右侧,0，那么是极大值; xf(x)00 ''?如果在附近的左侧f(x),0，右侧f(x),0，那么是极小值. xf(x)00 ?'也就是说是极值点的充分条件是点两侧导数异号，而不是f(x)=0. 此外，函数不xx00 ? 可导的点也可能是函数的极值点.当然，极值是一个局部概念，极值点的大小关系是不确定的，即有可能极大值比极小值小(函数在某一点附近的点不同). 'f(x)注?: 若点是可导函数的极值点，则=0. 但反过来不一定成立. (为什么)对xf(x)0 于可导函数，其一点是极值点的必要条件是若函数在该点可导，则导数值为零. x0 3'y,f(x),x，使f(x)=0，但不是极值点. 例如:函数x,0x,0 ?例如:函数，在点处不可导，但点是函数的极小值点. x,0x,0y,f(x),|x| 求函数极值的步骤 ?确定函数的定义域; ?求导数; ?在定义域内求出所有的驻点与导数不存在的点，即求方程及的所有实根; ?检查在驻点左右的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值;如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值( 极值与最值区别: 极值是在局部对函数值进行比较，最值是在整体区间上对函数值进行比较. 函数的最值 (1)如果f(x)在,a,b,上的最大值(或最小值)是在(a，b)内一点处取得的，显然这个最大值(或最小值)同时是个极大值(或极小值)，它是f(x)在(a，b)内所有的极大值(或极小值)中最大的(或最小的)，但是最值也可能在,a，b,的端点a或b处取得，极值与最值是两个不同的概念( (2)求f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤 ?求f(x)在(a，b)内的极值; ?将f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值( 分离常数 例10.已知函数(?)求.的最小值;(?)若对所有都有，fxxx()ln,fx()fxax()1,,x,1 a求实数的取值范围. ,,解:fx()的定义域为， fx()的导数. 令，解得(0，+),fxx()1ln,，fx()0, 1111,,,,,0，，+,fx();令fx()0,，解得.从而在单调递减，在单调递x,0,,x,,,,eeee,,,, 11增.所以，当时，取得最小值. fx(),x,ee ,,(?)解法一:令，则， gxfxax()()(1),,,gxfxaax()()1ln,,,,， ,错误～未找到引用源。? 若，当时，，gxaxa()1ln10,,，,,,a,1x,1 在上为增函数，所以，时，，即.故gx()(1)，+,gxga()(1)10,,,,fxax()1,,x,1 a,1,x,exx,(1)，错误～未找到引用源。? 若，方程的根为 ，此时，若，gx()0,a,100 ,xx,(1)，则，故在该区间为减函数.所以时，，即gx()gx()0,gxga()(1)10,,,,0 ，与题设相矛盾. 综上，满足条件的的取值范围是. a(1],,，fxax()1,,fxax()1,, 1解法二:依题意，得在上恒成立，即不等式对于[1)，，,x,，,[1)，fxax()1,,ax,，lnx 11111,,,恒成立 . 令， 则. 当时，因为gx()1,,,,gxx()ln,，x,1,,2xxxxx,, 11,,,gx()10,,,， ,,xx,, 是上的增函数， 所以 的最小值是，所以的取值范围是故agx()(1)，，,g(1)1,gx() . (1],,， a例11.已知函数,,设((?)求函数Fx()fxx()ln,Fxfxgx()()(),，gxa()(0),,x Pxy(,)的单调区间;(?)若以函数图像上任意一点为切点的切线yFxx,,()((0,3])00 1的斜率恒成立，求实数a的最小值;k,2 求取值范围 932,fxxxxa()6,,，,例13设函数((1)对于任意实数x，恒成立，求mfxm(),2 的最大值;(2)若方程有且仅有一个实根，求a的取值范围( fx()0, ''2fxxxxx()3963(1)(2),,，,,,fxm(),解析 (1) , 因为,, 即 x,,,，,(,) 3239(6)0xxm,，,,m恒成立, 所以 , 得，即的最大值,,,,,8112(6)0mm,,43为 ,4 '''fx()0,fx()0,fx()0, (2) 因为 当时, ;当时, ;当时, ; x,112,,xx,2 5 所以 当时,fx()取极大值 ; 当时,fx()取极小值 x,1fa(1),,x,22 fa(2)2,,; 5 故当 或时, 方程仅有一个实根. 解得 或. f(2)0,f(1)0,fx()0,a,a,22 1322f(x),,x，x，(m,1)x,(x,R,)其中m,0例13设函数(?)当曲线m,1时，3 处的切线斜率(?)求函数的单调区间与极值;(?)已知函y,f(x)在点(1，f(1)) 数有三个互不相同的零点0，x,x，且x,x。若对任意的，x,[x,x]f(x)f(x),f(1)121212 恒成立，求m的取值范围。 导数与数列 2例14已知函数，是方程f(x)=0的两个根，是f(x)的导数;fxxx()1,，,(),,,fx'(),,, fa()n,,aa设，(n=1,2,„„) a,1，1nn1fa'()n (1)求的值; ,,, (2)证明:对任意的正整数n，都有>a; an a,,nb,ln(3)记(n=1,2,„„)，求数列{b}的前n项和S。 nnnaa,n 2解析:(1)?fxxx()1,，,，是方程f(x)=0的两个根， (),,,,,, ,，,,1515,,?,,,; 22 115aaa，，，,(21)(21)2nnnaa，,1nn244aaa,,,, (2)， fxx'()21,，，nnn1aa，，2121nn 5 1151,51,4(21)a，，,=，?，?有基本不等式可知a,,0(当且仅当a,a,1n2114212a，22n 51,51,51,a,a,a,,0,,时取等号)，?同，样，„„，(n=1,2,„„)， 23n222 ()()aaa,,,,,,nnn,,，,,1,,，,,1aaa,,,,,，，(1) (3)，而，即， ,,,，1nnn2121aa，，nn 22()a,,()a,,13535,，，,nnb,,,lnln2ln，同理，，又 bb,2a,,a,,,,1，，nn，1nn1112,,21a，21a，35,nn ，35nS,,2(21)ln n2 导数与解析几何 32fxxaxaaxb()(1)(2),，,,，，例15.已知函数 (,)ab,R( (I)若函数的图象过原点，且在原点处的切线斜率是，求的值; (II)若函ab,fx(),3数在区间上不单调，求的取值范围( afx()(1,1),((( 2,解析 (?)由题意得f(x),3x，2(1,a)x,a(a，2) f(0),b,0, 又 ，解得，或 b,0a,,3a,1,,f(0),,a(a，2),,3, (?)函数在区间不单调，等价于 f(x)(,1,1) , 导函数在既能取到大于0的实数，又能取到小于0的实数 f(x)(,1,1) , 即函数在上存在零点，根据零点存在定理，有 f(x)(,1,1) ,, ， 即: f(,1)f(1),0[3，2(1,a),a(a，2)][3,2(1,a),a(a，2)],0 2(a，5)(a，1)(a,1),0 整理得:，解得 ,5,a,,1零点 2，，fx,2ax，2x,3,a，，例16已知a是实数，函数，如果函数在区间,,上有y,fx,1,1零点，求a的取值范围. ,,解:若 , ,显然在,1,1上没有零点, 所以 . fxx()23,,a,0a,0 ,,372a, 令 , 解得 ,,，，,，，,48382440aaaa，，2 ,,37a, ?当 时, 恰有一个零点在上; yfx,,1,1，，,,2 15,,a ?当，，，，，，，，，即时，在 f,1,f1,a,1a,5,0yfx,，， 上也恰有一个零点. ,1,1,, ?当在上有两个零点时, 则 yfx,,1,1，，,, a,0,a,02,,,,，，,82440aa2,, 或 ,,，，,82440aa,,1,,,,11,,12a,,,,11,，，,，，2a,f10,,，，，，f10,,,f,,10,,f,,10,,,35a,解得或 a,52 ,,35综上所求实数的取值范围是 或 . a,aa,12 43f(x),ax,bx，4例17 若函数，当时，函数有极值， f(x),x,23(1) 求函数的解析式;(2)若函数有3个解，求实数的取值范围( f(x),kk 32例18已知函数(fxxax()2,，与gxbxcx(),，的图象都过点P(2，0)，且在点P处有公共切线( (1)求f(x)和g(x)的表达式及在点P处的公切线方程; mgx()Fxx()ln(1),，,(2)设，其中，求F(x)的单调区间( m,08x