两个角动量的耦合

两个角动量的耦合 4、两个角动量的耦合, 在讨论了粒子的轨道角动量和自旋角动量后，一个系统总角动量，等于有关 的各个独立的角动量的矢量和。 在量子力学中，即使是单个粒子的系统，也会出现自旋角动量和轨道角动量 的相加或耦合。 在讨论有关具体问题前，先要学会量子力学中角动量算符的加法。 一、对易关系 ,, 设有两个独立的角动量算符，它们分别可以是轨道角动量算符，或自JJ和12 旋角动量算符，或由它们相加而成的一些角动量算符。 ,, 由角动量算符的一般定义知，都是厄米算符。且满足如下一些对易关JJ和12 系: ,，，JJiJ,,111xyz，，,,,,,，，JJiJJJiJ，,,,,,111111yzx，， , JJiJ,,,,111zxy,, ,,,，，，，2222JJJJJJ,,0,，，,,,,,111111xyz ,,，，，， ,,, JJiJ，,222 ,，，,,,，，2JJJJ,0,,,0,,,,,,2212 ,,，，，， ,,, 现定义，JJJ,，12 , 显然:也是一个角动量算符J ,,,,，，，，22易证:，，JJJJ,,0,,,,12 ,,,,，，，， 22,,,,,,,,,22而由:JJJJJJJ,，,，，2,,121212,,,, ,,,,，，，，22可推得:，，JJJJ,,0,,,,12 ,,,,，，，， ,,,,，，，，22另外，易证:JJJJ,,,,0,,,,12zz ,,,,，，，， ,,,，，,，，22JJ,,,JJ,0,,,,1zz2zz,,,,，，，，,,,,,,,,，，，，，，，， ,,,,JJJJJJJJ,,,,0,,,,,,,,1212xxxxyyyy ，，，，，，，， ,,,,，，，，22注意:,,JJJJ,0,,0,,,,12 ,,,,，，，， ,,,，，JJiJ,,例、证明: xyz,,，， 证明: ,,,,,,,,,,，，，，JJJJJJJJJJ,,,,,，，1212xxyyxyxyyx,,,,，，，， ,,,,,,，，，，JJJJJJ,,,，，，112212xyyxyy,,,,，，，， ,,,,,,,,，，，，，，，，JJJJJJJJ,,,,,，，，11122122xyxyxyxy,,,,,,,,，，，，，，，， ,, iJiJ00,，，，12zz , iJ,z 二(无耦合表象(直乘表象) 2,,,,2JJJ和 有上述对易关系知，，，这四个算符两两相互对易 J112z2z 222,，，，，,,,,,,,,,，，，，，，2JJJJJJJJJJ,,0,,0,0,,0,,,,,,,,,,112,,,,,,zzzz1221212() ,,,,,,，，，，，，，，，， 由算符对易的性质知，这四个算符有共同本征态，可以建立以这些共同本征 态为基的表象，这种表象叫无耦合表象或直乘表象。为简单，采用狄拉克算符。 ,,,,22J|,jm,J根据角动量算符的性质，设和J的共同本征态为，而与J的11121z2z |,jm,共同本征态为，它们的本征值方程分别为: 22 2,2Jjmjjjm|,1|,,,，,1，，111111 , Jjmmjm|,|,,,111111z 2,2Jjmjjjm|1|,,，,2，，222222 , Jjmmjm||,,,222222z ,这里和分别属于两个独立的空间，只对|||jmjmJmj,,,1122111 , 作用，而只对作用Jmj|,222 ,, JJjmjm，分别只对和起作用||,,121122 ？,,,若定义，|||jmjmjmjm,11221122 则，也是上述四个方程的解jmjm,|1122 ,,,,22？,jmjmJJJJ，是，和，| 11221122zz 这四个算符的共同本征函数，无耦合表象就是以这些共同本征态为基。 讨论:?在给定jj,时。 12 mjjjjj,,,，,，,1,........1,...(21)个111111 mjjjjj,,,，,，,1,........1,...(21)个222222 ？,，，|,2121jmjmjj的个数共有个，即，，，，112212 |,2121jmjmjj,，，所张开的空间维数是维，，，，112212 的|jm,所张开的空间相乘而得来的空间，所以，以22 jmjm,,|,|,|jmjmjmjm,,,为基的表象为直乘表象。112211221122 jj和?在直乘表象中，由量子数 标记的这两种角动量状态相加而成的任意12态矢的展开式是 |,, jj12 ||,,|,,,,,,,jmjmjmjm,,11221122 ,,,,mjmj1122 三(耦合表象 由上述对易关系还可知: 2,,,,22JJJ,,，，也两两对易，所以，还可建立以这四个算符的共同本征态Jz12 为基的表象，叫耦合表象。 2,,,,22JJJ,,按角动量算符的性质，设，，的本征值方程是: Jz12 2,2Jjjjmjjjjjm|,1|,,,，,，，1212 , Jjjjmmjjjm|,|,,,,z1212 , 22Jjjjmjjjjjm|,1|,,,，,，，11212 ,22Jjjjmjjjjjm|,1|,,,，,，，2122212 |,,jjjm,jj和 在现在的共同本征态中，参数表示现在用量子书j标记1212 jj和的总角动量，是由用标记的两个角动量耦合而成的，这就是“耦合表象”12 的由来。 问题:由角动量为jj和的两个角动量，可以耦合出哪些j值的总角动量, 12 ?首先:耦合表象与无耦合表象的关系如下: |,jmjm,|,jjjm,组成正交归一完备系。可将耦合表象的基矢按无耦112212 合表象的基矢展开，|,|,,,jjjmjmjmjjjm,,,,,叫矢量耦合系数或,12112212mm,12克来布希——高登系数。 ,,,,，，，，JJJJ,,0?其次，由对易关系，,,，可知，无耦合表象的基矢12zzzz,,,,，，，， , |,jjjm,，也应是的本征矢。实际上，由方程: Jz1222 ,,,,,JjmjmJJjmjm|,|,,,，,zzz12,,11221122,, ,, ,,，,JjmjmJjmjm|,|,12zz11221122 ,，,mmjmjm|,，，121122 , ,,，Jjmjmmmm|,可知:在中的本征值为z，，112212 ,，mmm即:，，12 |,,jjjmmmm,于是，在的展开式中，对的求和实际上只须对求和，即:12122 ,,,|,|,,,jjjmjmmjm,,,,jmmjmjjjm,,,|,,,,121222122212m2 jjj和,?现在可进一步考虑的关系。 12 mmmjjj,,,的最大值依次是和1212 且mmm,，12 ？,，jjjmax12 至于给定后，可能的最小值考虑如下:jjj,12 jmjjjj给定时，共(,,,，,.1,.....1,,,2j+1)个1111111 ？,|jm有(2j+1)111 jm给定时，|j,也有(2j+1)个2222 ？,，j，j确定后，|jmm，j有(2j+1)(2j+1)个12112212 |,,,|,jjjmjm,是jm,的线性迭加121122？,，jjjjjm,|,,确定后，的个数也是(2j+1)(2j+1)个121212 它们对应于不同的或jm而对同一个，共个jmjjjj,,,，,1,........21，， 设的最小值为jjmin jmax2则，(212121jjjjj，,，,，,,2j+1)，，，，，，，，112maxmaxmin,jmin 将代入上式，得jjjjjj,，,,max12min12 jjj,也称为耦合规则minmax ,,2j,m值确定后，的本征值便确定了 JJ和z |,jjjm,再由的展开式，原则上可求出个本征值相应的本征矢。为此，可12 先求出展开式的系数。但很繁，不推。书中，P210给出了几个结果。