两个角动量的耦合
4、两个角动量的耦合,
在讨论了粒子的轨道角动量和自旋角动量后,一个系统总角动量,等于有关
的各个独立的角动量的矢量和。
在量子力学中,即使是单个粒子的系统,也会出现自旋角动量和轨道角动量
的相加或耦合。
在讨论有关具体问题前,先要学会量子力学中角动量算符的加法。
一、对易关系
,,
设有两个独立的角动量算符,它们分别可以是轨道角动量算符,或自JJ和12
旋角动量算符,或由它们相加而成的一些角动量算符。
,,
由角动量算符的一般定义知,都是厄米算符。且满足如下一些对易关JJ和12
系:
,,,JJiJ,,111xyz,,,,,,,,,JJiJJJiJ,,,,,,111111yzx,,
,
JJiJ,,,,111zxy,,
,,,,,,,2222JJJJJJ,,0,,,,,,,,111111xyz
,,,,,,
,,,
JJiJ,,222
,,,,,,,,2JJJJ,0,,,0,,,,,,2212
,,,,,,
,,,
现定义,JJJ,,12
,
显然:也是一个角动量算符J
,,,,,,,,22易证:,,JJJJ,,0,,,,12
,,,,,,,,
22,,,,,,,,,22而由:JJJJJJJ,,,,,2,,121212,,,,
,,,,,,,,22可推得:,,JJJJ,,0,,,,12
,,,,,,,,
,,,,,,,,22另外,易证:JJJJ,,,,0,,,,12zz
,,,,,,,,
,,,,,,,,22JJ,,,JJ,0,,,,1zz2zz,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
,,,,JJJJJJJJ,,,,0,,,,,,,,1212xxxxyyyy
,,,,,,,,
,,,,,,,,22注意:,,JJJJ,0,,0,,,,12
,,,,,,,,
,,,,,JJiJ,,例、证明: xyz,,,,
证明:
,,,,,,,,,,,,,,JJJJJJJJJJ,,,,,,,1212xxyyxyxyyx,,,,,,,,
,,,,,,,,,,JJJJJJ,,,,,,112212xyyxyy,,,,,,,,
,,,,,,,,,,,,,,,,JJJJJJJJ,,,,,,,,11122122xyxyxyxy,,,,,,,,,,,,,,,,
,,
iJiJ00,,,,12zz
,
iJ,z
二(无耦合表象(直乘表象)
2,,,,2JJJ和 有上述对易关系知,,,这四个算符两两相互对易 J112z2z
222,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,2JJJJJJJJJJ,,0,,0,0,,0,,,,,,,,,,112,,,,,,zzzz1221212()
,,,,,,,,,,,,,,,,
由算符对易的性质知,这四个算符有共同本征态,可以建立以这些共同本征
态为基的表象,这种表象叫无耦合表象或直乘表象。为简单,采用狄拉克算符。
,,,,22J|,jm,J根据角动量算符的性质,设和J的共同本征态为,而与J的11121z2z
|,jm,共同本征态为,它们的本征值方程分别为: 22
2,2Jjmjjjm|,1|,,,,,1,,111111
,
Jjmmjm|,|,,,111111z
2,2Jjmjjjm|1|,,,,2,,222222
,
Jjmmjm||,,,222222z
,这里和分别属于两个独立的空间,只对|||jmjmJmj,,,1122111
,
作用,而只对作用Jmj|,222
,,
JJjmjm,分别只对和起作用||,,121122
?,,,若定义,|||jmjmjmjm,11221122
则,也是上述四个方程的解jmjm,|1122
,,,,22?,jmjmJJJJ,是,和,| 11221122zz
这四个算符的共同本征函数,无耦合表象就是以这些共同本征态为基。
讨论:?在给定jj,时。 12
mjjjjj,,,,,,,1,........1,...(21)个111111
mjjjjj,,,,,,,1,........1,...(21)个222222
?,,,|,2121jmjmjj的个数共有个,即,,,,112212
|,2121jmjmjj,,,所张开的空间维数是维,,,,112212
的|jm,所张开的空间相乘而得来的空间,所以,以22
jmjm,,|,|,|jmjmjmjm,,,为基的表象为直乘表象。112211221122
jj和?在直乘表象中,由量子数 标记的这两种角动量状态相加而成的任意12态矢的展开式是 |,,
jj12
||,,|,,,,,,,jmjmjmjm,,11221122
,,,,mjmj1122
三(耦合表象
由上述对易关系还可知:
2,,,,22JJJ,,,,也两两对易,所以,还可建立以这四个算符的共同本征态Jz12
为基的表象,叫耦合表象。
2,,,,22JJJ,,按角动量算符的性质,设,,的本征值方程是: Jz12
2,2Jjjjmjjjjjm|,1|,,,,,,,1212
,
Jjjjmmjjjm|,|,,,,z1212
, 22Jjjjmjjjjjm|,1|,,,,,,,11212
,22Jjjjmjjjjjm|,1|,,,,,,,2122212
|,,jjjm,jj和 在现在的共同本征态中,参数表示现在用量子书j标记1212
jj和的总角动量,是由用标记的两个角动量耦合而成的,这就是“耦合表象”12
的由来。
问题:由角动量为jj和的两个角动量,可以耦合出哪些j值的总角动量, 12
?首先:耦合表象与无耦合表象的关系如下:
|,jmjm,|,jjjm,组成正交归一完备系。可将耦合表象的基矢按无耦112212
合表象的基矢展开,|,|,,,jjjmjmjmjjjm,,,,,叫矢量耦合系数或,12112212mm,12克来布希——高登系数。
,,,,,,,,JJJJ,,0?其次,由对易关系,,,,可知,无耦合表象的基矢12zzzz,,,,,,,,
,
|,jjjm,,也应是的本征矢。实际上,由方程: Jz1222
,,,,,JjmjmJJjmjm|,|,,,,,zzz12,,11221122,,
,,
,,,,JjmjmJjmjm|,|,12zz11221122
,,,mmjmjm|,,,121122
,
,,,Jjmjmmmm|,可知:在中的本征值为z,,112212
,,mmm即:,,12
|,,jjjmmmm,于是,在的展开式中,对的求和实际上只须对求和,即:12122
,,,|,|,,,jjjmjmmjm,,,,jmmjmjjjm,,,|,,,,121222122212m2
jjj和,?现在可进一步考虑的关系。 12
mmmjjj,,,的最大值依次是和1212
且mmm,,12
?,,jjjmax12
至于给定后,可能的最小值考虑如下:jjj,12
jmjjjj给定时,共(,,,,,.1,.....1,,,2j+1)个1111111
?,|jm有(2j+1)111
jm给定时,|j,也有(2j+1)个2222
?,,j,j确定后,|jmm,j有(2j+1)(2j+1)个12112212
|,,,|,jjjmjm,是jm,的线性迭加121122?,,jjjjjm,|,,确定后,的个数也是(2j+1)(2j+1)个121212
它们对应于不同的或jm而对同一个,共个jmjjjj,,,,,1,........21,,
设的最小值为jjmin
jmax2则,(212121jjjjj,,,,,,,2j+1),,,,,,,,112maxmaxmin,jmin
将代入上式,得jjjjjj,,,,max12min12
jjj,也称为耦合规则minmax
,,2j,m值确定后,的本征值便确定了 JJ和z
|,jjjm,再由的展开式,原则上可求出个本征值相应的本征矢。为此,可12
先求出展开式的系数。但很繁,不推。书中,P210给出了几个结果。