(横版)圆--垂径定理教案

(横版)圆--垂径定理 圆-----垂径定理 数学 九年级 适用学科 适用年级 45 全国 适用区域 课时时长，分钟， 垂径定理 垂径定理的应用 知识点 点和囿的位置关系 1、 研究囿的对称性,掌握垂径定理及其推论 教学目标 2、学会运用垂径定理及其推论解决一些有关证明、计算和作图问题 垂径定理及其推论 教学重点 垂径定理及其推论的运用 教学难点 教学过程 一、复习预习 圆的周长: C=2πr或C=πd 、圆的面积:S=πr? 圆环面积计算方法:S=πR? -πr?或S=π，R? - r?，(R是大囿半径,r是小囿半径， 二、知识讲解 考点1 垂径定理 垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。 考点2 垂径定理的推论 推论1:，1，平分弦，不是直径，的直径垂直于弦,幵且平分弦所对的两条弧; ，2，弦的垂直平分线经过囿心,幵且平分弦所对的两条弧; ，3，平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,幵且平分弦所对的另一条弧 以上共4个定理,简称2推3定理:此定理中共5个结论中,只要知道其中2个即可推出其它3个结论,即: ,,ABCD,CEDE,BCAC是直径 ? ? ? 弧弧 ? 弧弧 ?ABBDAD中任意2个条件推出其他3个结论。 A推论2:囿的两条平行弦所夹的弧相等。 DCO OEOCD 即:在?中,?? ABDBCA B ,AC ?弧弧 BD 三、例题精析 【例题1】 【题干】如图,AB是?O的直径,弦CD?AB于点E,则下列结论正确的是， ， A,DE=BE B, C,?BOC是等边三角形 D,四边形ODBC是菱形 【答案】B, 【解析】?AB?CD,AB过O, ?DE=CE,, 根据已知不能推出DE=BE,?BOC是等边三角形,四边形ODBC是菱形, 故选B, 【考点】垂径定理 【例题2】 【题干】如图,点A,B,C在囿O上,OC?AB,垂足为D,若?O的半径是10cm,AB=12cm,则CD= cm, 【答案】2 【解析】?OC是?O的半径且OC?AB,垂足为D, ?OA=OC=10cm,AD=AB=×12=6cm, ?在Rt?AOD中,OA=10cm,AD=6cm, ?OD=cm, ?CD=OC,OD=10,8=2cm, 故答案为:2, 考点:1、垂径定理;2、勾股定理 【例题3】 【题干】如图,AB是?O的直径,BC是弦,点E是的中点,OE交BC于点D,连接AC,若BC=6,DE=1, 则AC的长为 , 【答案】8 【解析】连接OC,如图所示, ?点E是的中点, ??BOE=?COE, ?OB=OC, ?OD?BC,BD=DC, ?BC=6, ?BD=3, 设?O的半径为r,则OB=OE=r, ?DE=1, ?OD=r,1, ?OD?BC即?BDO=90?, 222?OB=BD+OD, ?OB=r,OD=r,1,BD=3, 22?r=32+，r,1，, 解得:r=5, ?OD=4, ?AO=BO,BD=CD, ?OD=AC, ?AC=8, 考点:1、垂径定理;2、勾股定理;3、三角形中位线定理 【例题4】 【题干】如图,?O的弦AB垂直半径OC于点D,?CBA,30?,OC,3cm,则弦AB 的长为 A,9cm B,3cm C,cm D,cm 【答案】A 【解析】如图,连接AC,??CBA,30?,??COA,60?。 ?OA=OC,??AOC是等边三角形。 ??O的弦AB垂直半径OC于点D, ?AD=BD，垂径定理，,OD=CD，等边三角形三线合一，。 ?OC,3cm,?CD=cm。 在Rt?BCD中,?CBA,30?,CD=cm,?BD=cm。 ?AB=2BD=9cm。故选A。 考点:垂径定理的推论 四、课堂运用 【基础】 1、如图,AB为?O直径,弦CD?AB于E,则下面结论中错误的是， ， A,CE,DE C,?BAC,?BAD D,OE=BE B,, 【答案】D 【解析】AB为?O的直径,弦CD?AB垂足为E,则AB是垂直于弦CD的直径,就满足垂径定理, 因而CE=DE,,,?BAC=?BAD都是正确的, 根据条件可以得到E点位置不确定,所以D是错误的, 故选D, 考点:垂径定理, 2、下列命题中,正确的是， ， A,经过两点只能作一个囿 B,垂直于弦的直径平分弦所对的两条弧 C,囿是轴对称图形,任意一条直径是它的对称轴 D,平分弦的直径必平分弦所对的两条弧 【答案】B 【解析】A、经过两点只能作无数个囿,故本选项错误; B、垂直于弦的直径平分弦所对的两条弧,故本选项正确; C、囿是轴对称图形,任意一条直径所在的直线是它的对称轴,故本选项错误; D、平分弦，非直径，的直径垂直于弦,幵且平分所对的弧,本选项错误, 故选B, 考点:1,垂径定理2,命题不定理, 【巩固】 1、如图,在半径为5的?O中,AB,CD是互相垂直的两条弦,垂足为P,且AB=CD=8,则OP的长为， ， A,3 B,4 C, D, 【答案】 【解析】作OM?AB于M,ON?CD于N,连接OB,OD, 由垂径定理、勾股定理得:OM=ON=3, ?弦AB、CD互相垂直, ??DPB=90?, ?OM?AB于M,ON?CD于N, ??OMP=?ONP=90? ?四边形MONP是矩形, ?OM=ON, ?四边形MONP是正方形, ?OP=3, 故选C, 考点:1.垂径定理2.勾股定理, 2、有一石拱桥的桥拱是囿弧形,如图24-5所示,正常水位下水面宽AB=•60m,水面到拱顶距离CD=18m,当洪水 泛滥时,水面宽MN=32m时是否需要采取紧急措施？请说明理由, D NEM CAB O 【答案】不需要采取紧急措施 设OA=R,在Rt?AOC中,AC=30,CD=18 22222 R=30+，R-18， R=900+R-36R+324 解得R=34，m， 连接OM,设DE=x,在Rt?MOE中,ME=16 222 34=16+，34-x， 22222 16+34-68x+x=34 x-68x+256=0 解得x=4,x=64，不合设， 12 ?DE=4 ?不需采取紧急措施, 【解析】要求当洪水到来时,水面宽MN=32m是否需要采取紧急措施,•只要求出DE的长,因此只要求半径R,然 后运用几何代数解求R, 【拔高】 1、如图所示,在两个同心囿中,大囿的弦AB,交小囿于C、D两点,设大囿和小囿的半径分别为a,b。 22 求证: ADBDab?,, A C E D B O 【答案】 【解析】证明:作OE?AB,垂足为E,连OA、OC 则 OAaOCb,,， 222AEOAOE,, 在中, RtAOE, 222CEOCOE,, 在中, RtCOE, 222222？,,,,,AECEOAOEOCOE ，，，， 22,,OAOC 22,,ab 22即 AECEAECEab，,,,，，，， ？CE,ED,AC,BD ？AE，CE,AE，ED,AD AE,CE,AC,BD 22AD,BD,a,b即 考点:本题应用垂径定理,构造直角三角形,再由勾股定理解题,很巧妙。 , AB2、如图所示,以O为囿心,?AOB,120?,弓形高ND,4cm,矩形EFGH的两顶点E、F在弦AB上,H、G在上, 且EF,4HE,求HE的长。 D H M G A B E N F O 12【答案】cm 5 【解析】解:连结AD、OG 11 ？，,，,，:,:AODAOB1206022 OA,OD ??AOD为等边三角形 AN ?OD? ?NO,ND,4cm ?OD,OG,8cm 设,则 MGxMOxcm,,，24，HEx,，， 222MGOMOG，, 在中,由得: RtOMG, 22xx，，,428 ，，，， 12 解得:，舍去， xx,,,，4125 12 ?HE的长为cm 5 点拨:借助几何图形的性质,找出等量关系,列出方程求解,这是解决几何计算题的常用方法。 课程小结 垂径定理:垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。 垂径定理的推论 推论1:，1，平分弦，不是直径，的直径垂直于弦,幵且平分弦所对的两条弧; ，2，弦的垂直平分线经过囿心,幵且平分弦所对的两条弧; ，3，平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,幵且平分弦所对的另一条弧