凸四边形的一个面积公式及一个猜想

凸四边形的一个面积公式及一个猜想 (李明 中国医科大学数学教研室 110001) 摘要:本文借助解三角形的知识推导出了凸四边形的一个面积公式，并通过类比得出了关于凸 边形面积公式的一个猜想. nn,5，， 关键词: 凸四边形 面积公式 余弦定理 凸边形 n1 问的提出 众所周知，如果已知三角形的两边及其夹角(如图1)， aa,,121我们便有三角形面积的公式如下: S3 1 (1) ,,Saasin31212 将上述结论类比到凸四边形，我们便有如下问题: 若已知凸四边形的三条边长依次为和， aa,a123且知道它们所夹的两个内角依次为和(如图2)， ,,12 则其面积如何用这已知的三条边和两个角来准确表示, S4 即凸四边形有怎样的面积公式, 2 问题的求解 在图2的基础上连出对角线，并记， ，,AAA,AAm,13132这就得到了图3.于是，凸四边形的面积可以写成如下表达式: S4 SSS,，4,,AAAAAA123134 11 ,，,,,,aaamsinsin，，1213222 11 (2) ,，,,,,,,aaamsinsincoscossin，，12132222 至此，欲求，只须先用已知的边角将及这三个未知量一一表示出来. m,cos,sin,S4 首先，由余弦定理易得: 22 (3) maaaa,，,2cos,12121 其次，由余弦定理并结合(3)式可得: 222amaaa，,,cos,21211 (4) cos,,,222amaaaa，,2cos,212121 最后，由(4)式可得: 1 asin,211 (5) ,,,sin1cos,,22，,aaaa2cos,12121 将(3)、(4)和(5)式代入(2)式并稍加整理，便可得到凸四边形的一个面积公式如下: 111 (6) ,，,，,,,,Saaaaaasinsinsin，，41212321312222 3 对推广问题的猜想 将上文的求凸四边形的面积公式问题推广到凸边形，我们便有如下问题: nn,5，， 若已知凸边形的条边长依次为 nn,5n,1，， ，且知道它们所夹的 aaaaa,,,,,n,212321nn,, 个内角依次为(如图4)，则其面积 ,,,,,,122n, 如何用这已知的条边和个角来准确表示, n,1n,2 即凸边形有怎样的面积公式, nn,5，， 对于此推广问题，从公式(1)和公式(6)的特点出发进行类比，我们猜想凸边形应nn,5，，该有面积公式如下: 1ij，，1 Saa,,，，，,,,1sin，，，，,nijiij，,11211,,,,ijn 至于此猜想是否正确，还有待于进一步研究. 注:该猜测在甘志国老师的专著《初等数学研究》(I)中被独立提出并解决. 2 3