数列简案

数列 ⒈ 数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列. ⒉ 数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项. ⒊数列的一般形式： ，或简记为 ，其中 是数列的第n项 ⒋ 数列的通项公式：如果数列 的第n项 与n之间的关系 可以用一个公式来示，那么这个公式就叫做这个数列的通项 公式. 5．数列的图像都是一群孤立的点. 6．数列有三种表示形式：列举法，通项公式法和图象法. 7． 有穷数列：项数有限的数列. 8．无穷数列：项数无限的数列. 9．递推公式： 常用的数列递推公式： （1）等差数列， ， （2）等比数列， ， （3）累加法 ， （4）累乘法 ， （5）待定系数法 EMBED Equation.DSMT4 ， ， （6）倒数法 ， 例1、根据下列数列 的递推公式。求其通项公式。 （1） ；（2） （3） ；（4） （5） ；（6） （7） ；(两边平方) （8） （两边取对数） 10．数列的前n项和： 数列 中， 称为数列 的前n项和，记为 . 表示前n项之和： = . ∴当n≥1时 才有意义；当n≥2时 才有意义. 与 之间的关系： 由 的定义可知，当n=1时， = ； 当n≥2时， = - ， 即 = . 等差数列 1． 等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列， ⑴．公差d一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求； ⑵．对于数列{ },若 － =d (与n无关的数或字母)，n≥2，n∈N ，则此数列是等差数列，d 为公差 2．等差数列的通项公式： 【或 EMBED Equation.3 】 d= 数列{ }为等差数列的充要条件是其通项 =pn+q (p、q是常数)称其为第3通项公式 3定义：若 ，A， 成等差数列，那么A叫做 与 的等差中项 4性质： 在等差数列中，若m+n=p+q，则， 5． 等差数列的前 项和公式1 = 公式2： 公式二又可化成式子： ，当d≠0，是一个常数项为零的二次式 对等差数列前项和的最值问题有两种方法: （1） 利用 : 当 >0，d<0，前n项和有最大值可由 ≥0，且 ≤0，求得n的值 当 <0，d>0，前n项和有最小值可由 ≤0，且 ≥0，求得n的值 （2） 利用 ： 由 利用二次函数配方法求得最值时n的值 例2．在等差数列{ }中, ＝－15, 公差d＝3, 求数列{ }的前n项和 的最小值 解法1：∵ ＝ ＋3d, ∴ －15＝ ＋9, ＝－24, ∴ ＝－24n＋ ＝ [(n－ ) － ], ∴ 当|n－ |最小时， 最小， 即当n＝8或n＝9时， ＝ ＝－108最小. 解法2：由已知解得 ＝－24, d＝3, ＝－24＋3(n－1), 由 ≤0得n≤9且 ＝0, ∴当n＝8或n＝9时， ＝ ＝－108最小. 例3 .已知等差数列{ }中 =13且 = ,那么n取何值时, 取最大值. 解法1：设公差为d，由 = 得： 3×13+3×2d/2=11×13+11×10d/2 d= -2, =13-2(n-1), =15-2n, 由 即 得：6.5≤n≤7.5,所以n=7时, 取最大值. 解法2:由解1得d= -2,又a1=13所以 = - n +14 n = -（n-7） +49 ∴当n=7， 取最大值 例4已知数列 是等差数列， 是其前n项和， 求证：⑴ ， - ， - 成等差数列； ⑵设 （ ）成等差数列 ：略。可得 是以 d为公差的等差数列. 例5．两个等差数列，它们的前n项和之比为 , 求这两个数列的第九项的比 解： . 例6．设等差数列{ }的前n项和为 ，已知 ＝12， >0， <0， (1) 求公差d的取值范围； (2) 指出 , , , ……, 中哪一个最大，说明理由 解： (1) EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 , ∵ ＝ ＋2d＝12, 代入得 , ∴ － 0, ∴ ＋ >0, ∴ >0, 最大. 等比数列 1．等比数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q表示（q≠0），即： =q（q≠0） 1(“从第二项起”与“前一项”之比为常数(q) ｛ ｝成等比数列 EMBED Equation.3 =q（ ,q≠0） 2( 隐含：任一项 “ ≠0”是数列｛ ｝成等比数列的必要非充分条件． 3( q= 1时，{an}为常数 2.等比数列的通项公式1: 3.等比数列的通项公式2: 4．既是等差又是等比数列的数列：非零常数列． 5．等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a,G，b成等比数列，那么称这个数G为a与b的等比中项. 即G=± （a,b同号） 6．等比数列的性质：若m+n=p+k，则 7．判断等比数列的方法：定义法，中项法，通项公式法 8、等比数列的前n项和公式： ∴当 时， ① 或 ② 当q=1时， 例7 已知等差数列{ }的第二项为8，前十项的和为185，从数列{ }中，依次取出第2项、第4项、第8项、……、第 项按原来的顺序排成一个新数列{ }，求数列{ }的通项公式和前项和公式 解：∵ , 解得 ＝5, d＝3, ∴ ＝3n＋2, ＝ ＝3× ＋2, ＝(3×2＋2)＋ (3× ＋2)＋ (3× ＋2)＋……＋(3× ＋2) ＝3· ＋2n＝7· －6.（分组求和法） 例8等比数列 前 项和与积分别为S和T，数列 的前 项和为 ，理 求证： 证：当 时， ， ， ， ∴ ，（成立） 当 时， ， ∴ ，（成立） 综上所述：命题成立 例9设首项为正数的等比数列，它的前 项之和为80，前 项之和为6560，且前 项中数值最大的项为54，求此数列理 解： 由题意 代入（1）， ， 得： ，从而 ， ∴ 递增，∴前 项中数值最大的项应为第 项 ∴ EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 ∴ ， ∴ ， ∴此数列为 例10、设数列 前 项之和为 ，若 且 ，问：数列 成等比数列吗？ 解：∵ ， ∴ ，即 即： EMBED Equation.3 ，∴ 成等比数列 又： ， ∴ 不成等比数列，但当 时成 ， 即： 例7、公差不为0的等差数列 中， 的部分项按原来的顺序由小到大组成等比数列 ，且 。 (1) 求该等比数列的公比 ； (2) 求 及 （3） 例8数列 满足 令 , (1) 求证:数列 为等差数列; (2) 求数列 的通项公式. 例9 (1) 已知数列 ,其中 且数列 为等比数列,求常数 . (2) 设 是公比不相等的两个等比数列, ,证明数列 不是等比数列. 数列的求和 一、基本公式： 1.等差数列的前 项和公式： ， 2．等比数列的前n项和公式： 当 时， ① 或 ② 当q=1时， 二、特殊数列求和－－常用数列的前n项和： 例1 设等差数列{an}的前n项和为Sn，且 ，求数列{an}的前n项和 解：取n =1，则 又： 可得： 例3 大楼共n层，现每层指定一人，共n人集中到设在第k层的临时会议室开会，问k如何确定能使n位参加人员上、下楼梯所走的路程总和最短（假定相邻两层楼梯长相等） 解：设相邻两层楼梯长为a，则 当n为奇数时，取 S达到最小值 当n为偶数时，取 S达到最大值 例4 求和S =1×2×3+2×3×4+…+n(n+1)(n+2)． 解  因为n(n+1)(n+2)=n +3n +2n，则 Sn=1 +3×1 +2×1+2 +3×2 +2×2+…n +3n +2n =（1 +2 …+n ）+3（1 +2 +…+n ）+2（1+2+…+n） 以上应用了特殊公式和分组求解的方法 二、拆项法(分组求和法)： 例5求数列 的前n项和 解：设数列的通项为an，前n项和为Sn， 则 当 时， 当 时， 例6求和：（x+ （其中x≠0，x≠1，y≠1） 解：当x≠0，x≠1，y≠1时， （x+ 三、裂项法： 例7求数列 前n项和 解：设数列的通项为bn， 则 例8求数列 前n项和 解： 四、错位法： 例9 设数列 为 EMBED Equation.3 求此数列前 项的和 解：（用错项相消法） ， 当 时， 当 时， 例10 求数列 前n项和 解 两式相减： 五、倒序相加 例11设 , 求(1) (2) 例12已知 ,求 _1321359732.unknown _1321768632.unknown _1321780032.unknown _1321783581.unknown _1321873986.unknown _1321966958.unknown _1379227769.unknown _1321900213.unknown _1321943531.unknown _1321900017.unknown _1321783875.unknown _1321789209.unknown _1321789344.unknown _1321789509.unknown _1321789644.unknown _1321789302.unknown _1321786140.unknown _1321783704.unknown _1321783813.unknown _1321783675.unknown _1321783100.unknown _1321783227.unknown _1321783474.unknown _1321783175.unknown _1321780105.unknown _1321782352.unknown _1321780061.unknown _1321774978.unknown _1321775109.unknown _1321775147.unknown _1321768703.unknown _1321768740.unknown _1321774947.unknown _1321768651.unknown _1321361040.unknown _1321378047.unknown _1321439742.unknown _1321768611.unknown _1321378265.unknown _1321378347.unknown _1321378170.unknown _1321377884.unknown _1321377948.unknown _1321377817.unknown _1321360311.unknown _1321360693.unknown _1321360831.unknown _1321360574.unknown _1321360635.unknown _1321359879.unknown _1321360086.unknown _1321359811.unknown _1121772923.unknown _1121777960.unknown _1121860739.unknown _1121861335.unknown _1321358122.unknown _1321359642.unknown _1121861477.unknown _1121901594.unknown _1121901617.unknown _1131820745.unknown _1121901666.unknown 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