勾股定理证明

勾股定理 【证法1】(课本的证明) 做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，再做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形. 从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b，所以面积相等. 即a^2+b^2+4*(ab/2)=c^2+4*(ab/2)， 整理得到:a^2+b^2=c^2。 【证法2】 以a、b 为直角边，以c为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于 ab/2. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上，B、F、C三点在一条直线上，C、G、D三点在一条直线上. ? RtΔHAE ? RtΔEBF, ? ?AHE = ?BEF. ? ?AEH + ?AHE = 90º, ? ?AEH + ?BEF = 90º. ? ?HEF = 180º―90º= 90º. ? 四边形EFGH是一个边长为c的 正方形. 它的面积等于c^2. ? RtΔGDH ? RtΔHAE, ? ?HGD = ?EHA. ? ?HGD + ?GHD = 90º, ? ?EHA + ?GHD = 90º. 又? ?GHE = 90º, ? ?DHA = 90º+ 90º= 180º. 地址:远大路世纪城远大园五区9号楼 电话:88594404 ? ABCD是一个边长为a + b的正方形，它的面积等于(a+b)^2. ?(a+b)^2=c^2+4*(ab/2)， ? a^2+b^2=c^2。 此主题相关图片如下: 【证法3】 以a、b 为直角边(b>a)， 以c为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于ab/2. 把 这四个直角三角形拼成如图所示形状. ? RtΔDAH ? RtΔABE, ? ?HDA = ?EAB. ? ?HAD + ?HAD = 90º， ? ?EAB + ?HAD = 90º， ? ABCD是一个边长为c的正方形，它的面积等于c^2. ? EF = FG =GH =HE = b―a , ?HEF = 90º. ? EFGH是一个边长为b―a的正方形，它的面积等于(b-a)^2. ?(b-a)^2+4*(ab/2)=c^2， ? a^2+b^2=c^2。 此主题相关图片如下: 地址:远大路世纪城远大园五区9号楼 电话:88594404 【证法4】(1876年美国总统Garfield证明) 以a、b 为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于ab/2. 把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上. ? RtΔEAD ? RtΔCBE, ? ?ADE = ?BEC. ? ?AED + ?ADE = 90º, ? ?AED + ?BEC = 90º. ? ?DEC = 180º―90º= 90º. ? ΔDEC是一个等腰直角三角形， 它的面积等于c^2/2. 又? ?DAE = 90º, ?EBC = 90º, ? AD?BC. ? ABCD是一个直角梯形，它的面积等于(a+b)^2/2 (a+b)^2/2=2*ab/2+c^2/2, ? a^2+b^2=c^2。 此主题相关图片如下: 地址:远大路世纪城远大园五区9号楼 电话:88594404 【证法5】(梅文鼎证明) 做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b ，斜边长为c. 把它们拼成如图那样的一个 多边形，使D、E、F在一条直线上. 过C作AC的延长线交DF于点P. ? D、E、F在一条直线上, 且RtΔGEF ? RtΔEBD, ? ?EGF = ?BED， ? ?EGF + ?GEF = 90?， ? ?BED + ?GEF = 90?， ? ?BEG =180º―90º= 90º. 又? AB = BE = EG = GA = c， ? ABEG是一个边长为c的正方形. ? ?ABC + ?CBE = 90º. ? RtΔABC ? RtΔEBD, ? ?ABC = ?EBD. ? ?EBD + ?CBE = 90º. 即 ?CBD= 90º. 又? ?BDE = 90º，?BCP = 90º， BC = BD = a. ? BDPC是一个边长为a的正方形. 同理，HPFG是一个边长为b的正方形. 设多边形GHCBE的面积为S，则 a^2+b^2=S+2*ab/2 c^2=S+2*ab/2 ? a^2+b^2=c^2。 地址:远大路世纪城远大园五区9号楼 电话:88594404 此主题相关图片如下: 【证法6】(项明达证明) 做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b(b>a) ，斜边长为c. 再做一个边长为c 的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形，使E、A、C三点在一条直线上. 过点Q作QP?BC，交AC于点P. 过点B作BM?PQ，垂足为M;再过点 F作FN?PQ，垂足为N. ? ?BCA = 90º，QP?BC， ? ?MPC = 90º， ? BM?PQ， ? ?BMP = 90º， ? BCPM是一个矩形，即?MBC = 90º. ? ?QBM + ?MBA = ?QBA = 90º， ?ABC + ?MBA = ?MBC = 90º， ? ?QBM = ?ABC， 又? ?BMP = 90º，?BCA = 90º，BQ = BA = c， ? RtΔBMQ ? RtΔBCA. 同理可证RtΔQNF ? RtΔAEF. 从而将问题转化为【证法4】(梅文鼎证明). 此主题相关图片如下: 地址:远大路世纪城远大园五区9号楼 电话:88594404 【证法7】(欧几里得证明) 做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使H、C、B三点在一条直线上，连结 BF、CD. 过C作CL?DE，交AB于点M，交DE于点L. ? AF = AC，AB = AD， ?FAB = ?GAD， ? ΔFAB ? ΔGAD， ? ΔFAB的面积等于a^2/2， ΔGAD的面积等于矩形ADLM的面积的一半， ? 矩形ADLM的面积 =a^2. 同理可证，矩形MLEB的面积 =b^2. ? 正方形ADEB的面积 = 矩形ADLM的面积 + 矩形MLEB的面积 ? a^2+b^2=c^2。 此主题相关图片如下: 地址:远大路世纪城远大园五区9号楼 电话:88594404 【证法8】(利用相似三角形性质证明) 如图，在RtΔABC中，设直角边AC、BC的长度分别为a、b，斜边AB的长为c，过点C作CD?AB，垂 足是D. 在ΔADC和ΔACB中， ? ?ADC = ?ACB = 90º， ?CAD = ?BAC， ? ΔADC ? ΔACB. AD?AC = AC ?AB， 即 AC^2=AD*AB. 同理可证，ΔCDB ? ΔACB，从而有 BC^2=BD*AB. ? AC^2+BC^2=(AD+BD)*AB=AB^2，即 a^2+b^2=c^2。 地址:远大路世纪城远大园五区9号楼 电话:88594404 此主题相关图片如下: 【证法9】(杨作玫证明) 做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b(b>a)，斜边长为c. 再做一个边长为c的正 方形. 把它们拼成如图所示的多边形. 过A作AF?AC，AF交GT于F，AF交DT于R. 过B作BP?AF， 垂足为P. 过D作DE与CB的延长线垂直，垂足为E，DE交AF于H. ? ?BAD = 90º，?PAC = 90º， ? ?DAH = ?BAC. 又? ?DHA = 90º，?BCA = 90º， AD = AB = c， ? RtΔDHA ? RtΔBCA. ? DH = BC = a，AH = AC = b. 由作法可知， PBCA 是一个矩形， 所以 RtΔAPB ? RtΔBCA. 即PB = CA = b，AP= a，从而PH = b―a. ? RtΔDGT ? RtΔBCA , RtΔDHA ? RtΔBCA. ? RtΔDGT ? RtΔDHA . ? DH = DG = a，?GDT = ?HDA . 又? ?DGT = 90º，?DHF = 90º， 地址:远大路世纪城远大园五区9号楼 电话:88594404 ?GDH = ?GDT + ?TDH = ?HDA+ ?TDH = 90º， ? DGFH是一个边长为a的正方形. ? GF = FH = a . TF?AF，TF = GT―GF = b―a . ? TFPB是一个直角梯形，上底TF=b―a，下底BP= b，高FP=a +(b―a). 用数字示面积的编号(如图)，则以c为边长的正方形的面积为 此主题相关图片如下: 地址:远大路世纪城远大园五区9号楼 电话:88594404 【证法10】(李锐证明) 设直角三角形两直角边的长分别为a、b(b>a)，斜边的长为c. 做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它 们拼成如图所示形状，使A、E、G三点在一条直线上. 用数字表示面积的编号(如图). ? ? TBE = ?ABH = 90º， ? ?TBH = ?ABE. 又? ?BTH = ?BEA = 90º， BT = BE = b， ? RtΔHBT ? RtΔABE. ? HT = AE = a. ? GH = GT―HT = b―a. 又? ?GHF + ?BHT = 90º， ?DBC + ?BHT = ?TBH + ?BHT = 90º， ? ?GHF = ?DBC. ? DB = EB―ED = b―a， ?HGF = ?BDC = 90º， ? RtΔHGF ? RtΔBDC. 即 S7=S2. 过Q作QM?AG，垂足是M. 由?BAQ = ?BEA = 90º，可知 ?ABE 地址:远大路世纪城远大园五区9号楼 电话:88594404 = ?QAM，而AB = AQ = c，所以RtΔABE ? RtΔQAM . 又RtΔHBT ? RtΔABE. 所以RtΔHBT ? RtΔQAM . 即 S8=S5. 由RtΔABE ? RtΔQAM，又得QM = AE = a，?AQM = ?BAE. ? ?AQM + ?FQM = 90º，?BAE + ?CAR = 90º，?AQM = ?BAE， ? ?FQM = ?CAR. 又? ?QMF = ?ARC = 90º，QM = AR = a， ? RtΔQMF ? RtΔARC. 即S4=S6. 此主题相关图片如下: 地址:远大路世纪城远大园五区9号楼 电话:88594404 【证法11】(利用切割线定理证明) 在RtΔABC中，设直角边BC = a，AC = b，斜边AB = c. 如图，以B为圆心a为半径作圆，交AB及AB的延长线分别于D、E，则BD = BE = BC = a. 因为?BCA = 90º，点C在?B上，所以AC是?B 的切线. 由切割线定理，得 此主题相关图片如下: 【证法12】(利用多列米定理证明) 在RtΔABC中，设直角边BC = a，AC = b，斜边AB = c(如图). 过点A作AD?CB，过点B作BD?CA，则ACBD为矩形，矩形ACBD内接于一个圆. 根据多列米定理，圆内接四边形对角线的乘积等于两对边乘积之和，有 此主题相关图片如下: 【证法13】(作直角三角形的内切圆证明) 在RtΔABC中，设直角边BC = a，AC = b，斜边AB = c. 作RtΔABC的内切圆?O，切点分别为D、E、F(如图)，设?O的半径为r. 地址:远大路世纪城远大园五区9号楼 电话:88594404 ? AE = AF，BF = BD，CD = CE， ? AC+BC-AB=(AE+CE)+(BD+CD)-(AF-BF) = CE+CD= r + r = 2r, 此主题相关图片如下: 【证法14】(利用反证法证明) 如图，在RtΔABC中，设直角边AC、BC的长度分别为a、b，斜边AB的长为c，过点C作CD?AB，垂足是D. 此主题相关图片如下: 地址:远大路世纪城远大园五区9号楼 电话:88594404 【证法15】(辛卜松证明) 此主题相关图片如下: 设直角三角形两直角边的长分别为a、b，斜边的长为c. 作边长是a+b的正方形ABCD. 把正方形ABCD划地址:远大路世纪城远大园五区9号楼 电话:88594404 分成上方左图所示的几个部分，则正方形ABCD的面积为 (a+b)^2=a^2+2ab+b^2;把正方形ABCD划分成上方右图所示的几个部分，则正方形ABCD的面 此主题相关图片如下: 【证法16】(陈杰证明) 设直角三角形两直角边的长分别为a、b(b>a)，斜边的长为c. 做两个边长分别为a、b的正方形(b>a)，把它们拼成如图所示形状，使E、H、M三点在一条直线上. 用数字表示面积的编号(如图). 在EH = b上截取ED = a，连结DA、DC， 则 AD = c. ? EM = EH + HM = b + a , ED = a， ? DM = EM―ED = (b+a)―a = b. 又? ?CMD = 90º，CM = a， ?AED = 90º， AE = b， ? RtΔAED ? RtΔDMC. ? ?EAD = ?MDC，DC = AD = c. ? ?ADE + ?ADC+ ?MDC =180º， ?ADE + ?MDC = ?ADE + ?EAD = 90º， ? ?ADC = 90º. ? 作AB?DC，CB?DA，则ABCD是一个边长为c的正方形. 地址:远大路世纪城远大园五区9号楼 电话:88594404 ? ?BAF + ?FAD = ?DAE + ?FAD = 90º， ? ?BAF=?DAE. 连结FB，在ΔABF和ΔADE中， ? AB =AD = c，AE = AF = b，?BAF=?DAE， ? ΔABF ? ΔADE. ? ?AFB = ?AED = 90º，BF = DE = a. ? 点B、F、G、H在一条直线上. 在RtΔABF和RtΔBCG中， ? AB = BC = c，BF = CG = a， ? RtΔABF ? RtΔBCG. 此主题相关图片如下: 地址:远大路世纪城远大园五区9号楼 电话:88594404 地址:远大路世纪城远大园五区9号楼 电话:88594404