为了正常的体验网站,请在浏览器设置里面开启Javascript功能!

03第2讲 韦达定理

2012-10-03 10页 pdf 264KB 294阅读

用户头像

is_274837

暂无简介

举报
03第2讲 韦达定理 第二讲 一元二次方程根的判别式、根与系数的关系 【知识技能要点讲解】 一元二次方程以及根的判别式、根与系数的关系,是中学数学中最为重要 的基本性质,有极其广泛的应用. 1.根的判别式 一元二次方程 02  cbxax ( 0a ), 其根的判别式为 acb 42  ,则有 (1)  0 一元二次方程有两个不相等实数根, 2,1x = a b 2  ; (2)  0 一元二次方程有两个相等实数根, x1=x2= a b 2  ;...
03第2讲 韦达定理
第二讲 一元二次方程根的判别式、根与系数的关系 【知识技能要点讲解】 一元二次方程以及根的判别式、根与系数的关系,是中学中最为重要 的基本性质,有极其广泛的应用. 1.根的判别式 一元二次方程 02  cbxax ( 0a ), 其根的判别式为 acb 42  ,则有 (1)  0 一元二次方程有两个不相等实数根, 2,1x = a b 2  ; (2)  0 一元二次方程有两个相等实数根, x1=x2= a b 2  ; (3)  0 一元二次方程没有实数根. 2. 根与系数的关系 一元二次方程 02  cbxax ( 0a ), 当 acb 42  ≥0时,两根为 a acbb x a acbb x 2 4 , 2 4 2 2 2 1     于是有 ,21 a b xx  a c xx 21 . 这就是“赫赫有名”的一元二次方程根与系数的关系,也有的书上称为韦达定理. 特别,当 a=1 时,方程 02  cbxx 的两根 x1, x2 满足 x1+x2= ____, x1x2=___. 反过来,若一元二次方程的两实根 x1, x2 满足 x1+x2= p, x1x2=q, 则这个一元二次 方程为____________. 由根与系数的关系还可得:当 acb 42  ≥0时, 若  0 a c 两根同号(且 ,0 a b 两根为负; ,0 a b 两根为正); 若  0 a c 两根异号. 【例题选讲】 例 1 若方程 06)4(2 2  xkxx 有两个不相等的实根,则 k 可取的最大整 数值是 ( ) (A) -1; (B)0; (C) 1; (D) 2. 解 方程化为 (2k-1)x2-8x+6=0, 由 0)12(2464  k 解得 k< 6 11 , 则k可 取的最大整数值是 1. 故选 C. 例 2 已知 cba ,, 是ABC 的三边长,且方程  xabxbc )(2)( 2 0)( ba 有两个相等的实数根,则这个三角形是 ( ) (A) 等腰三角形; (B) 等边三角形; (C) 直角三角形; (D)不确定. 解 首先 b≠c, 又∵ 0))((4))((4)](2[ 2  cababaacab , ∴a=b或 a=c,但 b≠c,故是等腰三角形,选 A. 点评 这里方程有两个相等的实数根,除 0 外,还要注意二次项系数 c-b ≠0, 这点是容易忽视的. 例3 已知方程 2x2+kx-2k+1=0的两实数根的平方和为 4 29 ,则 k的值为 ( ) (A) 3; (B) -11; (C) -3; (D) 3 或 -11. 解 设方程的两根为 x1, x2, 则 x1+x2= 2 k  , x1x2= 2 1  k . 由 4 29 12 4 1 2)( 221 2 21 2 2 2 1  kkxxxxxx , 解得 k=3 或 k= -11. 又由 0)12(82  kk ,检验知 k=3满足此式,k=-11不满足此式,故只 有 k=3, 选 A. 点评 利用根与系数的关系求字母系数的值或取值范围时,切记不要忽略方 程有实根的条件,即 0 . 例 4 已知:关于 x 的方程 x2+bx+4b=0 有两个相等的实根,关于 y 的方程 y2+(2-b)y+4=0的两实根是 y1,y2.求以 1y , 2y 为两根的一元二次方程. 解 依题意,b2-16b=0, ∴b1=0,b2=16, 当 b=0时,关于 y的方程为 y2+2y+4=0,此方程 0 无实根,故 b=0舍去; 当 b=16时,关于 y的方程为 y2-14y+4=0,此方程 0 有两个正实根 y1,y2, 有 y1+y2=14, y1y2=4. 因为( 1y + 2y ) 2= y1+y2+2 21yy =14+4=18, 所以 1y + 2y =3 2 , 又 1y 2y =2, 因此以 1y , 2y 为两根的一元二次方程为 t 2-3 2 t+2=0. 点评 此题中容易忽视 b=0时关于 y的方程为 y2+2y+4=0无实根这一事实而 多求出一个一元二次方程. 例 5 已知  , 是方程(x-a)(x-b)-cx=0的两个实数根,求关于 x的方程 (x- )(y-  )+cx=0的实数根. 解 将两个方程整理为 x2-(a+b+c)x+ab=0, (1) x2-(   -c)x+ =0, (2) 依题意,   =a+b+c,  =ab, 将它们代入方程(2),则方程(2)化为 x2-(a+b+)x+ab=0, (3) 方程(3)的两根为 x1=a, x2=b, 故方程(x- )(y-  )+cx=0 的两实数根为 x1=a, x2=b. 例 6 已知关于 x的一元二次方程 0)2( 2 1 )3( 222  mxmx . (1) 试证:无论 m取任何实数,此方程总有两个正根; (2) 设 x1,x2是方程的两实根,且满足 x1 2+x2 2-x1x2= 2 17 , 求 m的值. 解 (1) 证明 ∵=(m2+3)2-4× 2 1 (m2+2)=m4+4m2+5>0, 且 x1+x2= m 2+3>0, x1x2= 2 1 (m2+2)>0, ∴无论 m取任何实数,此方程总有两个正根. (2) ∵x1 2+x2 2-x1x2=(x1+x2) 2-3 x1x2=(m 2+3)2- 2 3 (m2+2)= m4- 2 9 m2+6, 于是 m4- 2 9 m2+6= 2 17 ,即 2m4+9m2-5=0,解得 m2= 2 1 或 m2=-5(舍去), ∴所求 m的值为 m=± 2 2 . 例 7 已知 p,q,m,n是实数,且 pq=2(m+n), 求证方程 x2+px+m=0和 x2+qx+n =0中至少有一个方程有实数根. 若由条件 pq=2(m+n)去探讨 04,04 22  nqmp ,发现无 从下手,这样只有反过来考虑反证法. 证明 假设这两个方程均无实数根,则 04,04 22 2 1  nqmp , 于是 021  . 又 pq=2(m+n), )(42221 nmqp  = pqqp 2 22  = 0)( 2  qp , 与 021  矛盾,故这两个方程中至少有一个方程有实数根 点评 象这种证明至少有„„,至多有„„,全部有„„的存在性问题,当 正面突破感觉困难时,反过来考虑用反证法,往往能使问题得以顺利解决. 【重难点剖析】 1. 利用条件关系构造一元二次方程,继而解决相关问题 (1) 在所给条件中,若已知两个实数 p,q 满足 p+q=m, pq=n,则可构造一元 二次方程 x2-mx+n=0(其两根为 p,q),继而解决相关问题. (2) 在所给条件中,若有两个实数同时满足某一个二次等式,则这个二次等 式往往可看作是一个一元二次方程,其两根为所给的两实数. 例 8 设实数 a 是方程 19x2+99x+1=0 的一个根, 实数 b 是方程 x2+99x+19=0 的一个根,并且 ab≠1, 求 b aab 14  的值. 分析 若用求根公式分别示出根 a和根 b,不但求分式 b aab 14  的值运 算繁杂,而且还要分根 a,b的情况进行讨论,显然这种思路不可取. 依题意,19a2+99a+1=0 (1), b2+99b+19=0 (2). 观察两方程的系数,且 a≠0, 方程(1)变形为 ( a 1 )2+99( a 1 )+19=0 (3) 由(2),(3)可知 b, a 1 是方程 x2+99x+19=0的两个根,于是 b + a 1 =-99, a b 1  =19, 即 ,991 aab  ab 19 , ∴ b aab 14  = a aa 19 499  =-5. 点评 本题中通过观察将两个条件式中的(1)进行变形,确定出 b, a 1 是方 程 x2+99x+19=0 的两个根,得到 b, a 1 的关系式使问题化简得解,这是某些已知 两个条件式求其他代数式的值常用的一种转化技能. 例 9 已知常数 a>0,x,y,z 均为实数,且满足 x+y+z=a, x2+y2+z2= 2 1 a2.求 x,y,z的取值范围. 解 已知 x+y+z=a, (1) x2+y2+z2= 2 1 a2, (2) 由(1)得 x+y=a-z, (3) 由(3)2-(2)得 2xy-z2= 2 1 a2-2az+z2, 即 xy= 4 1 a2-az+ z2, (4) 由(3)、(4)知 x,y可看作是关于 t的二次方程 t2-(a-z)t+( 4 1 a2-az+ z2)=0 (5) 的两实根, 于是=(a-z)2-4( 4 1 a2-az+ z2)=-3z2+2az≥0, 解得 0≤z≤ a 3 2 )0( a . 同理,可分别解得 0≤x≤ a 3 2 )0( a ,0≤y≤ a 3 2 )0( a . 点评 本题的解题关键在于通过条件式变形得到 x+y=a-z, xy= 4 1 a2-az+ z2, 继而构造出关于 t 的二次方程 t2-(a-z)t+( 4 1 a2-az+ z2)=0,此方程的两实根是 x,y,由=(a-z)2-4( 4 1 a2-az+ z2)≥0解得 z的范围. 2. 有关二次方程的参变量范围问题 有关求二次方程的参变量范围的问题,通常考虑运用根的判别式、根的表达 式、根与系数的关系列出不等式,然后求出相关范围,有时也需要依据条件先构 造二次方程,继而使问题得解,如上面例 9. 例10 方程 x2-11x+a+30=0 有两个都大于 5 的实数根,求实数 a 的取值范围. 解 首先=(-11)2- 4(a+30)=1-4a≥0, 解得 a≤ 4 1 . 其次,两根 x1, 2= 5 2 4111   a , ∴ 5 2 4111   a ,即 141  a , 解得 a>0, ∴所求 a的范围是 0<a≤ 4 1 . 例 11 已知实数 a,b满足 a2+ab+b2=1, 求 a2-ab+b2的取值范围. 分析 若考虑运用以后会学习的不等式 a2+b2≥2ab, 由 a2+ab+b2=1可得 3ab≤1,ab≤ 3 1 . 于是 a2-ab+b2=1-2ab≥1- 3 2 = 3 1 ; 同理,由 a2+b2≥-2ab 可以 得到 a2-ab+b2=1-2ab≤3. 这种解法要运用到以后会学习的不等式,况且 a2+b2≥ -2ab这种情况还容易忽视,因此现阶段并不可取. 从那里突破呢?记 a2-ab+b2=m, 这样由 a2+ab+b2=1 和 a2-ab+b2=m 可得到 ab= , 2 1 m a2+b2= 2 1 m , (a+b)2= a2+b2+2ab= 2 3 m , 由 a+b 与 ab 便可构造系数 含 m的一元二次方程. 解 记 a2-ab+b2=m,由 a2+ab+b2=1 和 a2-ab+b2=m 可得到 ab= , 2 1 m (1) a2+b2= 2 1 m , (a+b)2= a2+b2+2ab= 2 3 m ,须有 3-m≥0, 即 m≤3, 这时 a+b=± 2 3 m (2) 由(1)、(2)可知,a,b是二次方程 t2± 2 3 m t+ 0 2 1  m 的两实根,于是 =(± 2 3 m )2-4( 2 1 m )= 2 13 m ≥0, 得 m 3 1  . ∴ 3 3 1  m ,即 3 3 1 22  baba . 点评 解法中记 a2-ab+b2=m,相当于增加了一个条件等式,使写出 ab,a+b 的表达式,构造二次方程 t2± 2 3 m t+ 0 2 1  m 成为可能. 【双基巩固】 1. 若方程 x2-2x-(m-1)=0 有两个不相等实数根,则 m 的取值范围为 ( ) (A) (1,+∞); (B)( 0,+∞); (C) (-∞,0); (D) (-∞,2). 2. 若方程 x2-(a-3)x-3a-b2=0 有两个相等实数根,则方程 x2+ax+b=0 的两根为 ( ) (A) 0, 3; (B)0,-3; (C) 1,4; (D) 1, -4. 3. 关于 x 的方程(x-a)(x-b)=1 的根的情况是 ( ) (A) 没有实数根; (B)有两个相等实数根; (C) 有两个不相等实数根; (D) 有两个正实数根. 4. 若方程 x2-3mx-m+1=0 的两根之和与两根之积的和等于 5,则 m 的值为 _____. 5. 已知一元二次方程两实根的和是-3,两实根平方和是 29,求这个方程. 6. 已知方程( 04)55()15 2  xx 的一个根为 -1, 设另一个根为 p,求 p 3 -2p 2 -4p 的值. 7. 已知方程 x2-(3m+2)x+m=0 的两根之和等于其两根之积,且方程 x2-3mx -2m-4=0 的两根为 p,q, 求 22 11 qp  的值. 8. 已知方程 x2+px+q=0 的两个实数根分别比方程 x2+qx+p=0 的两实数根小 1,求以 p 1 , q 1 为两根的一元二次方程. 9. 若关于 x 的方程 x2+2(a+1)x+3a2+4ab+4b2+2=0 有实数根,试求 a, b 的值. 10. 已知 x1, x2 是方程 x 2 +m 2 x+n=0 的两个实数根,y1, y2 是方程 y 2 +5my+7=0 的两个实数根,且 x1-y1=2, x2-y2=2, 求 m,n 的值. 【能力提升】 11. 设 x1,x2 是二次方程 x 2 +5x-19=0 的两根,则 x1 2 -5x2+7 的值为 ( ) (A) 1; (B) 51; (C)61; (D) -11. 12. 已知关于 x 的方程 12x2-30x+k=0 两实数的立方和是这两实数根的平方 和的 3 倍,则 k 的值为 ( ) (A) -25; (B) -15; (C) 15; (D) 25. 13. 如果关于 x 的方程 mx2-2(m+2)x+m+5=0 没有实数根,那么关于 x 的方 程(m-5)x2-2(m+2)x+m=0 的实数根的个数为_______. 14. 若方程 x2-3x+1=0 的两根  , 也是方程 x4-px2+q=0 的两根,则 p+q=____. 15. 已知ABC的一边长为 5,另外两边长恰是方程 2x2-12x+m+1=0的两根, 求实数 m 的取值范围. 16. 若关于 x 的方程 2x2-3x+5m-1=0 的两个根都是小于 1 的正数,求实数 m 的取值范围. 17. 已知实数 a,b 分别满足 3a2- 2a-4=0 和 b2+b-3=0, 求 2 2 4 b a  的值. 18. 已知关于x的方程 012  pxx 的两根为  , , 方程 012  qxx 的两 根为 nm, ,证明: 22))()()(( pqnnmm   . 第二讲解答 1. B. 2. A. 由=(a-3)2+4(3a+b2)=a2+6a+4b2+9=(a+3)2+4b2=0, 得 a= -3, b=0. ∴方程 x2+ax+b=0 的两根为 0,3. 3. 方程为 x2-(a+b)+ab-1=0, )1(4)( 2  abba =(a-b)2+4>0, 故选 C. 4. 依题意,3m+(-m+1)=5, ∴m=2. 5. 设方程的两根为 x1,x2, 依题意,x1+x2=-3 (1),x1 2 +x2 2 =29 (2), 由(1)2-(2)得 2 x1x2=-20, x1x2=-10 (3) 由(1)、(3)知所求方程为 x2+3x-10=0. 6.由根的判别式知(-1)×p= 15 4   , p= 15  则 p3-2p2-4p=p(p-1)2-5p=0. 7. 依题意,3m+2=m, 得 m= -1, 代入方程 x2-3mx-2m-4=0,得 x2+3x-2=0, ∴p+q=-3, pq=-2, 于是 22 11 qp  = 22 22 qp qp  = 2 2 )( 2)( pq pqqp  = 2 2 )2( 4)3(   = 4 13 8. 设 x2+qx+p=0 的两个实数根分别为 x1,x2, 则方程 x 2 +px+q=0 的两个实数 根分别 x1-1,x2-1, 由于 x1+x2=-q, x1x2=p, (x1-1)+(x2-1)=-p, (x1-1)(x2-1)=q, ∴-q-2=-p, q= x1x2-( x1+x2)+1=p+q+1, 解得 p=-1,q=-3. ∴ p 1 + q 1 = 3 4  , p 1 × q 1 = 3 1 , 于是以 p 1 , q 1 为两根的一元二次方程为 x 2 + 3 4 x+ 3 1 =0, 即 3x2+4x+1=0. 9. = 4(a+1) 2 -4(3a 2 +4ab+4b 2 +2)= -4[(a+2b) 2 +(a-1) 2]≥0, ∴(a+2b)2+(a-1)2≤0, 只有 a+2b=0且 a-1=0, 解得 a=1, b=- 2 1 . 10. 依题意,x1+x2= -m 2 , x1x2=n, y1+y2= -5m, y1y2=7, 于是有 (x1+x2)-(y1+y2)= -m 2 +5m=2+2=4, 解得 m=1 或 m=4. 当 m=1 时,方程 y2+5my+7=0 无实数根,舍去; 当 m=4 时,方程 y2+5my+7=0 为 y2+20y+7=0,y1+y2= -20, y1y2=7, 有 n= x1x2=(2+y1)(2+y2)=4+2(y1+y2)+ y1y2= -29. ∴m=4, n=-29. 11. 依题意,x1 2 +5x1-19=0,则 x1 2 = -5x1+19, ∴x1 2 -5x2+7= -5x1+19 -5x2+7= -5(x1+x2)+26= -5(-5)+26=51. 选 B. 12. A. 13. 一个实数根或两个不等实数根. 14.   =3,  =1, 又 22   =p, 22 =q, 可得 p+q=8. 15. 设另两边长为 a, b, 则 5ba ,即有 54)( 2  abba ,把 a+b=6, ab= 2 1m 代入,得 5)1(236  m ,得 m 2 9  . 16. 设两根为  , ,则   = 2 3 , 2 15   m  ,依题意,0 ,1 0 1  . 首先=9-8(5m-1)≥0, 0 2 15    m  ,解得 5 1 m 且 40 17 m . 又 ,01 01 ,∴ 0)1)(1(   ,即 )1)(1(   = 1)(   = 2 15 m - 2 3 +1>0, 解得 m> 5 2 . ∴所求 m的取值范围是 40 17 5 2  m . 17. 由 3a2- 2a-4=0 得 03 24 2  aa ,即( a 2 ) 2 + a 2 -3=0 (1) 又 b2+b-3=0 (2) 由(1)、(2)可知 a 2 ,b 是方程 x2+x-3=0 的两根,于是 a 2 +b= -1, a 2 ×b= -3, ∴ 2 2 4 b a  =( b a  2 ) 2 -2( a 2 ×b)=1+6=7. 18. 由根与系数的关系得 p  , 1 , qnm  , 1mn . ∴左边=( 2222 1)(1(])(][)([ npnmpmnnmm   ), 又 012  qmm , 012  qnn , ∴ qmm 12 , qnn 12 . ∴左边=( ))( qnpnqmpm  =  22))(( pqqpqpmn 右边.
/
本文档为【03第2讲 韦达定理】,请使用软件OFFICE或WPS软件打开。作品中的文字与图均可以修改和编辑, 图片更改请在作品中右键图片并更换,文字修改请直接点击文字进行修改,也可以新增和删除文档中的内容。
[版权声明] 本站所有资料为用户分享产生,若发现您的权利被侵害,请联系客服邮件isharekefu@iask.cn,我们尽快处理。 本作品所展示的图片、画像、字体、音乐的版权可能需版权方额外授权,请谨慎使用。 网站提供的党政主题相关内容(国旗、国徽、党徽..)目的在于配合国家政策宣传,仅限个人学习分享使用,禁止用于任何广告和商用目的。

历史搜索

    清空历史搜索