第二讲 一元二次方程根的判别式、根与系数的关系
【知识技能要点讲解】
一元二次方程以及根的判别式、根与系数的关系,是中学
中最为重要
的基本性质,有极其广泛的应用.
1.根的判别式
一元二次方程 02 cbxax ( 0a ), 其根的判别式为 acb 42 ,则有
(1) 0 一元二次方程有两个不相等实数根, 2,1x =
a
b
2
;
(2) 0 一元二次方程有两个相等实数根, x1=x2=
a
b
2
;
(3) 0 一元二次方程没有实数根.
2. 根与系数的关系
一元二次方程 02 cbxax ( 0a ), 当 acb 42 ≥0时,两根为
a
acbb
x
a
acbb
x
2
4
,
2
4 2
2
2
1
于是有
,21
a
b
xx
a
c
xx 21 .
这就是“赫赫有名”的一元二次方程根与系数的关系,也有的书上称为韦达定理.
特别,当 a=1 时,方程 02 cbxx 的两根 x1, x2 满足 x1+x2= ____, x1x2=___.
反过来,若一元二次方程的两实根 x1, x2 满足 x1+x2= p, x1x2=q, 则这个一元二次
方程为____________.
由根与系数的关系还可得:当 acb 42 ≥0时,
若 0
a
c
两根同号(且 ,0
a
b
两根为负; ,0
a
b
两根为正);
若 0
a
c
两根异号.
【例题选讲】
例 1 若方程 06)4(2 2 xkxx 有两个不相等的实根,则 k 可取的最大整
数值是 ( )
(A) -1; (B)0; (C) 1; (D) 2.
解 方程化为 (2k-1)x2-8x+6=0, 由 0)12(2464 k 解得 k<
6
11
, 则k可
取的最大整数值是 1. 故选 C.
例 2 已知 cba ,, 是ABC 的三边长,且方程 xabxbc )(2)( 2
0)( ba 有两个相等的实数根,则这个三角形是 ( )
(A) 等腰三角形; (B) 等边三角形;
(C) 直角三角形; (D)不确定.
解 首先 b≠c, 又∵ 0))((4))((4)](2[ 2 cababaacab ,
∴a=b或 a=c,但 b≠c,故是等腰三角形,选 A.
点评 这里方程有两个相等的实数根,除 0 外,还要注意二次项系数 c-b
≠0, 这点是容易忽视的.
例3 已知方程 2x2+kx-2k+1=0的两实数根的平方和为
4
29
,则 k的值为
( )
(A) 3; (B) -11; (C) -3; (D) 3 或 -11.
解 设方程的两根为 x1, x2, 则 x1+x2=
2
k
, x1x2=
2
1
k .
由
4
29
12
4
1
2)( 221
2
21
2
2
2
1 kkxxxxxx ,
解得 k=3 或 k= -11.
又由 0)12(82 kk ,检验知 k=3满足此式,k=-11不满足此式,故只
有 k=3, 选 A.
点评 利用根与系数的关系求字母系数的值或取值范围时,切记不要忽略方
程有实根的条件,即 0 .
例 4 已知:关于 x 的方程 x2+bx+4b=0 有两个相等的实根,关于 y 的方程
y2+(2-b)y+4=0的两实根是 y1,y2.求以 1y , 2y 为两根的一元二次方程.
解 依题意,b2-16b=0, ∴b1=0,b2=16,
当 b=0时,关于 y的方程为 y2+2y+4=0,此方程 0 无实根,故 b=0舍去;
当 b=16时,关于 y的方程为 y2-14y+4=0,此方程 0 有两个正实根 y1,y2,
有 y1+y2=14, y1y2=4.
因为(
1y + 2y )
2= y1+y2+2 21yy =14+4=18, 所以 1y + 2y =3 2 ,
又
1y 2y =2,
因此以
1y , 2y 为两根的一元二次方程为 t
2-3 2 t+2=0.
点评 此题中容易忽视 b=0时关于 y的方程为 y2+2y+4=0无实根这一事实而
多求出一个一元二次方程.
例 5 已知 , 是方程(x-a)(x-b)-cx=0的两个实数根,求关于 x的方程
(x- )(y- )+cx=0的实数根.
解 将两个方程整理为
x2-(a+b+c)x+ab=0, (1)
x2-( -c)x+ =0, (2)
依题意, =a+b+c, =ab,
将它们代入方程(2),则方程(2)化为 x2-(a+b+)x+ab=0, (3)
方程(3)的两根为 x1=a, x2=b, 故方程(x- )(y- )+cx=0 的两实数根为
x1=a, x2=b.
例 6 已知关于 x的一元二次方程 0)2(
2
1
)3( 222 mxmx .
(1) 试证:无论 m取任何实数,此方程总有两个正根;
(2) 设 x1,x2是方程的两实根,且满足 x1
2+x2
2-x1x2=
2
17
, 求 m的值.
解 (1) 证明 ∵=(m2+3)2-4×
2
1
(m2+2)=m4+4m2+5>0, 且 x1+x2= m
2+3>0,
x1x2=
2
1
(m2+2)>0,
∴无论 m取任何实数,此方程总有两个正根.
(2) ∵x1
2+x2
2-x1x2=(x1+x2)
2-3 x1x2=(m
2+3)2-
2
3
(m2+2)= m4-
2
9
m2+6,
于是 m4-
2
9
m2+6=
2
17
,即 2m4+9m2-5=0,解得 m2=
2
1
或 m2=-5(舍去),
∴所求 m的值为 m=±
2
2
.
例 7 已知 p,q,m,n是实数,且 pq=2(m+n), 求证方程 x2+px+m=0和 x2+qx+n
=0中至少有一个方程有实数根.
若由条件 pq=2(m+n)去探讨 04,04 22 nqmp ,发现无
从下手,这样只有反过来考虑反证法.
证明 假设这两个方程均无实数根,则 04,04 22
2
1 nqmp ,
于是 021 .
又 pq=2(m+n), )(42221 nmqp = pqqp 2
22 = 0)( 2 qp ,
与 021 矛盾,故这两个方程中至少有一个方程有实数根
点评 象这种证明至少有„„,至多有„„,全部有„„的存在性问题,当
正面突破感觉困难时,反过来考虑用反证法,往往能使问题得以顺利解决.
【重难点剖析】
1. 利用条件关系构造一元二次方程,继而解决相关问题
(1) 在所给条件中,若已知两个实数 p,q 满足 p+q=m, pq=n,则可构造一元
二次方程 x2-mx+n=0(其两根为 p,q),继而解决相关问题.
(2) 在所给条件中,若有两个实数同时满足某一个二次等式,则这个二次等
式往往可看作是一个一元二次方程,其两根为所给的两实数.
例 8 设实数 a 是方程 19x2+99x+1=0 的一个根, 实数 b 是方程 x2+99x+19=0
的一个根,并且 ab≠1, 求
b
aab 14
的值.
分析 若用求根公式分别
示出根 a和根 b,不但求分式
b
aab 14
的值运
算繁杂,而且还要分根 a,b的情况进行讨论,显然这种思路不可取.
依题意,19a2+99a+1=0 (1), b2+99b+19=0 (2).
观察两方程的系数,且 a≠0, 方程(1)变形为 (
a
1
)2+99(
a
1
)+19=0 (3)
由(2),(3)可知 b,
a
1
是方程 x2+99x+19=0的两个根,于是
b +
a
1
=-99,
a
b
1
=19, 即 ,991 aab ab 19 ,
∴
b
aab 14
=
a
aa
19
499
=-5.
点评 本题中通过观察将两个条件式中的(1)进行变形,确定出 b,
a
1
是方
程 x2+99x+19=0 的两个根,得到 b,
a
1
的关系式使问题化简得解,这是某些已知
两个条件式求其他代数式的值常用的一种转化技能.
例 9 已知常数 a>0,x,y,z 均为实数,且满足 x+y+z=a, x2+y2+z2=
2
1
a2.求
x,y,z的取值范围.
解 已知 x+y+z=a, (1) x2+y2+z2=
2
1
a2, (2)
由(1)得 x+y=a-z, (3)
由(3)2-(2)得 2xy-z2=
2
1
a2-2az+z2, 即 xy=
4
1
a2-az+ z2, (4)
由(3)、(4)知 x,y可看作是关于 t的二次方程
t2-(a-z)t+(
4
1
a2-az+ z2)=0 (5)
的两实根,
于是=(a-z)2-4(
4
1
a2-az+ z2)=-3z2+2az≥0, 解得 0≤z≤ a
3
2
)0( a .
同理,可分别解得 0≤x≤ a
3
2
)0( a ,0≤y≤ a
3
2
)0( a .
点评 本题的解题关键在于通过条件式变形得到 x+y=a-z, xy=
4
1
a2-az+ z2,
继而构造出关于 t 的二次方程 t2-(a-z)t+(
4
1
a2-az+ z2)=0,此方程的两实根是
x,y,由=(a-z)2-4(
4
1
a2-az+ z2)≥0解得 z的范围.
2. 有关二次方程的参变量范围问题
有关求二次方程的参变量范围的问题,通常考虑运用根的判别式、根的表达
式、根与系数的关系列出不等式,然后求出相关范围,有时也需要依据条件先构
造二次方程,继而使问题得解,如上面例 9.
例10 方程 x2-11x+a+30=0 有两个都大于 5 的实数根,求实数 a 的取值范围.
解 首先=(-11)2- 4(a+30)=1-4a≥0, 解得 a≤
4
1
.
其次,两根 x1, 2= 5
2
4111
a
, ∴ 5
2
4111
a
,即 141 a ,
解得 a>0,
∴所求 a的范围是 0<a≤
4
1
.
例 11 已知实数 a,b满足 a2+ab+b2=1, 求 a2-ab+b2的取值范围.
分析 若考虑运用以后会学习的不等式 a2+b2≥2ab, 由 a2+ab+b2=1可得
3ab≤1,ab≤
3
1
. 于是 a2-ab+b2=1-2ab≥1-
3
2
=
3
1
; 同理,由 a2+b2≥-2ab 可以
得到 a2-ab+b2=1-2ab≤3. 这种解法要运用到以后会学习的不等式,况且 a2+b2≥
-2ab这种情况还容易忽视,因此现阶段并不可取.
从那里突破呢?记 a2-ab+b2=m, 这样由 a2+ab+b2=1 和 a2-ab+b2=m 可得到
ab= ,
2
1 m
a2+b2=
2
1 m
, (a+b)2= a2+b2+2ab=
2
3 m
, 由 a+b 与 ab 便可构造系数
含 m的一元二次方程.
解 记 a2-ab+b2=m,由 a2+ab+b2=1 和 a2-ab+b2=m 可得到 ab= ,
2
1 m
(1)
a2+b2=
2
1 m
, (a+b)2= a2+b2+2ab=
2
3 m
,须有 3-m≥0, 即 m≤3, 这时 a+b=±
2
3 m
(2)
由(1)、(2)可知,a,b是二次方程 t2±
2
3 m
t+ 0
2
1
m
的两实根,于是
=(±
2
3 m
)2-4(
2
1 m
)=
2
13 m
≥0, 得 m
3
1
.
∴ 3
3
1
m ,即 3
3
1 22 baba .
点评 解法中记 a2-ab+b2=m,相当于增加了一个条件等式,使写出 ab,a+b
的表达式,构造二次方程 t2±
2
3 m
t+ 0
2
1
m
成为可能.
【双基巩固】
1. 若方程 x2-2x-(m-1)=0 有两个不相等实数根,则 m 的取值范围为 ( )
(A) (1,+∞); (B)( 0,+∞); (C) (-∞,0); (D) (-∞,2).
2. 若方程 x2-(a-3)x-3a-b2=0 有两个相等实数根,则方程 x2+ax+b=0 的两根为
( )
(A) 0, 3; (B)0,-3; (C) 1,4; (D) 1, -4.
3. 关于 x 的方程(x-a)(x-b)=1 的根的情况是 ( )
(A) 没有实数根; (B)有两个相等实数根;
(C) 有两个不相等实数根; (D) 有两个正实数根.
4. 若方程 x2-3mx-m+1=0 的两根之和与两根之积的和等于 5,则 m 的值为
_____.
5. 已知一元二次方程两实根的和是-3,两实根平方和是 29,求这个方程.
6. 已知方程( 04)55()15 2 xx 的一个根为 -1, 设另一个根为 p,求
p
3
-2p
2
-4p 的值.
7. 已知方程 x2-(3m+2)x+m=0 的两根之和等于其两根之积,且方程 x2-3mx
-2m-4=0 的两根为 p,q, 求
22
11
qp
的值.
8. 已知方程 x2+px+q=0 的两个实数根分别比方程 x2+qx+p=0 的两实数根小
1,求以
p
1
,
q
1
为两根的一元二次方程.
9. 若关于 x 的方程 x2+2(a+1)x+3a2+4ab+4b2+2=0 有实数根,试求 a, b 的值.
10. 已知 x1, x2 是方程 x
2
+m
2
x+n=0 的两个实数根,y1, y2 是方程 y
2
+5my+7=0
的两个实数根,且 x1-y1=2, x2-y2=2, 求 m,n 的值.
【能力提升】
11. 设 x1,x2 是二次方程 x
2
+5x-19=0 的两根,则 x1
2
-5x2+7 的值为 ( )
(A) 1; (B) 51; (C)61; (D) -11.
12. 已知关于 x 的方程 12x2-30x+k=0 两实数的立方和是这两实数根的平方
和的 3 倍,则 k 的值为 ( )
(A) -25; (B) -15; (C) 15; (D) 25.
13. 如果关于 x 的方程 mx2-2(m+2)x+m+5=0 没有实数根,那么关于 x 的方
程(m-5)x2-2(m+2)x+m=0 的实数根的个数为_______.
14. 若方程 x2-3x+1=0 的两根 , 也是方程 x4-px2+q=0 的两根,则 p+q=____.
15. 已知ABC的一边长为 5,另外两边长恰是方程 2x2-12x+m+1=0的两根,
求实数 m 的取值范围.
16. 若关于 x 的方程 2x2-3x+5m-1=0 的两个根都是小于 1 的正数,求实数 m
的取值范围.
17. 已知实数 a,b 分别满足 3a2- 2a-4=0 和 b2+b-3=0, 求 2
2
4
b
a
的值.
18. 已知关于x的方程 012 pxx 的两根为 , , 方程 012 qxx 的两
根为 nm, ,证明: 22))()()(( pqnnmm .
第二讲解答
1. B. 2. A. 由=(a-3)2+4(3a+b2)=a2+6a+4b2+9=(a+3)2+4b2=0, 得 a= -3,
b=0. ∴方程 x2+ax+b=0 的两根为 0,3.
3. 方程为 x2-(a+b)+ab-1=0, )1(4)( 2 abba =(a-b)2+4>0, 故选 C.
4. 依题意,3m+(-m+1)=5, ∴m=2.
5. 设方程的两根为 x1,x2, 依题意,x1+x2=-3 (1),x1
2
+x2
2
=29 (2),
由(1)2-(2)得 2 x1x2=-20, x1x2=-10 (3)
由(1)、(3)知所求方程为 x2+3x-10=0.
6.由根的判别式知(-1)×p=
15
4
, p= 15
则 p3-2p2-4p=p(p-1)2-5p=0.
7. 依题意,3m+2=m, 得 m= -1, 代入方程 x2-3mx-2m-4=0,得 x2+3x-2=0,
∴p+q=-3, pq=-2, 于是
22
11
qp
=
22
22
qp
qp
=
2
2
)(
2)(
pq
pqqp
=
2
2
)2(
4)3(
=
4
13
8. 设 x2+qx+p=0 的两个实数根分别为 x1,x2, 则方程 x
2
+px+q=0 的两个实数
根分别 x1-1,x2-1,
由于 x1+x2=-q, x1x2=p, (x1-1)+(x2-1)=-p, (x1-1)(x2-1)=q,
∴-q-2=-p, q= x1x2-( x1+x2)+1=p+q+1,
解得 p=-1,q=-3.
∴
p
1
+
q
1
=
3
4
,
p
1
×
q
1
=
3
1
, 于是以
p
1
,
q
1
为两根的一元二次方程为
x
2
+
3
4
x+
3
1
=0, 即 3x2+4x+1=0.
9. = 4(a+1)
2
-4(3a
2
+4ab+4b
2
+2)= -4[(a+2b)
2
+(a-1)
2]≥0,
∴(a+2b)2+(a-1)2≤0, 只有 a+2b=0且 a-1=0, 解得 a=1, b=-
2
1
.
10. 依题意,x1+x2= -m
2
, x1x2=n, y1+y2= -5m, y1y2=7,
于是有 (x1+x2)-(y1+y2)= -m
2
+5m=2+2=4, 解得 m=1 或 m=4.
当 m=1 时,方程 y2+5my+7=0 无实数根,舍去;
当 m=4 时,方程 y2+5my+7=0 为 y2+20y+7=0,y1+y2= -20, y1y2=7,
有 n= x1x2=(2+y1)(2+y2)=4+2(y1+y2)+ y1y2= -29.
∴m=4, n=-29.
11. 依题意,x1
2
+5x1-19=0,则 x1
2
= -5x1+19,
∴x1
2
-5x2+7= -5x1+19 -5x2+7= -5(x1+x2)+26= -5(-5)+26=51. 选 B.
12. A. 13. 一个实数根或两个不等实数根.
14. =3, =1, 又 22 =p, 22 =q, 可得 p+q=8.
15. 设另两边长为 a, b, 则 5ba ,即有 54)( 2 abba ,把 a+b=6,
ab=
2
1m
代入,得 5)1(236 m ,得 m
2
9
.
16. 设两根为 , ,则 =
2
3
,
2
15
m
,依题意,0 ,1 0 1 .
首先=9-8(5m-1)≥0, 0
2
15
m
,解得
5
1
m 且
40
17
m .
又 ,01 01 ,∴ 0)1)(1( ,即 )1)(1( = 1)(
=
2
15 m
-
2
3
+1>0, 解得 m>
5
2
.
∴所求 m的取值范围是
40
17
5
2
m .
17. 由 3a2- 2a-4=0 得 03
24
2
aa
,即(
a
2
)
2
+
a
2
-3=0 (1)
又 b2+b-3=0 (2)
由(1)、(2)可知
a
2
,b 是方程 x2+x-3=0 的两根,于是
a
2
+b= -1,
a
2
×b= -3,
∴ 2
2
4
b
a
=( b
a
2
)
2
-2(
a
2
×b)=1+6=7.
18. 由根与系数的关系得 p , 1 , qnm , 1mn .
∴左边=( 2222 1)(1(])(][)([ npnmpmnnmm ),
又 012 qmm , 012 qnn , ∴ qmm 12 , qnn 12 .
∴左边=( ))( qnpnqmpm = 22))(( pqqpqpmn 右边.