长沙市一中教案_高二理科数学《2.3数学归纳法(一)》

2.3数学归纳法（1） 教学目标 1． 使学生了解归纳法, 理解数学归纳的原理与实质． 2． 掌握数学归纳法证题的两个步骤；会用“数学归纳法”证明简单的与自然数有关的命题． 3． 培养学生观察, 分析, 论证的能力, 进一步发展学生的抽象思维能力和创新能力，让学生经历知识的构建过程, 体会类比的数学思想． 4． 努力创设课堂愉悦情境，使学生处于积极思考、大胆质疑氛围，提高学生学习的兴趣和课堂效率． 5． 通过对例题的探究，体会研究数学问题的一种方法(先猜想后证明), 激发学生的学习热情，使学生初步形成做数学的意识和科学精神． 教学重点 归纳法意义的认识和数学归纳法产生过程的分析 教学难点 数学归纳法中递推思想的理解 教学过程 一．创设问题情境，启动学生思维 (1) 不完全归纳法引例： 明朝刘元卿编的《应谐录》中有一个笑话：财主的儿子学写字．这则笑话中财主的儿子得出“四就是四横、五就是五横……”的结论，用的就是“归纳法”，不过，这个归纳推出的结论显然是错误的． (2) 完全归纳法对比引例： 有一位师傅想考考他的两个徒弟，看谁更聪明一些．他给每人一筐花生去剥皮，看看每一粒花生仁是不是都有粉衣包着，看谁先给出．大徒弟费了很大劲将花生全部剥完了；二徒弟只拣了几个饱满的，几个干瘪的，几个熟好的，几个没熟的，几个三仁的，几个一仁、两仁的，总共不过一把花生．显然，二徒弟先给出答案，他比大徒弟聪明． 在生活和生产实际中，归纳法也有广泛应用．例如气象工作者、水文工作者依据积累的历史资料作气象预测，水文预报，用的就是归纳法．这些归纳法却不能用完全归纳法． 二．回顾数学旧知，追溯归纳意识 (1) 不完全归纳法实例： 给出等差数列前四项, 写出该数列的通项公式． (2) 完全归纳法实例： 证明圆周角定理分圆心在圆周角内部、外部及一边上三种情况． 三．借助数学史料, 促使学生思辨 在数学中运用不完全归纳法常常会得到错误的结论，不管是我们还是数学大家都可能如此．那么，有没有更好的归纳法呢？ 问题1 已知 ＝ （n∈N）， (1)分别求 ； ； ； ． (2)由此你能得到一个什么结论？这个结论正确吗？ 问题2 费马（Fermat）是17世纪法国著名的数学家，他曾认为，当n∈N时， 一定都是质数，这是他对n＝0，1，2，3，4作了验证后得到的．后来，18世纪伟大的瑞士科学家欧拉（Euler）却证明了 ＝4 294 967 297＝6 700 417×641，从而否定了费马的推测．没想到当n＝5这一结论便不成立． 问题3 , 当n∈N时， 是否都为质数？ 验证： f（0）＝41，f（1）＝43，f（2）＝47，f（3）＝53，f（4）＝61，f（5）＝71，f（6）＝83，f（7）＝97，f（8）＝113，f（9）＝131，f（10）＝151，…，f（39）＝1 601．但是f（40）＝1 681＝ ，是合数． 四．搜索生活实例，激发学习兴趣 实例：播放多米诺骨牌录像 关键：(1) 第一张牌被推倒； (2) 假如某一张牌倒下, 则它的后一张牌必定倒下． 于是, 我们可以下结论： 多米诺骨牌会全部倒下． 搜索：再举几则生活事例：推倒自行车, 早操排队对齐等． 五．类比数学问题, 激起思维浪花 类比多米诺骨牌过程, 证明等差数列通项公式 ： (1) 当n＝1时等式成立； (2) 假设当n＝k时等式成立, 即 , 则 = , 即n＝k＋1时等式也成立． 于是, 我们可以下结论： 等差数列的通项公式 对任何n∈ 都成立． 六．引导学生概括, 形成科学方法 证明一个与正整数有关的命题关键步骤如下： (1) 证明当n取第一个值 时结论正确； (2) 假设当n＝k (k∈ ，k≥ ) 时结论正确, 证明当n＝k＋1时结论也正确． 完成这两个步骤后, 就可以断定命题对从 开始的所有正整数n都正确． 这种证明方法叫做数学归纳法． 七．蕴含猜想证明, 培养研究意识 例题 在数列{ }中, ＝1, (n∈ ), 先计算 ， ， 的值，再推测通项 的公式, 最后证明你的结论． 八．基础反馈练习, 巩固方法应用 (1)用数学归纳法证明：1＋3＋5＋…＋（2n－1）＝ ． (2)首项是 ，公比是q的等比数列的通项公式是 ． 九．师生共同小结, 完成概括提升 (1) 本节课的中心内容是归纳法和数学归纳法； (2) 归纳法是一种由特殊到一般的推理方法，它可以分为完全归纳法和不完全归纳法两种，完全归纳法只局限于有限个元素，而不完全归纳法得出的结论不一定具有可靠性，数学归纳法属于完全归纳法； (3) 数学归纳法作为一种证明方法，其基本思想是递推(递归)思想，使用要点可概括为：两个步骤一结论，递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉； (4) 本节课所涉及到的数学思想方法有：递推思想、类比思想、分类思想、归纳思想、辩证唯物主义思想． 十．布置课后作业, 巩固延伸铺垫 习案与学案 _1234567897.unknown _1234567905.unknown _1234567909.unknown _1234567913.unknown _1234567917.unknown _1234567919.unknown _1234567920.unknown _1234567921.unknown _1234567918.unknown _1234567915.unknown _1234567916.unknown _1234567914.unknown _1234567911.unknown _1234567912.unknown _1234567910.unknown _1234567907.unknown _1234567908.unknown _1234567906.unknown _1234567901.unknown _1234567903.unknown _1234567904.unknown _1234567902.unknown _1234567899.unknown _1234567900.unknown _1234567898.unknown _1234567893.unknown _1234567895.unknown _1234567896.unknown _1234567894.unknown _1234567891.unknown _1234567892.unknown _1234567890.unknown