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数列 一、选择填空题 1.（江苏2004年4分）设数列{an}的前n项和为Sn，Sn= (对于所有n≥1)，且 4=54，则 1的数值是 ▲  . 【答案】2。 【考点】数列的求和。 【分析】根据 4=S4－S3列式求解即可： ∵Sn= ， 4=54，且 4=S4－S3， ∴ ，解得 。 2.（江苏2005年5分）在各项都为正数的等比数列 中，首项 ，前三项和为21，则 =【  】 A．33              B．72              C．84              D．189 【答案】C。 【考点】等比数列的性质。 【分析】根据等比数列 中，首项 ，前三项和为21，可求得 ，根据等比数列的通项公式，分别求得 ， 和 代入 ，即可得到答案： ∵在各项都为正数的等比数列 中，首项 ，前三项和为21，∴3+3 +3 2=21。∴ =2。 ∴ 。∴ 。故选C。 3.（江苏2006年5分）对正整数n，设曲线 在 ＝2处的切线与 轴交点的纵坐标为 ，则数列 的前 项和的公式是　▲　 【答案】 。 【考点】应用导数求曲线切线的斜率，数列通项公式以及等比数列的前 项和的公式。 【分析】∵ ，∴ 。 ∴曲线 在 ＝2处的切线的斜率为 ，切点为（2， ）。 ∴所以切线方程为 。 把 ， 代入，得 。∴ 。 ∴数列 的前 项和为 。 4.（江苏2008年5分）将全体正整数排成一个三角形数阵： 1 2　3 4　5　6 7　8　9　10 11　12　13　14　15 ……………… 按照以上排列的规律，第 行（ ）从左向右的第3个数为  ▲  【答案】 。 【考点】归纳推理，等比数列的前 项和。 【分析】前n－1 行共有正整数1＋2＋…＋（ －1）个，即 个， ∴第n 行第3 个数是全体正整数中第 ＋3个，即为 。 6.（江苏2009年5分）设 是公比为 的等比数列， ，令 ，若数列 有连续四项在集合 中，则 =    ▲    . 【答案】 。 【考点】等比数列的性质，数列的应用，等价转化能力和分析问题的能力。 【分析】∵ ，数列 有连续四项在集合 中， ∴ 有连续四项在集合 中。 ∴按绝对值的顺序排列上述数值，相邻相邻两项相除发现－24，36，－54，81成等比数列，是 中连续的四项，比为 。 ∴ 。 7.（江苏2010年5分）函数 的图像在点( )处的切线与 轴交点的横坐标为 ， 为正整数， ，则   ▲  【答案】21。 【考点】抛物线的性质, 函数的切线方程,数列的通项。 【分析】求出函数 在点( )处的切线方程，然后令 =0代入求出 的值，再结合 得到数列的通项公式，再得到 的值：    ∵函数 在点( )处的切线方程为： ，当 时，解得 。 ∴ 。∴ 。 8.（江苏2011年5分）设 ，其中 成公比为q的等比数列， 成公差为1的等差数列，则q的最小值是  ▲  【答案】 。 【考点】等差数列、等比数列的意义和性质，不等式的性质。 【分析】由题意得， ∴要求 的最小值，只要求 的最小值，而 的最小值为1， ∴ 。∴ 。 9、（2012江苏卷6） 现有10个数，它们能构成一个以1为首项， 为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是      ． 【解析】组成满足条件的数列为： 从中随机取出一个数共有取法 种，其中小于 的取法共有 种，因此取出的这个数小于 的概率为 . 【点评】本题主要考查古典概型.在利用古典概型解决问题时，关键弄清基本事件数和基本事件总数，本题要注意审题，“一次随机取两个数”，意味着这两个数不能重复，这一点要特别注意. 10、（2013江苏卷14）14．在正项等比数列 中， ， ，则满足 的最大正整数 的值为            。 答案： 14．12 二、解答题 1.（江苏2004年12分）设无穷等差数列{an}的前n项和为Sn. (Ⅰ)若首项 ，公差 ，求满足 的正整数k； (Ⅱ)求所有的无穷等差数列{an}，使得对于一切正整数 都有 成立. 【答案】解：（I）当 时， 由 ，即 。          又 。 （II）设数列{an}的公差为d，则在 中分别取 =1，2,得 。 解得 。 若 成立； 若 故所得数列不符合题意。 若 ； 若 。 综上，共有3个满足条件的无穷等差数列： ①{an} : an=0，即0，0，0，…； ②{an} : an=1，即1，1，1，…； ③{an} : an=2n－1，即1，3，5，…。 【考点】等差数列的通项公式，等差数列的性质。 【分析】（I）利用等差数列的求和公式示出前n项的和，代入到 求得 。 （Ⅱ）设数列{an}的公差为d，在 Sn2=(Sn)2中分别取 =1，2求得 ，代入到前n项的和中分别求得d，进而对 和d进行验证，最后综合求得答案。 2.（江苏2005年14分）设数列 的前 项和为 ，已知 ，且 ，其中A.B为常数 ⑴求A与B的值；（2分） ⑵证明：数列 为等差数列；（6分） ⑶证明：不等式 对任何正整数 都成立（6分） 【答案】解：（1）由已知，得 ， ， ， 由 ，知 ，即 ，解得 。 （2）由（1）得       ① ∴           ② ②－①得，     ③ ∴   ④ ④－③得  。 ∵ ，∴ 。 ∵ ，∴ 。∴ ， 。 又∵ ，∴数列 为等差数列。 （3）由（2） 可知， ， 要证 ，只要证 。 因为 ， ， 故只要证 ， 即只要证 。 因为 ， 由于以上过程是可逆的，所以命题得证。 【考点】数列的应用。 【分析】（1）由题意知 ，从而解得A=－20，B=－8。 （2）由（Ⅰ）得 ，所以在式中令 ，可得 ． 由此入手能够推出数列{an}为等差数列。 （3）由（2）可知， ，然后用分析法可以使命题得证。 3.（江苏2006年14分）　设数列 、 、 满足： ， （n=1,2,3,…）， 证明 为等差数列的充分必要条件是 为等差数列且 （ =1,2,3,…） 【答案】证明：必要性：设 是公差为 的等差数列，则 。 ∴ （ =1,2,3,…）成立。 又 (常数)（ =1,2,3,…） ∴数列 为等差数列。 充分性： 设数列 是公差为 的等差数列，且 （ =1,2,3,…）， ∵ ①，∴ ②， ∴①－②得 。 又∵ ， ∴ ③。 从而有 ④。 ∴④－③得 ⑤。 ∵ ，即 , ， ， ∴由⑤得 （ =1,2,3,…）。 由此不妨设 （ =1,2,3,…）则 (常数)。 由此 ⑥， 从而 ⑦。 ∴⑦－⑥得 。 ∴ (常数 =1,2,3,…)。 所以数列 是等差数列。 【考点】等差数列的性质，必要条件、充分条件与充要条件的判断。 【分析】本题主要考查等差数列、充要条件等基础知识，考查综合运用数学知识分析问题、解决问题的能力，理解公差 的涵义，能把文字叙述转化为符号关系式．利用递推关系是解决数列的重要方法，，熟练掌握等差数列的定义、通项公式及其由来。 5.（江苏2007年16分）已知 是等差数列， 是公比为 的等比数列， ，记 为数列 的前 项和， （1）若 是大于 的正整数 ，求证： ；（4分） （2）若 是某一正整数 ，求证： 是整数，且数列 中每一项都是数列 中的项；（8分） （3）是否存在这样的正数 ，使等比数列 中有三项成等差数列？若存在，写出一个 的值，并加以；若不存在，请说明理由；（4分） 【答案】解：设 的公差为 ，由 ，知 ， （ ） （1）证：∵ ， ∴ ， 。 ∴ 。 （2）证：∵ ，且 ， ∴ 解得， 或 ，但 ，∴ 。 ∵ 是正整数，∴ 是整数，即 是整数。 设数列 中任意一项为 ， 设数列 中的某一项 = ， 现在只要证明存在正整数 ，使得 ，即在方程 中 有正整数解即可。 ∵ ， ∴ 。 若 ，则 ，那么 。 当 时，∵ ，只要考虑 的情况， ∵ ，∴ ，∴ 是正整数。∴ 是正整数。 ∴数列 中任意一项为 与数列 的第 项相等，从而结论成立。 （3）设数列 中有三项 成等差数列，则有 2 。 设 ，则2 。 令 ，则 。 ∵ ，∴ ，解得 。 即存在 使得 中有三项 成等差数列。 【考点】数列的求和，等差数列的性质，等比数列的性质 【分析】（1）设 的公差为 ，由 ，把 代入 ，即可表示出 ，题设得证。 （2）利用 ，可得 ，整理即可求得 ，从而可判定 是整数，即 是整数。设数列 中任意一项为 ，设数列 中的某一项 = ，只要证明存在正整数 ，使得 ，即在方程 中 有正整数解即可。 （3）设数列 中有三项 成等差数列，利用等差中项的性质建立等式，设 ，从而可得以2 ，令 ，求得 。 6.（江苏2008年16分）（1）设 是各项均不为零的 （ ）项等差数列，且公差 ，若将此数列删去某一项后得到的数列（按原来的顺序）是等比数列． （i）当 时，求 的数值； （ii）求 的所有可能值． （2）求证：对于给定的正整数 ( )，存在一个各项及公差均不为零的等差数列 ，其中任意三项（按原来的顺序）都不能组成等比数列． 【答案】解：（1）（i）当n=4时, 中不可能删去首项或末项，否则等差数列中连续三项成等比数列，则推出d=0。 若删去 ，则 ，即 化简得 ，得 。 若删去 ，则 ，即 化简得 ，得 。 综上，得 或 。 （ii）当n=5时, 中同样不可能删去 ，否则出现连续三项。 若删去 ，则 ，即 化简得 ，因为 ，所以 不能删去； 当n≥6时，不存在这样的等差数列。事实上，在数列 中，由于不能删去首项或末项，若删去 ，则必有 ，这与 矛盾；同样若删去 也有 ，这与 矛盾；若删去 中任意一个，则必有 ，这与 矛盾。(或者说：当n≥6时，无论删去哪一项，剩余的项中必有连续的三项)。 综上所述， 。 （2）假设对于某个正整数 ，存在一个公差为d的 项等差数列 ， 其中 （ ）为任意三项成等比数列， 则 ，即 ，化简得   （*） 由 知， 与 同时为0或同时不为0。 当 与 同时为0时，有 与题设矛盾； 故 与 同时不为0，所以由（*）得 。 ∵ ，且x、y、z为整数，∴上式右边为有理数，从而 为有理数。 ∴对于任意的正整数 ，只要 为无理数，相应的数列就是满足题意要求的数列。例如 项数列1， ， ，……， 满足要求。 【考点】等差数列的性质，等比关系的确定，等比数列的性质 【分析】（1）根据题意，对 =4， =5时数列中各项的情况逐一讨论，利用反证法结合等差数列的性质进行论证，从而推广到 ≥4的所有情况． （2）利用反证法结合等差数列的性质进行论证即可。 7.（江苏2009年14分）学设 是公差不为零的等差数列， 为其前 项和，满足 。（1）求数列 的通项公式及前 项和 ； （2）试求所有的正整数 ，使得 为数列 中的项。 【答案】解：（1）设公差为 ，则 ，由性质得 。 ∵ ，∴ ，即 。 又由 得 ，解得 ， 。 ∴数列 的通项公式为 ；前 项和 。 （2）∵ 为数列 中的项， ∴ 为整数，且 为正整数，∴ 。 经检验，符合题意的正整数只有 。 【考点】数列的求和，等差数列的性质。