B-S模型

第七讲 Black-Scholes期权定价模型 1970年代初，衍生产品在交易所交易和学术领域同时发生了革命性的事件。尽管在此之前一直存在着柜台交易，1973年芝加哥期权交易所（CBOE）的成立依然标志着当代期权等衍生金融工具正式登上金融市场的舞台；尽管有Bachelier、Samuelson等先驱在期权定价理方面做出了卓越的工作，Black and Scholes (1973) 和Merton (1973) 这两篇关于期权定价理论的论文，标志着对期权定价理论的真正突破。从此。这一领域出现了井喷式地成长。Black-Scholes期权定价模型之所以引起如此深刻的反响，在于他们的属于“一般均衡”模型 类型的定价公式中，包含的都是（除了一个波动率以外）可直接观察的变量。这样，该模型的精确程度就可以通过已有的市场数据进行检验。当被证明它有解释经验数据的能力之后，期权定价理论也就不仅仅是金融理论中成功的理论，而且也成为所有经济学领域中成功的理论。 现在我们来考虑在某股票上签出了一张欧式看涨期权的投资者的处境。这只股票有可能不停地上涨得比行权价格高很多，这时这位投资者面临暴露在外的没有限度的风险。为了保护他的这一期权空头头寸带来的风险，他可以考虑买入适量的在下股票。在期权空头受损时就得到了股票多头获益的弥补。这就是他采用了套保的方法。用期权和它的在下股票相结合的套保头寸起到了如下双重作用，期权头寸保护了在下股票头寸，同时，在下股票头寸也保护了期权头寸。这种控制金融风险的策略在金融市场的投资者中是很常见的，俗称两头下注。通过连续调整投资组合中股票和期权的比例，Black和Scholes证明投资者可以做一个消除了所有暴露的风险的无风险套保投资组合。在一个不存在套利机会的有效市场上，任何具有零市场风险的投资组合的期望回报率都必须等于无风险利率。Black-Scholes公式就表达了在期权的期望回报、股票的期望回报和无风险利率之间的均衡关系。 7.1 无风险套保原理 之所以能建立一个无风险投资组合，是因为股票价格和期权价格都受到同一个在下不确定源——股票价格运动——的影响。在任意短的时段内，一个看涨期权的价格完全正相关于在下股票的价格，一个看跌期权的价格则完全负相关于在下股票的价格。在这两种情况下，当适当的股票和期权的投资组合建立时，从股票头寸方得到的收益或损失总可以由从期权头寸方得到的损失或收益来弥补，使得该投资组合的总价值在这一时段的期末成为确定的。 例如，假定在一特定的小时段上，股票价格的一个变化为S，相应的一个欧式看涨期权的价格的变化是c，二者的关系为 c = 0.4S 这意味着在如图7.1所示的c-S坐标图上，这一点的斜率是0.4。那么这时无风险投资组合应该这样组成： （1）做多0.4股普通股； （2）签出一份欧式看涨期权。 （见Hull书Figure 13.2，p.290） 必须注意的是，在这样一个Black-Scholes式的投资组合中，无风险只能保持一个非常短的时间（理论上，只是在无穷短或瞬时，保持其为无风险的）。为了保持该Black-Scholes投资组合是无风险的，必然要求频频调整该投资组合，或者叫再平衡（rebalanced）该投资组合。例如，和S之间的关系由一周前的c = 0.4S变为今天的c = 0.5S。这就意味着对Black-Scholes投资组合不再是针对卖出一份看涨期权拥有0.4股普通股，而是必须持有0.5股普通股了。然而在一个非常短的时段内，无风险投资组合必然获得以无风险利率计算得到的回报率。这也是Black和Scholes在研究期权定价问时能取得突破的关键性新思想。 建立这样一种套保投资组合的想法，在Thorp and Kassouf (1967) 中就有，Black和Scholes是受了他们的启发的。他们通过对实际的认股权证的价格进行拟合曲线的办法，得到了为认股权证定价的经验公式，然后他们又用这一公式去计算套保率。但是他们并没有进一步想到在一定条件下这将构成无风险套保组合而赚取无风险利率。他们已经接近了突破点。 首先，我们把Black-Scholes期权定价模型所基于的前提性假设罗列如下。以下的假定基本上来源于Black and Scholes (1973)。他们对金融市场做出了以下假定： 1. 资产的交易在时间上是连续发生的； 无风险利率r是已知的和对所有到期日都是相同的常数； 在衍生证券的生命期内在下资产不派发股利； 买卖资产和期权都不存在交易成本，没有税收； 资产是完全可分的； 不限制卖空并允许完全使用卖空所得进款； 不存在无风险的套利机会。 资产价格S随时间t的演进假定是遵循几何布朗运动 = dt + dZ (1) 或者 dS = Sdt + SdZ (1a) 这里是期望回报率，是波动率，而dZ是Wiener过程。和都假定为常数。考虑一个卖空一单位欧式看涨期权和买入单位在下资产的投资组合，该投资组合的价值由下式给出：  = – c + S (2) 这里c = c(S, t)表示看涨期权的价格，它是在下资产价值和时间的函数。注意这里S表示的是乘以S而不是S的一个小的变化量。因为c和都是随机变量，应用Itô引理来计算它们的随机微分如下： (3a) 和 d = – dc + dS (3b) 要注意的是Sd并不出现在d中，因为这里d是由投资组合中所有证券的价值变动引起的投资组合的价值的变动（参见本章的方程(30)和注5）。从方程(3b)中我们可以看出，投资组合的随机变化的部分都集中于最后一项 中。如果我们选择= ，投资组合就成为无风险的套保组合（注意 随时间是连续变化的）。均衡时，该套保组合必须赢得无风险利率，用数学表示就是 d = rdt 由方程(3b)，我们得到 d = dt = rdt = r dt (4a) 重新整理一下，我们得到 – rc = 0 (4b) 方程(4b)，就是著名的Black-Scholes方程，它是在Black and Scholes (1973)中首次给出的。有意思的是，在下资产的期望回报率没有出现在Black-Scholes方程中。我们在令= 以消除方程(3b)中的随机项时，碰巧也消除了在确定性项中的带有的项。 要想完全解出Black-Scholes方程，我们还需要有边界条件和初始条件，如下是欧式看涨期权的满期回收： c(S, T) = max(S – K, 0) (5) 这里是期满的时刻，K是行权价格。因为在方程及其辅助条件中都不包含，所以我们可以得出结论说，投资者的风险偏好不影响期权的价格。这为运用风险中性定价法来解方程创造了条件。更重要的是，它为Black-Scholes能够在期权定价理论上取得突破扫除了外在的障碍。虽然方程还未解出来，但我们已经清楚，该期权定价模型涉及五个参数：S、K、 (= T – t)、r和，除了波动率以外，其它参数都是可观察变量。 欧式看跌期权的控制方程可以用相似的方法推导出来并且得到的是相同的Black-Scholes方程。这样令V表示状态依存于S的衍生证券的价格，它既可以表示看涨期权，也可以表示看跌期权，甚至可以表示更一般的衍生产品所满足的价值方程。可以证明有以下关于V的控制方程： – rV = 0 (6) 给方程(6)加上与某衍生证券相对应的适当的辅助条件再解方程(6)，就可以得出该特定衍生证券的价格。 说明 读者肯定记得，我们之所以能够构造出完全的套保投资组合，依赖于假定可以进行连续交易以及资产价格的每一条样本轨迹都是连续的。在Black-Scholes期权定价模型中使用的这些假定在以后的扩展模型中都会加以重新审视。例如，资产价格变动的几何布朗运动假定可能并非反映了实际价格过程的真相。又比如，利率被广泛认为是随时间无规则波动的而非我们所假定的是常数和决定的。再有，Black-Scholes定价模型假定随时间连续套保，即要连续改变头寸比例，现实中这将引致极大的交易成本。然而，在金融实务中，Black-Scholes模型依然被视为最基本的衍生产品定价模型，而各式各样对这一基本模型的修正就是针对以上这些理想化假定的。对Black-Scholes模型的扩展构成了当代期权定价理论的一个基本方面。 7.2 风险中性论证法 在上一节Black-Scholes方程的推导过程中，反映了期权定价模型中Black、Merton和Scholes的原创性思想。接下来我们用一种不同的方法来推导期权定价模型的Black-Scholes方程。上一节中对金融市场所作的七条假定不变。风险中性论证法，首先是由Cox and Ross (1976)提出的。所谓风险中性论证方法或风险中性定价法，是因为在Black-Scholes微分方程（方程(4b)）中不涉及任何受投资者的风险偏好所影响的变量。方程中出现的在下资产的价格、时间、资产价格的波动率和无风险利率等都是独立于个人的风险偏好的。如果在Black-Scholes微分方程中涉及资产的期望回报率，那么该方程就将不独立于个人的风险偏好了。因为是与投资者的风险态度有关的。个人对风险的厌恶度越高，对任何给定的资产就要求有更高的值。幸运的是，在Black-Scholes微分方程的推导过程中恰巧消掉了资产价格的瞬时期望成长率。 我们假定期权价格的随机过程可写成如下形式： = cdt + cdZ (7) 这里c和c分别是c的期望回报率和波动率。由方程(3a)我们有 (8) 比较方程(7)和(8)，应该有 c = (9a) 和 c = (9b) 重新整理方程(9a)，得到 – cc = 0 (10) 与Black-Scholes方程(4b)不同之处在于，方程(10)含有参数和c。要解出期权价格，要么必须决定和c，要么就必须避开这一累赘。前者证明是不可行的。线索还在于构造无风险套保组合。我们把资产价格S和期权价格c所遵循的随机过程再写一遍如下： = dt + dZ (11a) = cdt + cdZ (11b) 如何构造一个无风险套保组合呢？我们可以通过持有cc单位的在下资产和卖空S单位的看涨期权来组成。这一投资组合的价值可表示为 = ccS – Sc = (c – ) cS (12a) 它的微分是 d= ccdS – Sdc = (c –c) cSdt (12b) 注意在d中的随机项被抵消掉了。这也就是说，是瞬时无风险的，为了避免无风险地套利，该投资组合必须以无风险利率赢得回报，也就是有 d = rdt (13a) 因此有 c – c = r(c – ) (13b) 或者 (13c) 方程(13c)是有着特别的金融涵义的。量 – r和c – r分别是资产和期权对无风险利率的超额回报率。当它们分别除以自身的波动率（这是对该证券的风险的一种度量）后得到的比率就叫做风险的市场价格。风险的市场价格被解释为每单位风险上对无风险利率的超额回报率。该无风险套保组合中的资产和期权都是可在市场上进行交易的证券，在此证明具有相同的风险的市场价格。由式(13c)，期权的超额回报可写成 c – r = ( – r) (14) 把方程(9a)和(9b)代入方程(14)，我们得到 (15) 重新整理以上方程，我们就会得到 – rc = 0 (16) 这与方程(4b)的Black-Scholes方程完全相同，这只要在方程(10)中令c = = r就可以得出同样的方程。这也是毫不奇怪的。因为不出现在Black-Scholes方程中，所以期权的价值独立于投资者的风险偏好，也就是说我们可以假定任意的风险偏好。这样就为我们提供了一个简化的求解办法，即放到风险中性的世界中。在风险中性世界中，无论是资产还是期权的期望回报率都是无风险利率。这一金融涵义的数学表达是（令第六讲中的式(31a)中的 = r） = er(T – t) (17a) 和 = er(T – t) (17b) 这里ST和cT分别表示满期T时的随机变量资产价格和看涨期权价格。因为看涨期权满期的回收是cT = max(ST – K, 0)，方程(17b)可以写成 E(cT|S) = E[max(ST – K, 0)] = er(T – t) (18a) 或者 c(S, t) = e–r(T – t)E[max(ST – K, 0)] (18b) 以上(17a,b)和(18a,b)中的符号E[.]表示的是相同的风险中性期望算子。方程(18b)告诉我们，看涨期权的价值可以表达成其满期回收在风险中性世界中的期望的贴现值。 令(ST; S)表示资产价格ST在给定当前价格S时在风险中性概率分布下的转移密度函数（transition density function）。方程(18b)所定义的期望运算形式上可以表达成 c(S, t) = e–r(T – t) max(ST – K, 0)(ST; S)dST (18c) 至于如何来决定这一转移密度函数(ST; S)，我们将在以后的7.4.3节再讨论。 7.3 自融资动态交易策略 什么叫自融资策略呢？假定一个投资者持有的一个证券的投资组合包括了期权、股票和债券三种证券。随着时间的流逝，该投资组合的价值会因为这些证券的价格的变化而变化。除此之外，投资者的交易策略也会影响投资组合的价值，例如，通过改变组合中证券间数量的比例和向组合中添入资金或从组合中抽出资金。如果与最初的投资相比，不对该组合加入和抽出资金，我们就称该投资策略是自融资的。在投资组合中要想获得更多单位的这一种证券，其成本必定要以售出该投资组合中的一些单位的别的证券的收入所融得。 又一种推导Black-Scholes方程的方法就是构造一个自融资的投资组合，其中包括在下资产、期权和无风险债券（Merton (1973)）。令QS(t)和QV(t)分别表示投资组合中资产和期权的数量，MS(t)和MV(t)分别表示投资组合中QS(t)单位资产和QV(t)单位期权的价值。我们的自融资投资组合这样来建立：最初的净投资为0，以后也不添加和抽出资金。在该投资组合中要获得额外数量的一种证券，完全由卖出同一投资组合中别的证券的收入来融资。这一投资组合被称为动态的，因为它的成分随时间可以变化。在当前时刻0的净投资的这一条件可以表述为 M(t) = MS(t) + MV(t) + B(t) = QS(t)S + QV(t)V + B(t) = 0 (19) 这里M(t)是该投资组合的价值，B(t)是无风险债券的价值。资产价格S和期权价格V的随机运动模式由下式表示 = dt + dZ (20a) = Vdt + VdZ (20b) 无风险债券是以常数的无风险利率r成长。由Itô引理，方程(20b)中的V和V应该表示为 V = (21a) V = (21b) 以上投资组合价值的瞬时变化值dM(t)由这么几个因素构成：资产和期权的价格变化的微分和债券以利率成长，以及因所持资产、期权和债券数量变化的微分。从方程(19)，我们得到 dM(t) = [QS(t)dS + QV(t)dV + rB(t)dt] + [SdQS + VdQV + dB(t)] (22a) 这里dB(t)是指由于买卖资产和期权导致的净收益（单位是货币单位）。根据假定，该投资组合是自融资的，所以方程(22a)中的最后三项之和等于0。这样，投资组合价值的瞬时变化值dM(t)可以表示为 dM(t) = QS(t)dS + QV(t)dV + rB(t)dt = MS(t) + MV(t) + rB(t)dt (22b) 由方程(19)和(22b)可消除B(t)，再将方程(20a,b)代入方程(22b)，我们得到 dM(t) = [( – r)MS(t) + (V – r)MV(t)]dt + [MS(t) + VMV(t)]dZ (23) 只要我们以一个适当的比例选择资产和期权的数量，就完全有可能将该自融资投资组合构造成完全无风险的，即它的回报是非随机的。我们令 MS(t) + VMV(t) = SQS(t) + VQV(t) = 0 (24) 即，在自融资的投资组合中，资产的数量和期权的数量必须有成以下比率： (25) 此比率是时间依存的，因此有必要对该投资组合进行连续的调整。我们现在具有了一个无风险的又是无须最初投资的这么一个动态投资组合策略，因此它的非随机的回报dM(t)必须是0。方程(23)就成为 0 = [( – r)MS(t) + (V – r)MV(t)]dt (26) 把关系式(25)代入方程(26)，我们得到 ( – r)S = (V – r)V (27) 最后，将方程(21a)代入方程(27) ，我们就得到了对V的完全相同的Black-Scholes方程： – rV = 0 (28) 假定在以上自融资投资组合中，总是让QV(t) = –1，即总是卖空一单位期权，资产的数量却总是维持 单位（见方程(25)），它是随时间变化的。那么为了维持 单位资产而对资产进行买卖造成的净现金流都吞吐于组合中的债券中。该投资组合中所包含的期权和资产的部分就类似于7.1节中所定义的套保组合。考虑方程(2)所定义的(t)和这里定义的M(t)，我们看到它们之间有以下关系： M(t) = (t) + B(t) (29) 现在方程(23)可以重新写成（又参见方程(3b)） dM(t) = dS – dV + rB(t)dt = d(t) + rB(t)dt,  = (30) 注意， Sd项并不出现在以上的微分dM(t)中。因为相似的理由，Sd项也不出现在方程(3b)的微分d(t)中。 复制的投资组合 以上自融资投资组合的一个直接应用是，在该自融资投资组合中的期权可以用该自融资投资组合中的其它证券组合来复制。比如选择QV(t) = –1并且知道M(t) = 0，期权的价值就是 V = S + B(t),  = (31) 以上方程意味着期权的价值可以通过采用自融资动态交易策略，仅用资产和债券两种证券来复制。 因为复制的投资组合是自融资的和复制了期权在满期时的回收，由通常的无套利机会论证，就可以得出建立由资产和债券组成的复制的投资组合的最初成本必须等于被它所复制的期权的价值。因此，一个期权的公平价格就应该等于它的自融资的复制的投资组合的价值。 复制的投资组合的概念非常有实用价值。我们看到在推导新的或更复杂的期权定价模型时常会用到这种策略，比如在考虑交易成本的期权定价模型中和离散的二项期权定价模型时。我们在论述期权的二项定价模型时正是采用的这种方法。 7.4 Black-Scholes期权定价公式 在加上适当的辅助条件之后，我们从Black-Scholes方程来直接求解欧式平易看涨期权价格的公式。而一旦有了欧式看涨期权的定价公式，与其相对应的欧式看跌期权的定价公式则可以通过欧式期权的看跌-看涨期权平价关系很容易地得到。 我们在7.1节中给出了关于金融市场的假定，在此基础上推导出了关于欧式看涨期权服从的Black-Scholes微分方程，我们把它重写如下： , 0 < S <∞, r > 0 (32) 这里c = c(S, )是欧式看涨期权的价值，S和分别是在下资产的价格和期权的生命期。Black-Scholes模型的简单形式假定了有一个常数的无风险利率r和波动率。对于一个完整的期权定价模型，我们还必须规定以下的一些辅助条件： 初始条件（满期回收）： c(S, 0) = max(S – K, 0), K是行权价格 (33a) 边界条件： (i) 对某个t < T（满期时刻）有S = 0的话，S在随后的时间中一直停留于0，这样确保看涨期权在满期时处于亏钱状态；因此，期权的价值为0，即 c(S, ) = 0 (33b) (ii) 而当S足够大后，几乎肯定它会到期被行权。因为行权价格的现值是Ke–r，我们有 c(S, ) ~ S – Ke–r, 当S →∞时 (33c) 7.4.1 求解Black-Scholes欧式看涨期权定价公式 我们先做一个简单的变换，令y = lnS，将Black-Scholes方程转化为以下常系数的抛物型方程 , –∞< y <∞, > 0 (34) （注：这样， ， ， 将这两个导数代入原方程就得到方程(34)。） 把c写成c(y, ) = e–rw(y, )，方程(34)进一步转换成 , –∞< y <∞, > 0 (35) 这个方程类似于工程中的扩散-对流方程；亦即第六讲中的方程(7)。该模型的初始条件(33a)现在成为 w(y, 0) = max(ey – K, 0) (36) 现在的问题变成了是在y的无穷的定义域上定义的。方程(35)的基本解是（见第六讲中的方程(8)） (y, ) = (37) （注：一个简单的（一维的）随机行走模型推导出如下的前向Kolmogorov方程 ： 这里t表示从0开始计算的时间，x是位置，u(x, t)则是在t时刻质点位于x点的概率。而其中的和2则表示这一布朗运动单位时间内位移的均值和方差，它们又常被称作漂移率和发散率。 均值和方差分别为t和2t的正态随机变量x的密度函数为 ） 而(y, )是满足以下初始条件的： (y, ) = (y)，这里(y)是Dirac函数 ，代表在原点的一单位冲动（impulse，推动力、脉冲）。基本解(y, )可以理解为对由于在原初一单位冲动导致在> 0时和位置y的反应。由Dirac函数的性质，初始条件可以表示为 w(y, 0) = w(, 0)(y – )d (38) 即w(y, 0)可以被看成为从→–∞到→+∞范围带有各种数量w(, 0)的冲动的叠加。由于方程(35)是线性的，在> 0时和位置y对在初始时位置在量为w(, 0)的冲动的反应是w(, 0)(y – , )。由线性微分方程的叠加原理，带有辅助初始条件的方程(35)和(36)的解，就是由对这些冲动的反应相加起来得到。相加的过程就是从→–∞到→∞的积分。因此，期权定价模型的解是 w(y, ) = w(, 0)(y – , )d = max(e – K, 0) d (39) = (e – K) d (y – , )可以看成是将初始值w(, 0)转变到时的解w(y, )这一积分转换的精髓。从第六讲被截断的均值方程(5)，我们得到 e d = (40a) = erSN , y = lnS （如果x是以均值为 和方差为 的正态分布随机变量，那么z = ex就是对数正态分布的随机变量。它的密度函数g(z)是 截断的z的均值 是 ） 另外一半是 EMBED Equation.3 d = (40b) = , y = lnS 把二者合起来，欧式平易看涨期权的Black-Scholes定价公式就建立起来了，是 c(S, ) = e–r = SN(d1) – Ke–rN(d2) (41a) 这里 d1 = , d2 = d1 –  (41b) 以上对欧式看涨期权的定价公式，用概率的语言来解说就是：首先，N(d2)可以看成在满期时看涨期权处于赢钱状态的风险中性概率，亦即把KN(d2)解释成在满期时看涨期权的所有者要执行该期权所要支出金额的风险中性期望值；第二，SerN(d1)是满期时资产价格在看涨期权处于赢钱状态时的风险中性期望值。因此，看涨期权在满期时的期望值是SerN(d1) – KN(d2)，将其乘以风险中性贴现因子e–r，就给出了看涨期权的现在价值。下面我们会看到，N(d1)是Black-Scholes构造的无风险套保投资组合的套保率的倒数。这为Black-Scholes公式提供了一种直观的解释，即我们可以把这一定价公式理解为股票价格乘以套保率的倒数，减去行权价格的贴现值乘以将被行权的期权的概率。 Black-Scholes公式仅是五个变量的函数（这里尚未考虑股利）：股票价格S、行权价格K、期权的生命期 = T – t、无风险利率r和股票价格的波动率。这些变量的头四个是直接可观察的，仅有波动率是必须估计的。进一步看，那些出现在Black-Scholes公式以前的一些早期期权定价模型中的其它不可观察的变量，主要有股票的期望回报率、期权的期望回报率等需要度量投资者对市场风险态度的参数，都没有出现在Black-Scholes期权定价解的自变量中。此外，公式中仅有的不能被直接观察的自变量波动率，是可以用以往股票价格的历史序列的数据来近似估计的。 Black-Scholes期权定价模型的突破性贡献的核心到底是什么？以下Merton (1973)中的一段话给出了最精辟的回答： “B-S公式的明白的特征是它不依赖的那些变量数。期权价格不依赖于普通股票的期望回报（注）、投资者的风险偏好或资产的总供给。它的确依赖于利率（“可观察的”）和普通股收益的总方差，它经常是一个稳定值，因此，从时间序列的数据中做出精确的估计是可能的。 （注）“这是一个重要的结果。因为期望回报是不能直接观察的，因而由于它的不稳定性，从过去的数据得出的估计是不好的。它也就意味着企图用期权价格去估计股票的期望回报或者投资者的个人偏好是注定要失败的（比如见Sprenkle (1961)）。” 下面我们要探究Black-Scholes公式给出的期权价值c的性质，与由Merton (1973)中用占优论证所导出的关于期权价格的一般约束条件是相符的。 我们把一些基础的计算工作放在本章的附录中，这里直接利用所得到的结果。 （1）资产价格上涨时，欧式看涨期权的价格亦上升， = N(d1) > 0 (42) 对于有对数正态分布的股票价格，期望满期价格是现在价格的一个正函数（见第六讲的方程(30)）；因此，股票价格的一个上涨增加看涨期权的期望回收。 （2）当行权价格上升时，欧式看涨期权的价格下降， = –e–rN(d2) < 0 (43) 这与第二章的式(6)是相符的，该式还意味着 应该在零与债券价格的负值–e–r之间。 （3）当期权的生命期更长时，欧式看涨期权的价格上升， = rKe–rN(d2) + > 0 (44) 这反映了这样一个事实，即当期权的生命期更长时，用于行权的支出的贴现值就越低。 （4）当无风险利率上升时，欧式看涨期权的价格上升， = Ke–rN(d2) > 0 (45) 当无风险利率上升时，行权价格的贴现值下降。 （5）当波动率上升时，欧式看涨期权的价格也上升， = > 0 (46) 在下资产价格的波动性越高，那么价格变动的百分比正得更大的概率也就越大。当然，负的百分比更大的概率也变大。但满期时期权价值围绕行权价格是不对称的，只要期权处于亏钱状态，无论多深都不改变期权的价值。 由Black-Scholes的欧式看涨期权的定价公式(41)，我们可以推导出 c(S, ) = max(S – Ke–r, 0)和 c(S, ) = S，而由式(46)，c对是单调递增的，所以有 max(S – Ke–r, 0) c(S, ) S, S 0,  0 (47) 这符合第二章中关于在不派发股利上的欧式看涨期权价值的上下界约束式(13a)。由式(42)和我们可证明c对S的二阶偏导也大于零，所以如图所示，c是S的凸的增函数： （Kwok书上的Fig. 2.1, p.53） 在推导Black-Scholes公式的过程中，仅仅用到了初始条件(33a)。我们也可以方便地检查一下Black-Scholes公式是否满足初始条件(33a)。我们观察→0+的极限，当S > K和S K时，N(d1)和N(d2)分别是1和0。我们也可以容易地检查方程(41)是满足边界条件(33b)和(33c)的。我们在第二章已经论证了在不派发股利资产上的美式看涨期权总不会提前行权，所以它的价值与相应的欧式看涨期权的价值相等。因此，Black-Scholes公式也同样适用于对相应的美式看涨期权定价。 7.4.2 利用欧式看跌-看涨期权平价关系为欧式看跌期权定价 由欧式看跌-看涨期权平价关系（第二章的方程(18)），欧式平易看跌期权的价格是 p(S, ) = c(S, ) + Ke–r – S = S[N(d1) – 1] + Ke–r[1 – N(d2)] (48) = Ke–rN(–d2) – SN(–d1) 这里d1和d2的涵义与方程(41b)完全相同。 当资产价值足够低时，我们可证 p(S, ) ~ Ke–r, 当S →0+时 (49a) 它低于看跌期权的内在价值K – S。另一方面，当资产价值过分高的时候，我们从方程(48)推导出 p(S, ) = 0 (49b) 这一点都不令人奇怪，因为当S →∞时，满期时确定地有看跌期权处于深度亏钱状态，所以它的现值也将是0。我们可以求出p对S的一阶和二阶偏导分别小于0和大于0，所以p对S的曲线是递减的凸函数，如图所示： （Kwok书上的Fig. 2.2, p.54） 对于一个遥遥无期的永久欧式平易看跌期权，从公式(48)在→∞时给出的渐近极限是 p(S, ) = 0 (49c) 7.4.3 转移密度函数 在7.2节的最后，我们说欧式看涨期权的价值可以表达成对满期回收的期望的贴现值，即方程(18c)： c(S, t) = e–r max(ST – K, 0)(ST; S)dST ,  = T – t (50) 这里(ST; S)是给定早先时刻t（当前时间）资产价格为S的满期时刻T资产价格表示为 的转移密度函数。我们记得，资产价格的动态过程是被假定为遵循几何布朗运动的。在风险中性的世界中，漂移率是r，方差率是2，因此有 是以均值为 、方差为2的正态分布函数（见第三章的式(30)）。 我们乐意找到该转移密度函数(ST; S)的控制方程和解析表达式。因为期权定价公式(50)满足Black-Scholes方程，我们把这一假定的解代入微分方程(4b)后得到 0 = = e–r max(ST – K, 0) dST (51) 里面的积分函数必等于0，因此有关于(ST; S)遵循的控制方程： = 0 (52) 另一方面，观察方程(39)，若令 = lnST和y = lnS，则有 c(S, t) = e–r (53) 比较方程(50)和(53)，可以推导出转移密度函数为 (ST; S) = (54) 该结果与具有均值为 、方差为2的正态分布变量 的密度函数完全吻合（参见第二章的方程(4)）。 � Black, F. and Scholes, M. 1973. The pricing of options and corporate liabilities. Journal of Political Economy 81(3), 637-654. � Merton, R. C. 1973b. Theory of rational option pricing. Bell Journal of Economics and Management Science 4(1), Spring: 141-83. � 这里的“一般均衡”模型的涵义是与特定（ad hoc）式模型相对。后者是指一般仅靠经验观察和曲线拟合而得到的公式。 � Thorp, E. O. and Kassouf, S. T. 1967. Beat the Market. New York, Random House. � 虽然在4.1节所规定的套保投资组合，我们并没有要求它是自融资的投资组合，但我们可以想象为其补充一块债券资产，就可以把它构造成如这里的自融资投资组合了。在那里的Sd，就与相应的dB(t)抵消了。 � 可参见Kwok (1998)。 � � EMBED Equation.3 ���。数学中和经济学中通常用指示函数表示。 � 引自Merton (1973, p.161)。 � 累积正态分布函数N(x)有如下性质：N(x) = 1 – N(–x)。 � 注意有� EMBED Equation.3 ���。 _1206884900.unknown _1207553826.unknown _1207554159.unknown _1207558943.unknown _1207559832.unknown _1207559969.unknown _1240208458.unknown _1240209985.unknown _1240209986.unknown _1240208498.unknown _1207560021.unknown _1207559903.unknown _1207559324.unknown _1207559550.unknown _1207559144.unknown _1207558416.unknown _1207558942.unknown _1207558210.unknown _1207554052.unknown _1207554082.unknown _1207553877.unknown _1206945851.unknown _1207551554.unknown _1207553323.unknown _1206947674.unknown _1206949520.unknown _1206949885.unknown _1206949956.unknown _1206949965.unknown _1206949802.unknown _1206949286.unknown _1206949377.unknown _1206949093.unknown _1206947163.unknown _1206947618.unknown _1206947125.unknown _1206943332.unknown _1206944161.unknown _1206945078.unknown _1206945590.unknown _1206944958.unknown _1206945047.unknown _1206943867.unknown _1206943921.unknown _1206941646.unknown _1206943028.unknown _1206885267.unknown _1206878805.unknown _1206882862.unknown _1206884486.unknown _1206884728.unknown _1206884891.unknown _1206884535.unknown _1206882976.unknown _1206883014.unknown _1206880339.unknown _1206880704.unknown _1206880727.unknown _1206881332.unknown _1206880368.unknown _1206879892.unknown _1206879933.unknown _1206879576.unknown _1206809836.unknown _1206878603.unknown _1206878689.unknown _1206878745.unknown _1206878531.unknown _1206809976.unknown _1206877317.unknown _1206809894.unknown _1206809526.unknown _1206809559.unknown _1206338213.unknown _1206809368.unknown _1206809398.unknown _1206342321.unknown _1206338134.unknown _1206338211.unknown _1206338212.unknown _1206338210.unknown _1206338209.unknown _1064128680.unknown _1066462682.unknown _1066476500.unknown _1063007252.unknown