名牌大学自主招生同步辅导 高中数学上册

前言 高考背景下的大学自主招生是教育部为深化高校招生录取改革,扩大高校在招生中的 自主权而推出的一项政策。在这样的招生背景下,优秀高中毕业生成为各名牌大学眼中的“香饽 饽”,成为各高校争相“抢夺”的对象,对这些优秀学生而言,他们开始有了展示自己特长的机会, 通过自招加分逐步摆脱了“一考定终身”的窘境。高校开始走出“象牙塔”,主动去联系中学,深入 各著名中学去了解他们的优秀学生,同时也让更多的中学生在高考之前就有机会去了解中国的 一些名校,共赴“双赢”大道。 多年来,各名牌大学在自主招生方面尽管各有特色,但大部分都采用了:中学推荐、文化课测 试、面试等方法。其中尤以文化课测试的成绩最为看重,纵观这些测试题,不管是“华约”、“北约” 还是“卓越联盟”等高校团体,试题难度都明显高于普通高考要求。就数学卷而言,其难度介于高 考和竞赛之间,知识内容也较高考要求有些拓宽,一个明显的指向是“偏重能力”。 2010年,受上海市徐汇区教育局的委托,要求我牵头成立一个“徐汇区名师工作室”,学员都 是在徐汇区的一些名校工作了十余年的教师。名牌大学自主招生试题研究是该工作室业务学习 与交流的重点,这一套《名牌大学自主招生同步辅导》就是由其中的部分学员交流后结合自己的 教学得到的成果。 本书按照“教材知识回顾”、“知识拓展与例题精讲”、“巩固练习”的结构来组织每一讲的内容, 依照分为十九讲、下册二十讲分别展开。上册以函数为主线,涉及多项式函数、幂指对 函数、三角函数和数列与数学归纳法;下册以向量为工具、偏重于几何,涉及解几、复数、立几和组合 等内容。大致上与高中数学教学“同步”,但在知识内容的运用上并没有刻意去“同步”,有时会综合 运用一些知识点,好在自主招生“偏重能力与特长”,这样的编排只要有一定的合理性就是可行的。 在丛书的编写过程中,作者借鉴了一些高校自主招生考试的原题、一些相对容易的竞赛题和 有一定难度的高考题,力求在每一讲中都能抓住重点和难点,解答过程强调自然且有启发性,希 望对读者在自身数学能力的提高、开阔视野等方面有所帮助。 感谢华东师大出版社为本书的出版做出的努力,在前期的准备工作中,倪明先生和孔令志先 生就书的体例、内容与结构和我们工作室的学员一起研究讨论,为本书定调。囿于作者水平有 限,书中不足与错误在所难免,请读者批评指正。 2012年5月 目录 第一讲 集合与逻辑 1………………………………………………………………………………… 第二讲 不等式的性质与证明 8……………………………………………………………………… 第三讲 不等式的解法 16…………………………………………………………………………… 第四讲 基本不等式 29……………………………………………………………………………… 第五讲 柯西不等式 36……………………………………………………………………………… 第六讲 二次函数 42………………………………………………………………………………… 第七讲 函数的图象与性质 49……………………………………………………………………… 第八讲 幂函数、指数函数与对数函数 62…………………………………………………………… 第九讲 函数与反函数 73…………………………………………………………………………… 第十讲 函数方程 81………………………………………………………………………………… 第十一讲 任意角的三角函数 90…………………………………………………………………… 第十二讲 两角和与差的三角函数 95……………………………………………………………… 第十三讲 三角函数的性质与应用 103……………………………………………………………… 第十四讲 解斜三角形 111…………………………………………………………………………… 第十五讲 反三角函数与三角方程 119……………………………………………………………… 第十六讲 等差数列与等比数列 126………………………………………………………………… 第十七讲 递推数列 133……………………………………………………………………………… 第十八讲 数列求和与数列极限 142………………………………………………………………… 第十九讲 数学归纳法 150…………………………………………………………………………… 习题解答 158…………………………………………………………………………………………… 第一讲 集合与逻辑 教材知识回顾 1.集合与元素 集合的本质属性体现在其元素的确定性、互异性和无序性.元素与集合的关系有“属于”(a∈ A)与“不属于”(a췍A)两种. 常用集合的符号:空集⌀,全集U,自然数集N,正整数集N*,整数集Z,有理数集Q,实数集 R,复数集C. 2.集合关系与运算 A是B 的子集,记作A⊆B(B⊇A);A是B的真子集,记作A⫋B(B⫌A);集合A与B相 等,记作A=B.(欲证A=B,当且仅当A⊆B且B ⊆A.) A与B 的交集,记作A∩B= {x|x∈A且x∈B}. A与B 的并集,记作A∪B= {x|x∈A或x∈B}. U 为全集,A是U 的子集,集合A在全集U 中的补集,记作 ∁UA = {x|x∈U,x췍A}. A与B 的差集,记作A\B= {x|x∈A但x췍B}.这是补充的一个重要的集合运算符号. 3.命题的形式及等价关系 命题有四种形式:原命题,逆命题,否命题,逆否命题.原命题等价于逆否命题,逆命题等价于 否命题. 4.隶·莫根律和容斥原理 隶·莫根律:∁U(A∩B)= (∁UA)∪ (∁UB),∁U(A∪B)= (∁UA)∩ (∁UB). 容斥原理:对有限集而言,下面的关系式成立:|A ∪B|=|A|+|B|-|A ∩B|, |A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|-|A∩B|-|B∩C|-|C∩A|+|A∩B∩C|,其中 |X|表 示集合X中元素个数. 知识拓展与例题精讲 【例1】 集合A满足:若a∈A,则 1 1-a ∈A. (1)若2∈A,求元素个数最少的集合A; 1第一讲 集合与逻辑 (2)若2∈A,写出一个元素个数为6的实数集合A. 解 (1)由于2∈A,则 1 1-2 =-1∈A,从而 1 1-(-1) = 1 2 ∈A,进而 1 1- 1 2 =2∈A. 因此,集合A= -1, 1 2 ,{ }2 ,且集合A至少有3个元素. (2)再取3∈A,则 1 1-3 =- 1 2 ∈A, 1 1- - æ è ç ö ø ÷ 1 2 = 2 3 ∈A, 1 1- 2 3 =3∈A.故A= -1,- 1 2 ,1 2 ,2 3 ,2,{ }3 满足题设条件. 评注 第(2)问是“构造”,虽然解答简明,但是需要写出符合条件的具体例子有时并非易事. 数学问题中构造的方法多样,靠平时留心积累. 【例2】 由6个正数组成的集合,该集合中的任两个数a与b(a>b)的和a+b与差a-b至 少有一个属于该集合. 证明:若将该集合中的数按递增的顺序排列,则相邻两个数的差相同. 证明 把6个正数a1a2+a4=a6.同理,a3+a5>a6,a4+a5>a6. 故a4-a3∈A,a5-a4∈A,a5-a3∈A.进而a3-a2=a4-a3∈A,a2-a1=a5-a4∈A, a3-a1=a5-a3∈A. 由于0a2=2a1,故a3=a1+a2=3a1. 设a1=α,则a2=2α,a3=3α.进而,a6=2a3=6α,a4=a6-a2=4α,a5=a6-a1=5α, 即A= {α,2α,3α,4α,5α,6α},其中α>0,相邻两个数的差都是α. 【例3】 求集合A和B,使得A∪B={1,2,…,10},且集合A中所有元素之和等于集合B 中所有元素之积. 解 集合A中所有元素之和 <1+2+…+10=55.故B中至多有四个元素,否则B中所有 元素之积至少为1×2×3×4×5=120矛盾!以集合B中可能出现的元素个数分类讨论如下: (1)集合B由单元素构成.故B中元素之积≤10,而A中所有元素之和≥1+2+3+…+9= 45.不满足条件. (2)集合B由两个元素x,y(x55-x-y-z.此时无解. (4)集合B由四个元素x,y,z,t(x55.则yzt=54-y-z-t,2≤y55,此时无解.因此,y=2,且2zt+z+t=52,即 (2z+1)(2t+1)=105.只有2z+1=7,2t+1=15,即z=3,t=7.此时,B={1,2,3,7}, A= {4,5,6,8,9,10}. 综上四种情况,有三组解如下: B= {6,7},A= {1,2,3,4,5,8,9,10};B= {1,4,10},A= {2,3,5,6,7,8,9}; B= {1,2,3,7},A= {4,5,6,8,9,10}. 评注 这里涉及简单的不定方程求正整数解的问题.分类时以元素个数少的集合B讨论 为主. 【例4】 设集合A、B、X满足:A∩X=B∩X=A∩B,A∪B∪X=A∪B.求集合X. 解 由A∪B∪X=A∪B,知X⊆A∪B.因此 X= (A∪B)∩X= (A∩X)∪ (B∩X)= (A∩B)∪ (A∩B)=A∩B. 从而X=A∩B. 评注 这里运用了集合交并运算律:(A ∪B)∩C = (A ∩C)∪ (B ∩C).另外还有 (A∩B)∪C= (A∪C)∩ (B∪C). 【例5】 设集合A,B⊆R,对任意的α>0,有A⊆B+αZ,B⊆A+αZ.(这里X+αZ= {x+αn|x∈X,n∈Z}). (1)A=B是否一定成立? (2)若B是有界集合时,证明:A=B. 解 (1)不一定成立.构造一个反例.取A=R,B=R+. 任取x∈B,存在一个x∈A=R,和一个y=0∈Z,使得x=x+α·0∈R+αZ.可知 B⊆A+αZ. 任取x∈A=R,存在y∈R+,n∈Z(依赖于x)满足x=y+αn.为证明此等式,只需选择 n∈Z,使得x-αn>0,则y= (x-αn)∈R+,可知A⊆B+αZ. (2)若B有界,则存在正整数M,使得对任意的y∈B,有|y||x|+ M (由于α是任意的正数).因为A⊆B+αZ,故对某个y∈B,有x=y+αn.由于x≠y,有n≠ 0,故有x-y=αn,|x-y|=α|n|≥α.于是,|x|+M <α≤|x-y|≤|x|+|y|<|x|+ M,矛盾!从而对任意x∈A,有x∈B,故A⊆B. 3第一讲 集合与逻辑 从上面的证明可知,集合A有界,利用B⊆A+αZ,类似地可以证得B⊆A. 因此,A=B. 评注 证明集合A与集合B 相等,常转化为证明“A⊆B且B⊆A”.证明集合A是集合B的 子集,即A⊆B,常用的方法是“任取一个元素x∈A,证得x∈B”. 【例6】 设S是整数集Z的非空子集,如果对任意a,b∈S,有ab∈S,那么称S关于数的乘 法是封闭的.若T和V是Z的两个不相交的非空子集,T∪V=Z,且对任意a,b,c∈T,有abc∈T; 任意x,y,z∈V,有xyz∈V.证明:T和V 这两个集合中至少有一个是关于乘法封闭的. 证明 不妨设1∈T. 若T是单元素集合,则T={1},T是封闭的.此时V=Z\{1}.对任意x,y,z∈V,则xyz≠1, 且xyz仍是一个整数,故xyz∈V.即T和V满足题设.而V对乘法运算不封闭,如取a=b=-1,则 ab=1췍V. 若T不是单元素集合,又由于对任意a,b,c∈T,则abc∈T,我们说集合T是封闭的.事实 上,任取a,b∈T,下证ab∈T:若a与b之一等于1,则ab等于a或b,当然是T中元素;若a与 b均不等于1,由于元素1∈T,则1·a·b∈T,即ab∈T. 评注 若取T= {奇数},V = {偶数},满足条件.此时T和V 都是封闭的. 【例7】 非空子集S是有理数集合Q的子集,有以下性质: (1)0췍S; (2)若s1,s2∈S,则 s1 s2 ∈S; (3)存在一个非零有理数q,q췍S,且对任意一个不在S中的非零有理数都可写成qs的形式, 其中s∈S. 证明:若x∈S,则存在y,z∈S,使x=y+z. 证明 令s1=s2∈S,则1= s1 s2 ∈S.由条件(3)知:S不是单元素集合.设1≠s∈S,则 1 s ∈S.若t∈S,则 t 1æ è ç ö ø ÷ s =st∈S. 假设u是一个非零有理数,且u췍S,则u=qs,其中s∈S. 若q2췍S,则q2=qt(t∈S),则q=t∈S,矛盾!故q2∈S.又u2=q2s2,且q2∈S, s 1 s = s2∈S,从而u2∈S. 若 3 5 췍S,则由上面结论知:æ è ç ö ø ÷ 3 5 2 ∈S;若 3 5 ∈S,则 5 3 ∈S,进而 æ è ç ö ø ÷ 3 5 2 ∈S.总之, æ è ç ö ø ÷ 3 5 2 ∈S. 同理,æ è ç ö ø ÷ 4 5 2 ∈S. 任取x∈S,则x· æ è ç ö ø ÷ 3 5 2 ∈S,x· æ è ç ö ø ÷ 4 5 2 ∈S.取y=x æ è ç ö ø ÷ 3 5 2 ∈S,z=x· æ è ç ö ø ÷ 4 5 2 ∈S且 4 名牌大学自主招生同步辅导 高中数学上册 x=x æ è ç ö ø ÷ 3 5 2 +x· æ è ç ö ø ÷ 4 5 2 . 【例8】 集合S的元素个数简记为|S|,对于三个集合A、B、C,满足条件: (1)|A|=|B|=100; (2)集合A、B、C各自的所有子集个数之和等于集合A ∪B∪C的所有子集个数. 求|A∩B∩C|的最小值.

分析

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集合A的所有子集(含空集)的个数是2|A|.由容斥原理 |A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|-|A∩B|-|B∩C|-|C∩A|+|A∩B∩C|. 解 由条件(2)知:2|A|+2|B|+2|C|=2|A∪B∪C|,即2100+2100+2|C|=2|A∪B∪C|,即 2|A∪B∪C|-101=1+2|C|-101. 上式左边是一个2的自然数幂,因此右边应是一个大于1且等于2的整数幂的数,当且仅当 |C|=101时成立.从而|A∪B∪C|=102. 由容斥原理,|A∩B∩C|=|A∪B∪C|-|A|-|B|-|C|+|A∩B|+|B∩C|+ |C∩A|(又由于|A∪B|=|A|+|B|-|A∩B|等)=|A∪B∪C|-|A|-|B|-|C|+ (|A|+|B|-|A∪B|)+(|B|+|C|-|B∪C|)+(|A|+|C|-|A∪C|)=|A∪B∪C|+|A|+ |B|+|C|-|A∪B|-|A∪C|-|B∪C|. 由于A∪B,A∪C,B∪C⊆A∪B∪C,从而|A∪B|、|A∪C|、|B∪C|≤102.因此, |A∩B∩C|=102+100+100+101-|A∪B|-|A∪C|-|B∪C| ≥403-102×3=97. 构造A={1,2,3,…,100},B={3,4,5,…,102},C={1,2,4,5,6,…,100,101, 102}.此时|A∩B∩C|=|{4,5,…,100}|=97. 评注 为了估计|A∩B∩C|≥97,需用到|A∩B∩C|=|A∪B∪C|+|A|+|B|+ |C|-|A∪B|-|A∪C|-|B∪C|.若直接使用容斥原理

公式

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:|A∩B∩C|=|A∪B∪C|- |A|-|B|-|C|+|A∩B|+|B∩C|+|C∩A|,得不到有效的不等式. 巩固练习 A 组 1.已知A={y|y=x2-4x+3,x∈R},B={y|y=-x2-2x+2,x∈R},则A∩B= . 2.已知A={(x,y)|y=x2-4x+3,x∈R},B={(x,y)|y=-x2-2x+2,x∈R}, 则A∩B= . 3.集合M={x|ax2+2x+1=0,a,x∈R}是单元素集合,则实数a的取值集合是 . 4.设集合A⊆ {x|x<10,x∈N*},且满足“若a∈A,则6-a∈A”,则集合A的个数是 5第一讲 集合与逻辑 . 5.设集合A={x|x2-1=0,x∈R},B={x|x2-2ax+b=0,x∈R}.若B⊆A,且 B≠ ⌀,则a2+b2= . 6.已知非空集合S⫋N*,且满足条件“x∈S,则 16 x ∈S”,则集合S的个数是 . 7.已知集合A={2,3,a2+1},B= a2+a-4,2a+1,- 13{ }4 ,且A∩B={2},则a的 值是 . 8.设全集U = {x|x<20,x=2k,k∈N*},若A∩ ∁UB = {12,14},∁UA ∩B= {2, 4,16,18},∁UA ∩ ∁UB = ⌀,则集合A= . 9.设条件α:x≥1或x≤0,条件β:x≥-2m+1或x≤2m-3(m∈R).若条件α是条件 β的充分非必要条件,则m的取值范围是 . 10.设数集M= m,m+[ ]23 ,N= n- 1 2 ,[ ]n ,M与N 都是集合I=[0,1]的子集.如果 把b-a称为集合[a,b]的“长度”,那么集合M ∩N 的长度的最小值是 . 11.有100种食品,其中含维生素A的食品有72种,含维生素C的食品有54种.则同时含维 生素A和C的食品种数的最大值和最小值分别是 . 12.已知某中学共有学生900人,其中男生528人,高中学生312人,团员670人,高中男生 192人,男团员336人,高中团员247人,高中男团员175人,问这些统计数据是否有误,回答是 (填“正确”或“错误”). 13.设集合A={(x,y)|0≤x≤1,y=0},B={(x,y)|y=ax+b}.若A∩B= ⌀, 求满足条件的实数a,b的关系式. 14.设集合A={x|x2+(p+2)x+1=0,x∈R}.若A∩R+=⌀,求实数p的取值范围. 15.已知集合A= {(x,y)|ax+y=1},B={(x,y)|x+ay=1},C={(x,y)|x2+ y2=1},问: (1)当a取何值时,(A∪B)∩C为含有两个元素的集合? (2)当a取何值时,(A∪B)∩C为含有三个元素的集合? B 组 1.已知集合A= {x|2a≤x≤a2+1},B= {x|x2-3(a+1)x+2(3a+1)≤0}(a∈ R).若A⊆B,则a的取值范围是 . 2.设集合A= {a|1≤a≤2000,a=4k+1,k∈Z},集合B= {b|1≤b≤3000,b= 3k-1,k∈Z}.则A∩B的元素个数|A∩B|= . 3.某校有832人接受A、B、C三门课程的审定试验.A、B、C三门课程全部及格的是83人, B与C课程全部及格的是131人,A与B 课程及格而C 课程不及格的是92人,三门课程中只有 两门课程及格的是172人,A课程及格的是378人,B课程及格的是479人,515人仅及格一门课 6 名牌大学自主招生同步辅导 高中数学上册 程.则A、B、C三门课程都不及格的人数是 . 4.(2007武汉大学)运动会上,甲、乙、丙三名同学各获得一枚奖牌,其中1人得金牌、1人得 银牌、1人得铜牌.王老师曾猜测“甲得金牌、乙不得金牌、丙不得铜牌”,结果王老师只猜对了一 人,那么甲、乙、丙分别获得 、 、 牌. 5.(2009上海交通大学)珠宝店丢失了一件珍贵珠宝.以下四人只有一个人说真话,只有一人 偷了珠宝.甲:我没有偷;乙:丙是小偷;丙:丁是小偷;丁:我没有偷.则说真话的人是 ,偷 珠宝的人是 . 6.某珠宝店失窃,甲、乙、丙、丁四人涉嫌被拘审,四人的口供如下,甲:作案的是丙;乙:丁是 作案者;丙:如果我作案,那么丁是主犯;丁:作案的不是我.如果四个人口供中只有一个人是假 的,那么说假话的是 ;作案的是 . 7.设S为满足下列条件的有理数集合: (1)若a,b∈S,则a+b∈S,ab∈S; (2)对任一个有理数r,3个关系r∈S,-r∈S,r=0中有且仅有一个成立.求集合S. 8.设正整数m,n满足:m≥n>1.F1,F2,…,Fk是集合{1,2,…,m}的n元子集,且对 1≤i0⇔a>b;a-b=0⇔a=b;a-b<0⇔ab⇔bb,b>c⇒a>c.(放缩法的基本依据) 加法单调性:a>b,c∈R⇒a+c>b+c. 乘法单调性:a>b,c>0⇒ac>bc; a>b,c<0⇒acb,c>d⇒a+c>b+d.(局部不等式证明的基本依据) 乘法法则:a>b>0,c>d>0⇒ac>bd. 乘方法则:a>b>0,n∈N*⇒an >bn. 开方法则:a>b>0,n∈N*⇒ n a> n b. 倒数法则:a>b,ab>0⇒ 1 a < 1 b . 3.绝对值不等式性质 (1)-|a|≤a≤|a|. (2)|x-A|a⇔x>A+a或x0,其中x∈R. 证明 (1)两边平方,并整理,原不等式等价于 x4-4x3+4x2≥0⇔x2(x-2)2≥0. 等号成立当且仅当x=0或x=2时. (2)x8-x5+x2-x+1= x4- 1 2 æ è ç ö ø ÷x 2 + 3 4 x2-x+1 = x4- 1 2 æ è ç ö ø ÷x 2 + 3 4 x-æ è ç ö ø ÷ 2 3 2 + 2 3 >0. 评注 配方是把一个代数式写成若干个非负数之和的一种极重要的方法. 【例2】 (2009中国科学技术大学)设x,y∈R.证明: (1)x2+y2+xy≥3(x+y-1). (2)5x2+6xy+9y2-12x-12y+8≥0. 证明 (1) x2+y2+xy-3x-3y+3 =x2+x(y-3)+y2-3y+3 = x+ y-3æ è ç ö ø ÷ 2 2 + 3 4 y2- 3 2 y+ 3 4 = x+ y-3æ è ç ö ø ÷ 2 2 + 3 4 (y-1)2≥0. 等号当且仅当x=y=1时成立. (2) 9y2+6y(x-2)+5x2-12x+8 = [3y+(x-2)]2+4x2-8x+4 = (x+3y-2)2+4(x-1)2≥0. 等号当且仅当x=1,y= 1 3 时成立. 评注 上述配方是主元法配方,即选择一个未知数配方,余下的代数式依次配方.对于问题 (2)是先选y,而后x.若先选x,而后y配方的结果是:5x+ 3 5 (y-2[ ]) 2 + 4 5 (3y-1)2.这里的 表达式比选y先配方要复杂些.数学问题的处理需要简洁、易表达并体现其“美”.对于问题(1)可 以配方为:1 2 [(x-1)2+(y-1)2+(x+y-2)2].虽说这个配方很简洁,但无定法,不易掌握,需 9第二讲 不等式的性质与证明 平时多积累记忆. 【例3】 (1)已知a,b,c,d都是正数,记 s= a a+b+d + b b+c+a + c c+d+b + d d+a+c . 证明:1 a a+b+c+d + b a+b+c+d + c a+b+c+d + d a+b+c+d (放缩每一个加数) =1. 另一方面, s= a a+b+d + b b+c+a + c c+d+b + d d+a+c < a a+b + b b+a + c c+d + d d+c = a+b a+b + c+d c+d =2. 因此,不等式成立. (2)由于已知条件和待证不等式是关于a,b,c的对称式,因此,不妨设0≤a≤b≤c≤1. a b+c+1 + b c+a+1 + c a+b+1 +(1-a)(1-b)(1-c) ≤ a a+b+1 + b a+b+1 + c a+b+1 +(1-a)(1-b)(1-c)(放缩前面两项) = a+b+c a+b+1 + (a+b+1)(1-a)(1-b)(1-c) a+b+1 ≤ a+b+c a+b+1 + (1+a)(1+b)(1-a)(1-b)(1-c) a+b+1 (由于a+b+1≤ (1+a)(1+b)) = a+b+c a+b+1 + (1-a2)(1-b2)(1-c) a+b+1 ≤ a+b+c a+b+1 + 1-c a+b+1 (由于0≤ (1-a2)≤1,0≤ (1-b2)≤1,0≤1-c≤1) = a+b+1 a+b+1 =1. 等号当且仅当a,b,c中有两个为0,另一个是[0,1]中的任意数,或者当a,b,c不全为0且 不为0的数都等于1时成立. 01 名牌大学自主招生同步辅导 高中数学上册 评注 “放缩法”是证明不等式常用的一种方法,其难点是在放缩的“度”的把握.至于放缩 的尺度如何把握,只能因题而异,具有一定的技巧,需加以积累,练习,才有自信力.问题(2)是集 中体现放缩技巧的一个典范,请读者多加体会. 【例4】 (1)设an =1+ 1 2 +…+ 1 n (n∈N*).证明:对一切n≥2,有 a2n >2 a2 2 + a3 3 +…+ anæ è ç ö ø ÷ n . (2)已知a1,a2,…,an(n≥3)都大于1,并且|ak+1-ak|<1(其中k=1,2,…,n-1). 证明: a1 a2 + a2 a3 +…+ an-1 an + an a1 <2n-1. 证明 (1)由于a2n-a2n-1= 1+ 1 2 +…+ 1 n-1 + 1æ è ç ö ø ÷ n 2 - 1+ 1 2 +…+ 1 n- æ è ç ö ø ÷ 1 2 = 1 n2 +2· 1 n 1+ 1 2 +…+ 1 n- æ è ç ö ø ÷ 1 = 1 n2 + 2 n an- 1æ è ç ö ø ÷ n =2· an n - 1 n2 . 同理,a2n-1-a2n-2=2· an-1 n-1 - 1 (n-1)2 , …… a22-a21=2· a2 2 - 1 22 . 以上(n-1)个等式相加,有 a2n-a21=2 a2 2 + a3 3 +…+ anæ è ç ö ø ÷ n - 1 22 + 1 32 +…+ 1 n æ è ç ö ø ÷ 2 , 即 a2n =2 a2 2 + a3 3 +…+ anæ è ç ö ø ÷ n + 1- 1 22 - 1 32 -…- 1 n æ è ç ö ø ÷ 2 >2 a2 2 + a3 3 +…+ anæ è ç ö ø ÷ n . 最后一步放缩,用到了1> 1 22 + 1 32 +…+ 1 n2 .事实上, 1 22 + 1 32 +…+ 1 n2 < 1 1×2 + 1 2×3 +…+ 1 (n-1)n (由于n≥2) = 1- æ è ç ö ø ÷ 1 2 + 1 2 -æ è ç ö ø ÷ 1 3 + …+ 1 n-1 - 1æ è ç ö ø ÷ n = 1- 1 n <1. 11第二讲 不等式的性质与证明 (2)由于 a1 a2 + a2 a3 +…+ an-1 an + an a1 <2n-1 ⇔ a1 a2 - æ è ç ö ø ÷1 + a2 a3 - æ è ç ö ø ÷1 +…+ an-1 an - æ è ç ö ø ÷1 + an a1 - æ è ç ö ø ÷1 2,则a>2-b,有a5> (2-b)5. 于是a5+b5> (2-b)5+b5= (32-80b+80b2-40b3+10b4-b5)+b5 =10b4-40b3+80b2-80b+32 =10(b-1)4+20b2-40b+22(这里配方需注意调整) =10(b-1)4+20(b-1)2+2≥2, 即a5+b5>2,与已知a5+b5=2,矛盾!因此,a+b≤2. 评注 反证法的基本思想是:提出反设,假设命题不成立,然后导出矛盾,从而说明原命题成 立.由于反设的提出相当于增加了一个条件,因此对已知条件较少且能推出的结论也较少的题, 根据经验,适宜用反证法. 【例8】 设a,b,c,d∈R+.求证:下列三个不等式中至少有一个不成立.(1)a+b (a+b)2≥4ab即 cd>3ab. ① 31第二讲 不等式的性质与证明 利用不等式(2)与(3)相乘,有ab(ab+cd)> (a+b)2cd≥4ab·cd即 ab>3cd. ② 利用①与②知cd>3ab>9cd即1>9.矛盾! 因此,假设不成立.可知,不等式(1)、(2)、(3)中至少有一个不成立. 巩固练习 A 组 1.设10,均有x2<1+a,则x的取值范围是 . 5.若实数x满足:对任意正数a>0,均有x2>1-a,则x的取值范围是 . 6.若实数x满足:对任意负数a,即a<0,均有x3≥1+a3,则x的取值范围是 . 7.已知1≤a-b≤2,13≤2a- b 2 ≤20,则3a- b 3 的取值范围是 . 8.已知6枝玫瑰与3枝康乃馨的价格之和大于24元,而4枝玫瑰与5枝康乃馨的价格之和 小于22元.则2枝玫瑰的价格 (高于、低于)3枝康乃馨的价格. 9.如果实数x,y满足约束条件 x-y≥0, x+y≤1, y≥0 ì î í ïï ïï , 则z=2x+y的取值范围是 . 10.已知x>0,x≠1,m>n>0.证明:xm+ 1 xm >xn+ 1 xn . 11.已知a,b∈ [0,1].证明: 1 1+a + 1 1+b ≤ 2 1+ ab . 12.设x,y,z∈R,a,b,c∈R+.证明: b+c a x2+ c+a b y 2+ a+b c z2≥2(xy+yz+zx). 13.已知a,b∈R,且a3+b3=2.证明:a+b≤2. 14.设a,b,c∈R+,且a+b+c≥abc.证明:a2+b2+c2≥abc. 15.已知x,y,z,t∈R.证明:下列四个不等式中,至少有一个不等式不成立,其中|x|> |y-z+t|,|y|>|x-z+t|,|z|>|x-y+t|,|t|>|x-y+z|. 41 名牌大学自主招生同步辅导 高中数学上册 B 组 1.(2009上海交通大学)关于x的不等式组 x2+ 2ax+5≥ 1 3 , x2+ 2ax+5≤ 7 2 ì î í ï ï ï ï , 有唯一解,则实数a的值 是 . 2.(2006武汉大学)已知不等式-9< 3x2+px+6 x2-x+1 ≤6对一切实数x恒成立,则实数p的值 是 . 3.(2005复旦大学)对一切实数x,总有 x2+ax+b x2+2x+2 <1恒成立,求实数a,b满足的条件. 4.已知n∈N*,证明: 1 n+ (11+ 1 3 +…+ 1 2n- )1 ≥ 1 n 1 2 + 1 4 +…+ 1 2 æ è ç ö ø ÷ n . 5.(2004复旦大学)已知n∈N*,证明:1+ 1 23 + 1 33 +…+ 1 n3 <3. 6.设n≥3,x1,x2,…,xn ∈ [0,1].证明:存在i,1≤i≤n-1,使得xi(1-xi+1)≥ 1 4 x1(1-xn). 7.设ai≥1(i=1,2,…,n).证明:(1+a1)(1+a2)…(1+an)≥ 2n n+1 (1+a1+a2+…+an). 8.设n为正整数,正实数a1,a2,…,an 满足:∑ n i=1 ai=∑ n i=1 1 a2i .证明:对任一正整数m∈{1, 2,…,n},必存在集合{a1,a2,…,an}的一个m元子集,该子集中全体元素之和 ≥m. 9.设a1,a2,…,a8∈R+,a1+a2+…+a8=20,a1a2…a8=4.求证:a1,a2,…,a8中 至少有一个数小于1. 10.已知a,b,c>0且a+b+c≥abc.证明:下列三个不等式中,至少有两个成立: 2 a + 3 b + 6 c ≥6, 2 b + 3 c + 6 a ≥6, 2 c + 3 a + 6 b ≥6. 51第二讲 不等式的性质与证明 第三讲 不等式的解法 教材知识回顾 1.解不等式的基本思想 解不等式的基本思想是依据不等式的基本性质进行等价转化,化归为一元一次或一元二次 不等式. 2.一元一次不等式、一元二次不等式及一元高次不等式的解法 (1)一元一次不等式ax>b的解法 ① 当a>0时,其解集为 xx> b{ }a ; ② 当a<0时,其解集为 xx< b{ }a ; ③ 当a=0时,当b≥0时,其解集为空集;当b<0时,其解集为R. (2)关于x的一元二次不等式ax2+bx+c>0(或 <0,≥0,≤0)的解法,其中设a>0, 记方程ax2+bx+c=0的两个实根为x1,x2,且x1≤x2. 类型 解集 ax2+bx+c>0 ax2+bx+c≥0 ax2+bx+c<0 ax2+bx+c≤0 Δ>0 {x|xx2} {x|x≤x1 或x≥x2} {x|x1 a2> … >an.把a1,a2,…,an对 应标在数轴上,且把数轴分成n+1个区间,则f(x)从最右一个区间(a1,+∞)到最左边区间 (-∞,an)内的取值必定是正负相间的,且在最右边的区间(a1,+∞)上必为正;于是f(x)> 0(<0)的解集就是f(x)为正(负)值的区间的并集. 特别注意在分解因式时若有偶次因式出现,函数f(x)在各区间的取值正负不是相间变化,需 61 名牌大学自主招生同步辅导 高中数学上册 把符号在数轴上表示出来. 3.分式不等式的解法 将分式不等式化为高次不等式(组)求解,即设f(x),g(x)是关于x的多项式函数,则 f(x) g(x) >0(<0)⇔f(x)g(x)>0(<0); f(x) g(x) ≥0(≤0)⇔ f(x)g(x)≥0(≤0), g(x)≠0{ . 4.无理不等式的解法 (1) f(x)< g(x)⇔0≤f(x)g(x)⇔ f(x)≥0, g(x)<0{ .或 f(x)≥0, g(x)≥0, f(x)> [g(x)]2 ì î í ïï ïï . 知识拓展与例题精讲 1.一元高次不等式的解法 【例1】 解不等式 (1)x3-2x2-x+2≥0; (2)(x+2)2(x-1)(x-2)(x-3)≤0; (3)(x+4)(x+5)2(2-x)3<0; (4)(x2+x+1)(x+1)(x+2)(x+3)>0. 解 (1)原不等式等价于 (x+1)(x-1)(x-2)≥0. f(x)=(x+1)(x-1)(x-2)=0的三个根-1,1,2把数轴分成4段,如图3 1,序轴标根, 取f(x)非负值的区间,故得原不等式的解集为 {x|-1≤x≤1或x≥2}. 图3 1 图3 2 (2)由于f(x)= (x+2)2(x-1)(x-2)(x-3)=0的根-2,1,2,3把数轴分成5个区 间,如图3 2序轴标根,取f(x)非正值的区间,故得原不等式的解集为 {x|x≤1或2≤x≤3}. 71第三讲 不等式的解法 (3)原不等式等价于 (x+4)(x+5)2(x-2)3>0. 由于f(x)= (x+4)(x+5)2(x-2)3=0的根-5,-4,2把数轴分成4个区间,如图3 3序轴标根,取f(x)正值的区间,故得原不等式的解集为 {x|x<-5或-52}. 图3 3 图3 4 (4)由于对x∈R,总有x2+x+1>0.则原不等式等价于(x+1)(x+2)(x+3)>0. f(x)= (x+1)(x+2)(x+3)=0的三个根-1,-2,-3把数轴分成4个区间,如图3 4 序轴标根,取f(x)正值的区间,故得原不等式的解集为 {x|-3-1}. 2.分式不等式的解法 【例2】 解下列分式不等式 (1)2x 2-3x+1 3x2-7x+2 <0; (2) (x-1)2(x+2) (x-3)(x-4) ≤0; (3)x 2-x-14 x2-3x-4 ≤2; (4) 2x-3 x-3 > 2x-3 3x-2 . 解 (1)原不等式等价于 (2x-1)(x-1) (3x-1)(x-2) <0,即 (2x-1)(x-1)(3x-1)(x-2)<0. 如图3 5序轴标根,故原不等式的解集为 1 3 ,æ è ç ö ø ÷ 1 2 ∪ (1,2). 图3 5 图3 6 (2)原不等式等价于 (x-1)2(x+2)(x-3)(x-4)≤0, (x-3)(x-4)≠0{ . ① ② 由f(x)=(x-1)2(x+2)(x-3)(x-4)=0的4个根-2,1,3,4把数轴分为5个区间, 如图3 6序轴标根,故不等式①的解集为 {x|x≤-2或x=1或3≤x≤4}.而不等式 ② 的解 集为{x|x∈R但x≠3且x≠4}.从而原不等式的解集为(-∞,-2]∪ {1}∪ (3,4). (3)原不等式等价于 (x-2)(x-3) (x+1)(x-4) ≥0,即 81 名牌大学自主招生同步辅导 高中数学上册 (x-2)(x-3)(x+1)(x-4)≥0, (x+1)(x-4)≠0{ . ① ② 由f(x)= (x-2)(x-3)(x+1)(x-4)=0的4个根-1,2,3,4把数轴分为5个区间, 如图3 7序轴标根. 故不等式①的解集为 {x≤-1或2≤x≤3或x≥4}.而不等式②的解集为 {x|x∈R,但 x≠-1且4}.从而原不等式的解集为(-∞,-1)∪ [2,3]∪ (4,+∞). 图3 7 图3 8 (4)原不等式等价于2x-3 x-3 - 2x-3 3x-2 >0,即 (2x-3)(2x+