3-4—4-4

§3-4 3-4 3-4 3-4 无穷维空间情况 有限维 无穷维空间 厄米算符 ①离散本征值谱 可数 ②连续本征值谱（例动量） 不可数 厄米算符完备组 A A A A ① 离散本征值谱 ij i ji ia δ= ∞== ,,2,1iiA ⋯ nnnn 无 穷 多 个 { } 2 11 1 1 1 ∑ ∞ =∑ ∞ == ∑ ∞ = =∑ == = ii i i iii ii ii i ψψψψψ ψ ψψ 归一化 基矢 , 则 ψi i ② 本征值连续变化，无法编号，用本征值本身给本征矢编号 pppP xxxX aaaA = = = 例 连续实变量 本征方程 上的分量在基矢 aψ 连续本征矢的正交归一化关系 假设本征矢量有完全性类比 )1(1d =∑=∫ iiaaa i ( )aaaaaa ψψψ ψ ∫=∫= dd 可用此展开 连续 ( ) ( ) ( ) ( ) ）（对比 或 ii iiaaaa aaaaa aaaaa a ′=′−′=′⇒ ∫ ′=′ ∫ ′=′⇒ ×′ δδ ψψ ψψ d d 物理上需要）空间（物理 空间），超出数学上（空间，模无穷大扩大 空间模有限，数学上 ∵ilbert ilbertaailbert ilbert H H0H H δ= aaaaaa ⊥′≠′=′ ,0 当 2 dd1 ∫∫ === ψψψψψ aaaaa 有限 说明这种本征矢同HilbertHilbertHilbertHilbert空间中所有其它归一化矢量 的内 积都是有限的。QMQMQMQM存在这样的算符，其本征值谱在一个区间是 离散，在另一区间是连续的，则 ψ 0)( 1d =′−=′= =+∫∑ aaaaaaaa aaaaa iijji i ji δδ 正交归一化 连续谱的算符 离散谱的算符 ij j a i a aa δδδ =↔′− ↔∫ ∑ )( 一部分离散谱 一部分连续谱 各种关系一一对应，作一般讨论，希望两种 情况都适用。约定取和或积分是随意的 ： } 都适用对{ 简洁，适于理论推导，但不具体 §4 4 4 4 象理论 §4-1 4-1 4-1 4-1 矢量和算符的矩阵表示 表示 抽象 具体 例三维物理空间 X � （x,y,zx,y,zx,y,zx,y,z） ((((坐标表示)))) { } g群 )(gT ψϕ ϕψ A BA =关系 算符 矢量 , , 一组数字表示 ((((群表示)))) { } { } i i ε 选定一组基矢 ∞ 物理上，取几个有物理意义的 厄米算符构成对易完备组KKKK ( ) ni ,...,2,1= ikiK i = 基矢用它们的共同本征矢作 算符完备组中各算符本征值序号的集合 QMQMQMQM，取定这样一组基矢称为取一个表象，该表象用算符完备组 KKKK命名，称KKKK表象。 空间中任意矢量 ，用它展开： ψ ϕ， i ii i ii iii iii ϕϕϕ ψψψ ∑∑ ∑∑ == == 复数 在 上的分量 上的投影在 ii i ψψ ψ i { } ψψ 就能确定抽象）（知道具体 ,2,1 ni i …= 两矢量的内积： i i i i ii ψϕψϕψϕ ∑∑ == * 分量表示 1111 一组数具体表示一个算符 ψ ψϕ ψϕ iiAj Ajj j A i ∑= =⇒ × = 确定A，确定数 iji i j A ψϕ ∑=即 ﹋ jiA 如果把左矢,,,,右矢和算符写成下列矩阵形式,,,,则上述这些分量关 系成为矩阵间的乘法关系 ( ) ( ) ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ → →→ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ → ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ → nnnn n n nn nn AAA AAA AAA A ⋯ ⋯⋯⋯⋯ ⋯ ⋯ …… ⋮⋮ 21 22121 11211 ** 2 * 1 ** 2 * 1 2 1 2 1 , , ϕϕϕϕψψψψ ϕ ϕ ϕ ϕ ψ ψ ψ ψ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ →= ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ → n nnnn n n n n n AAA AAA AAA A ψ ψ ψ ϕ ϕ ϕ ψϕ ψ ψ ψ ϕϕϕψϕ ⋮ ⋯ ⋯⋯⋯⋯ ⋯ ⋯ ⋮ ⋮ ⋯ 2 1 21 22121 11211 2 1 2 1 ** 2 * 1 )( 则矢量的相加、数乘和内积，算符的相加和相乘，算符对矢量 的作用等都可用具体的矩阵表示。除加法以外的所有运算全部 成为矩阵的乘法， 例如： ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ =→= nnnn n n nn AAA AAA AAA A ⋯ ⋯⋯⋯⋯ ⋯ ⋯ ⋯⋯ 21 22121 11211 ** 2 * 1 ** 2 * 1 )()( ψψψϕϕϕψϕ ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ∑ nnnn n n nnnn n n nnnn n n k BBB BBB BBB AAA AAA AAA CCC CCC CCC iBkkAjiCj ⋯ ⋯⋯⋯⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯⋯⋯⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯⋯⋯⋯ ⋯ ⋯ 21 22221 11211 21 22221 11211 21 22221 11211 对两个算符乘积 C=AB C=AB C=AB C=AB,,,,有 ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ → ** 2 * 1 * 2 * 22 * 12 * 1 * 21 * 11 ** 2 * 1 2 1 )( nnnn n n n n ϕψϕψϕψ ϕψϕψϕψ ϕψϕψϕψ ϕϕϕ ψ ψ ψ ϕψ ⋯ ⋯⋯⋯⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋮ 通过在矢量空间中建立基矢，找到用矩阵具体表示矢量、 算符和它们之间的关系，便于具体的运算和求出具体的 结果。 对应 抽象 右矢空间 ψ 内 积 左矢空间 ϕ 具体化 将抽象矢量空间与具体的新矢量空间————————矩阵空间 一一对比： 行矩阵空间 矩阵+ + + + × 列矩阵空间 矩阵+ + + + × ： 在基 上的分量 用一组数表示新矢量空间 i ψ ψ i 内 积 ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ n ψ ψ ψ ⋮ 2 1 ( )**2*1 nψψψ … ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ 对行矩阵作用，在右边 对列矩阵作用，在左边 一对对偶左右矢空间 一对对偶行列矩阵空间 算符 ψϕ A ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ n nnnn n n n AAA AAA AAA ψ ψ ψ ϕϕϕ ⋮ ⋯ ⋯⋯⋯⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 2 1 21 22121 11211 ** 2 * 1 )( 方矩阵————共同算符 矩 阵 乘 法 §4-2 4-2 4-2 4-2 表象变换 一个空间不同的基 矢量和算符的不同表象 表象KKKK 矢量 算符 基矢 完全性关系 ψ A 1=∑ i i i εε 变换关系 表象LLLL ？ { } α ν { } i ε 1=∑ α α α νν 已知矩阵表示 幺正矩阵的矩阵元 αα α α αα α α ααα νε νεννε ενεεν ii iii i i ii i i U U U = == == −∑∑ ∑∑ 1 行 列 按 序 号 编 号 i ε 按 序 号 编 号 α ν 与一个幺正算符在某表象中的表示矩阵有 所不同 是幺正矩阵 一幺正矩阵的逆矩阵元→=− iαi U εν α 1 行列编号与 相反 U 满足 αββαα α α δδ == ∑∑ −− i i iijji UUUU 11 , ( ) 1** −+ ==== iiii i UUU αααα α εννε U 矢量 i i ii i i ψεψεεψ ∑∑ == α α αα α α ψνψννψ ∑∑ == 表象变换————————求变换关系 i i i i i i U ψψ ψεενψν αα αα ∑ ∑ −=⇒ = 1 矢量的表象变换 已知 ∆ ( ) ( )( ) αα α α α ψψ ψψ ii ii U U = =∑ 写成矩阵形式 ( ) ( )( ) ii U ψψ αα 1−= 反过来， ∆′ 矢量的表象变换 1 , , 1 − − ∑ ∑ = =⇒ jiij jij ji i UAUA UAUA βαβ βα α βααβ 算符 A jiij AA εε= βααβ νν AA = βαβα νεεεεννν jji i j i AA ∑∑= 反过来， 算符的表象变换 表象变换改变矢量 与算符 的矩阵表示，但不改变 的数值。 ψ ϕψ A, ϕψ 实际上，数学上的表象变换 酉变换 复空间 欧式空间 正交变换 保持任意矢量的长度的线性变换 ﹋ A 幺正变换 §4-3 4-3 4-3 4-3 若干矩阵运算 A 方矩阵 A 的迹迹迹迹定义： ∑= i ii AATr A的性质： ( ) ( ) BAAB trtr = A的行列式行列式行列式行列式： Nn nabc cbanabc nN nabc cbanabc AAAA AAAAA ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ∑ ∑ = = 321 321det ε ε ( ) ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ =× NNNN N N NN AAA AAA AAA A ⋯ ⋯⋯⋯⋯ ⋯ ⋯ 21 22221 11211 = nabc ⋯ε 的偶置换是若 Nnabc ⋯⋯ 123,1+ 的奇置换是若 Nnabc ⋯⋯ 123,1− 其它 性质： ( ) BAAB detdetdet ⋅= ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Nnba ncba nnbbaa nabc nabc n Nnnn b bbb a aaa nabc nabc nN nabc cba nabc BBBAAA BABABA ABABABABAB ′′′ ′′′′ ′′′ ′ ′′ ′ ′′ ′ ′′ ∑ ∑ ∑∑∑∑ ∑ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = = = ⋯⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 21 21 321det ε ε ε 0,为ba ′=′ ”相差“ ，与， − =′=′=′=′ 12,21 baba② ① Proof:Proof:Proof:Proof: ( ) BA BBBA BBBA Nnba ncba ncba Nnba ncba ncba detdet det det 21 21 ⋅= = = ′′′ ′′′′ ′′′′ ′′′ ′′′′ ′′′′ ∑ ∑ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ε ε AAAA ba AAAA ncnnba nabc nabc ncbannbbaa nabc nabc det 1 det 1111 ′′′ ′′′′′′′ = =′=′ = ∑ ∑ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ εε εε 则 若 附： =0=0=0=0 nnba nbac nbac nnab nabc nabc AAA AAAlhs ′ ′ ∑ ∑ = = ⋯ ⋯∵ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 11 11 ε ε ba↔ 0 11 11 = −= = ′ ′ ∑ ∑ nnba nabc nabc nnba nabc nbac AAA AAA ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ε ε 算符 的迹和行列式在任何 表象中有相同的值 性质： BA BA detdet TrTr = = 在表象变换下不变 算符的表象变换是一种相似变换 ⇒知道 A 矩阵的相似变换 （ 方阵）A AUUA 1−→ 幺正 U AUUB 1−= 称 相似BA, 数学上定义不要求 为幺正 定理：任何厄米矩阵都可通过相似变换（实际上为幺正变换）成 为对角矩阵 ProofProofProofProof：采取直接把变换矩阵给出来的证法。 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ,,, ),,,2,1( 2 1 2 2 2 2 1 2 1 1 2 1 1 1 ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = =⊥ → n n n n n nn i nin AAn ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ⋮ ⋯ ⋮⋮ ⋯ 其矩阵形式：的归一化本征矢个互相的 表示矩阵表象后，厄米算符维空间确定一个确定的设在 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ == = = n nnn n n i jji i jji ii j UU UU jij ψψψ ψψψ ψψψ ψ ψ ψψ ⋯ ⋮⋮⋮⋮ ⋯ ⋯ 21 2 2 2 1 2 1 2 1 1 1 ,, ； 即取幺正矩阵 个个分量，用这些构造一个本征矢的第第—式中 对角化可把该幺正矩阵 AU ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) +− ++ ++ =∴ == ====∴ ∆== ⊥ ∑∑∑ ∑ UUU UUUU UUUUUU U ij j k k i k kj k kikj k ikij ij j k k i k ji i 1 ** * 11 为幺正矩阵， ，，同样可证明证明了 彼此由于 为幺正矩阵证： δψψ δψψψψ ψ ① ( ) ( ) ( ) ( ) ( )j l kl lk k l i k ljklki ljkl lk ik ljkl lk ikij ij AUAU UAUUAUAUUA AU ψψ∑ ∑∑ ∑∑ == ===′ +−− , ** ,, 11 对角化可把证② ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 次。在对角元中出现则 重简并，若有的本征值，本征值对角元是 对角矩阵 写成矩阵形式的本征矢，是但 ma maA aaaA aA aAA j j ijj j k k i k j j k j k i k ij j k j j l l kl j j jj →===′⇒ = = ∑∑ ∑ δψψψψ ψψ ψψψ ** , 中呈对角矩阵厄米算符在自己的表象 矩阵对角化自身表象表象原来表象 A 幺正变换矩阵U ( )∆ §4-4 4-4 4-4 4-4 连续本征值性质 离散 连续 表象理论 有限维空间 推广 无限维 表象基矢无穷维 形式推广 ∑ = k i 1 ∑ ∞ =1i ∫ 在无穷维空间中取KKKK表象，而厄米算符或对易的厄米算 符完备组KKKK具有在某一区间的连续值谱。 ( ) ( ) kkkkkk kkkkkk kkk kkkK dd dd 1d ∫∫ ∫∫ ∫ == == = = ϕϕϕ ψψψ 出发点 ( ) 与矢量本身等价函数形式的 表象中在，故复函数 的连续上的分量是在基 Kk Kk ψψ ψ ( ) ( ) ψϕ ψϕψϕψϕ A kkkkkk = == ∫∫ dd * 形式表示：又两矢量内积可用函数 ( ) ( ) ( ) kkkkAk kkkAkk K ′′′=⇒ ′′′= ∫ ∫ d, d ψϕ ψϕ 表象中，在 双变量函数表象中是在KA 离散表象 连续表象 ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⋯⋯⋯⋯ ⋯⋯⋯ ⋯ ⋯ ij ij A AA AA A A 2221 1211 ψ 数列 函数 i ψ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⋮ ⋮ i ψ ψ ψ 2 1 行第i ( ) ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ →→ ⋮ ⋮ kk k ψψψ 行第 连续列矩阵 k 双变量函数 （对行矩阵和方阵 同样理解） 双下标数列 ( ) ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ →→′ ′ ′ ⋯⋯⋯⋯ ⋯⋯⋯ ⋯ ⋯ kk kk A AA AA AkkA 2221 1211 , ( )⋯⋯ **2*1 ,, iϕϕϕϕ → ( ) ( )⋯⋯ *** kk k ϕϕϕ →→ ∑ i ∫ kd 所有运算都是矩阵的乘法关系 这样把离散连续表象的的记法做到完全的一一对应，统一写成： ( ) 离散下的到离散表象中： 连续变化的到连续表象中： →→ →→ kk i i ψ ψ 样适用。表象时，那里的讨论同中的一方或双方是连续当 ，且有上述约定，表象都假定为离散表象讨论表象变换时，在 LK LK , ,24 −§