5-1—5-2

§5 5 5 5 矢量空间的直和与直积 用已知矢量空间 构造大的矢量空间 1 2 R R 两种方法 直和 直积 §5-1 5-1 5-1 5-1 直和空间 , , , , , ,A B L M α β ψ ϕ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 矢量： ， ，， ， ，， 算符： 1R 2R （+） 考虑一种““““双矢量””””： 作为数学对象不计次序 α ψ α ψ β ϕ β ϕ ⊕ ⊕ 矢量 与 的直和 矢量 与 的直和 这一类双矢量及其叠加可构成一个新的矢量空间 定义该矢量空间的三种运算： 加法： ( ) ( ) ( ) ( )α ψ β ϕ α β ψ ϕ⊕ + ⊕ = + ⊕ + 新的直和空间中的加法 1R中的加法 中的加法2R 内积可按分配律展开 加法单位元((((零矢))))： φ φ φ= ⊕（1） （2） 1R 的加法单位元 2R 的加法单位元 数乘： ( )a a aα ψ α ψ⊕ = ⊕ 内积： ( )( )α ψ β ϕ α β ψ ϕ⊕ ⊕ = + 如认定不同空间中矢量的内积为0000 ⇒ ⇒ 上述定义满足(1) (12)(1) (12)(1) (12)(1) (12)的所有条件，构造了一个新的 矢量空间 ,,,,说 是 和 的直和空间，记 1 2R R R= ⊕ 1 , ,R A B ⋯算符中的 2 , ,R L M ⋯算符中的 构造直和空间RRRR中的算符 称 两算符的直和 A L⊕ ,A L ×( )( )( )( ) R 1R 2R 用 (5.4)(5.4)(5.4)(5.4) （&&&&）(5.6(5.6(5.6(5.6)))) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) Pr :oof A L B M A L B M AB LM AB LM α ψ α ψ α ψ α ψ ′∆ ⊕ ⊕ ⊕ = ⊕ ⎡ ⊕ ⎤⎣ ⎦ = ⊕ = ⊕ ⊕ 其作用为 ( )( )A L A Bα ψ α ψ⊕ ⊕ = ⊕ 认定为0000 按分配律展开 算符的 可根据上述定义 加法 乘法 ⇒ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) A L B M A B L M A L B M AB LM ⊕ + ⊕ = + ⊕ + ∆ ′⊕ ⊕ = ⊕ ∆ （&&&&） （&&&&） （&&&&） （####） (5.6)(5.6)(5.6)(5.6) ( )( )A B A Bψ ψ ψ+ = + 直和空间加法定义 P17P17P17P17 讨论直和空间 的维数 由 的加法定义(+)(+)(+)(+)， 中任意两个双矢量形式的 叠加仍可写成双矢量形式，即 中的全部矢量，都是形 如 的矢量。 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Pr :oof A L B M A L B M A L B M A B L M A B L M A B L M α ψ α ψ α ψ α ψ α ψ α α ψ ψ α ψ α ψ ∆ ⊕ + ⊕ ⊕⎡ ⎤⎣ ⎦ = ⊕ ⊕ + ⊕ ⊕ = ⊕ + ⊕ = + ⊕ + = ⎡ + ⎤⊕ ⎡ + ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦ = + ⊕ + ⊕⎡ ⎤⎣ ⎦ 算符和定义 算符直和定义 （&&&&） （####） （5.65.65.65.6） （++++） 1 2R R⊕ 1 2R R⊕ 1 2R R⊕ 1 2R R⊕ α ψ⊕ { }( ) { }( ) ( ) ( ){ } 1 1 2 2 2 1 1 2 1,2, , 1, 2, , i m i m R K i n R P m n R R ν ε ν φ φ ε = = ⊕ ⊕ ⊕ ⋯ ⋯ 表象 基矢 表象 基矢 ， 1 2 1 2 n n n n （ + ）个基矢 （ + ）维数 KP K P⊕ 表象 表象 ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) 2 1 2 1 2 1 i i m m i m i i m m i m i i m m i m i i m m i m α ψ ν α ε ψ ν α φ φ ε ψ ν α φ φ ε ψ ν φ α φ ε ψ ⊕ = ⊕ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = ⊕ + ⊕⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ = ⊕ + + = ⊕ + + ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ (+)(+)(+)(+) ???? (*) (*)是 的基矢,,,,且是 的本征矢。证明如下：1 2R R⊕ K P⊕ ( )( )( )( )× (+)(+)(+)(+) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )2 1 1 2 0 0 0 i m i m ν φ φ ε ν φ φ ε⊕ + = + = + = ( )( ) ( )( ) ( ) ( )2 2 2 2 0 i j i j ij ij ν φ ν φ ν ν φ φ δ δ⊕ ⊕ = + = + = ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 2 2 2 2 2 i i i i i i i i i K P K Pν φ ν φ λ ν φ λ ν λ φ λ ν φ ⊕ ⊕ = ⊕ = ⊕ = ⊕ = ⊕ 练习2.62.62.62.6 本征矢 ( ) ( ){ }2 1 ( ) i m K P KP ν φ φ ε∴ ⊕ ⊕ ⊕ 以 ， 为基矢的表象 是 表象 讨论 中，矢量 和算符 的矩阵表示1 2R R⊕ { } { } ( ) 1 1 2 2 1 2 3 1 2 (2 ) (3 ) 5 R K R P R R ν ν ε ε ε ⊕ 维 ， 表象 维 ， ， 表象 维 例： 1 1 2 2 3 ψ α α ψ ψ α ψ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ α ψ⊕ A L⊕ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 1 2 2 1 1 3 1 4 2 1 5 3 E E E E E ν φ ν φ φ ε φ ε φ ε = ⊕ = ⊕ = + = + = + ， ， ， ， { } KP K P⊕ 表象 （ 表象） 1 2 1 2 3 α α α α ψ ψ ψ ψ ψ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⊕ = ≡ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ﹍ 11 12 13 11 12 21 22 23 21 22 31 32 33 L L L A A A L L L L A A L L L ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 11 12 21 22 11 12 13 21 22 23 31 32 33 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ij mn A i A j L m L n A A A O A A A L L L L L L L L L L O L = = ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⊕ = = ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ---------------------------- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 1 2 R R 1 2R R⊕在 中： 算符 ( ) ( ) 2 1 A A L L ο ο ⊕ ⊕ 指 指 ( )2 R ( )1 R 讨论子空间的直和： 是 的子空 间， R 大1 2 R R ο 1R 2R R 大 1 2R R⊕ ⊕直和号 可改为加号 ( ) ( ) R α ψ β ϕ α β ψ ϕ α ψ ⊕ + ⊕ = + ⊕ + + ∵ ⇕ 大空间中的加法适用于所有矢量 1 2 1 2 1 2,R R R R R R⊂ ⊕ ⊂ ⊕且 与 中的矢量叠加 只有当((((右图))))，才可谈 算符 定义在 空间，则在 中通用，没有 概念 例 ( )3 1 2R R R R⊕ = = 大 R 大 1 2 R R A L A L⊕ (&)(&)(&)(&)、 1R xoy= oooo xxxx zzzz yyyy 2R z= (*) ( )3 1 2 1 2 4 R R oxyz R xoy a i b j R yoz c j d k R R = = = + = + ⊕ 大 个基矢 当两个子空间含有共同的非零矢量时,,,,不能讨论这两个子 空间的直和。 例如 oooo zzzz xxxx yyyy 相同的方法讨论两个以上空间的直和 1 2 3R R R⊕ ⊕ 另外不能满足内积（5.45.45.45.4） § 5-2 5-2 5-2 5-2 直积空间 { } { } 1 2 1 2 : , , : , , : R R R R α β ψ ϕ α ψ α ψ αψ⊗ ⊗ = = ⋯ ⋯ 双矢以及其叠加 三种运算规则————————不同于直和空间的运算规则 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 α ψ β ϕ α ψ β ϕ α β ψ ϕ φ φ φ + ⊕ + ⊕ = + ⊕ + = 加法： 是一个新矢量，一般不能表示为双矢量的形式， 这与直和空间的加法不同： 加法单位元： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) a a aα ψ α ψ α ψ α ψ β ϕ α β ψ ϕ α β ψ α ψ β ψ = = = + + = + 数乘： 内积： 直积分配律 1 2R R⊗1R 上述定义满足(1)(1)(1)(1)————(12)(12)(12)(12)的条件，构成新的矢量空间，称 的直积空间，记为 1 2R R和 1 2R R⊗ ( )( )A L A Lα ψ α ψ⊗ ⊗ = ⊗ 算符运算有关系： , , A B L M 1 2R R⊗ 1 2 R R ( )A L⊗ 在 算符 中的算符 定义为： （oooo） （□） ( ) ( ) ( )( ) ( ) A B L A L B L A L B M AB LM + ⊗ = ⊗ + ⊗ ∆ ′⊗ ⊗ = ⊗ ∆ 直积空间中的算符乘法 1R 2R ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) Pr :oof A B L A B L A B L A L B L A L B L A L B L α ψ α ψ α α ψ α ψ α ψ α ψ α ψ α ψ ∆ + ⊗ ⊗ = + ⊗ = + ⊗ = ⊗ + ⊗ = ⊗ ⊗ + ⊗ ⊗ = ⊗ + ⊗ ⊗ C（□） 算符和定义 （oooo） （□） 算符和定义 (#)(#)(#)(#) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) Pr :oof A L B M A L B M A B L M AB LM AB LM α ψ α ψ α ψ α ψ α ψ ′∆ ⊗ ⊗ ⊗ = ⊗ ⊗ = ⊗ = ⊗ = ⊗ ⊗ （□） （□） 算符乘积定义 （□） (#)(#)(#)(#) 1 2 :R R⊗在 算符 ( ) ( ) 2 1 A A I L I L ⊗ ⊗ 指 指 中的单位算符 1R 2R ( ) ( )2 1 A L A I I L+ = ⊗ + ⊗ 1 2 1 2R R R A R L⊗ ∵中的加法， 中的 和 中的 没法加 ( ) K P KP ⊗ 表象 { }( ) { }( ) { } 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1,2, , 1,2, , i m m i m i m R R R K i n R P m n R R E n n ν ε ν ε ν ε ⊗ = = ⊕ = ⊗ = × ⋯ ⋯ 讨论 中的维数 ： 表象 基矢 ： 表象 基矢 ： （共 个） ( ) ( ) , , i i m m i m i m i m i m im im i m E α ψ α ψ ν α ε ψ ν ε αψ αψ = ⊗ = ⊗ = ⊗ = ∑ ∑ ∑ ∑ ？ ( )∗∗ 是 的基矢,,,,且是 的本征矢。证明如下：1 2R R⊗ K P⊗( )∗∗ ( ) ( ) 1 2 1 2 i m i m i i m m i m i m i m im im i m i m K P K P E E n n R R ν ε ν ε ν ν ε ε ν ε ν ε ν ε ν ε ν ε ⊗ ⊗ = ⊗ = ⊗ = ⊗ = = ⊗ = × ⊗共 个，是 的维数基矢 im E ⇒本征矢 ( ) im E K P KP∴ ⊗以 为基矢的表象是 表象 im jn i m j n i j m n ij mn E E ν ε ν ε ν ν ε ε δ δ= = = 1 2 1 22, 3 R R A L n n K P α ψ α ψ ⊗ ⊗ ⊗ = = ⊗ ⊗ 讨论 中，矢量 和算符 的矩阵表示 例： 表象中 ( ) ( ), i m j n ij mnim jn A L K P A L A L A Lν ε ν ε ⊗ ⊗ ⊗ = ⊗ = 算符 在 表象中的矩阵形式是 行 列 行 列 ( ) 1 1 1 2 1 1 31 2 2 2 1 3 2 2 2 3 αψ αψ ψ αψ α α ψ ψ α α ψ ψ α ψ α ψ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎛ ⎞ ⎜ ⎟⎛ ⎞ ⎜ ⎟⊗ = ⊗ = ∆⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 12,34 13 24 12,23 12 23 11 12 13 11 12 21 22 23 21 22 31 32 33 12 34 12 A L A A L A L A A L L L L A A A L L L L A A L L L ⊗ = ⊗ = ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟⊗ = ⊗⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 例 矩阵的第 行第 列的元是 矩阵的第 行第23列的元是 11 11 11 12 11 13 12 11 12 12 12 13 11 21 11 22 11 23 12 21 12 22 12 23 11 31 11 32 11 33 12 31 12 32 12 33 21 11 21 12 21 13 22 11 22 12 22 13 21 21 21 22 21 23 22 21 22 22 22 23 21 31 21 32 21 33 A L A L A L A L A L A L A L A L A L A L A L A L A L A L A L A L A L A L A L A L A L A L A L A L A L A L A L A L A L A L A L A L A L A = ( ) 22 31 22 32 22 33L A L A L ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ∞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 11列 12列 13列 21列 22列 23列 ( )12,23A L⊗ im,jn 11行 12行 13行 21行 22行 23行 行 列 行 列 11 12 21 22 1 2 3 3 3 1 A L A L A L L A L A L αψ α ψ ψ α ψ ⎛ ⎞ ⊗ = ×⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⊗ = ×⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 矩阵 矩阵 ———————— ———————— ( )( ) 6 1 A L α ψ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟∆⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⊗ ⊗ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠ × □ 第2222行 第1111行 ( ) ( ) ( ) 11 11 1 1 11 12 1 2 11 13 1 3 12 11 2 1 12 12 2 2 12 13 2 3 2 3 11, 1 1 j n jn j n A L A L A L A L A L A L A L αψ αψ αψ α ψ α ψ α ψ α ψ = = ∆ ∞ ⇒ = + + + + + = ⊗∑∑ 利用 ， 列 C jn 列 ( ) 11 21 1 1 11 22 1 2 11 23 1 3 12 21 2 1 12 22 2 2 12 23 2 3 2 3 12, 1 1 j n jn j n A L A L A L A L A L A L A L αψ αψ αψ α ψ α ψ α ψ α ψ = = ∆ = + + + + + = ⊗∑∑ □ C jn 列列 ( )( ) 111 12 13 111 12 21 22 23 2 21 22 2 31 32 33 3 11 1 12 2 13 3 11 1 12 2 21 1 22 2 23 3 21 1 22 2 31 1 32 2 33 3 A L A L L L L A A L L L A A L L L L L L A A L L L A A L L L α ψ α ψ ψ α ψ α ψ ψ ψ ψ α α ψ ψ ψ α α ψ ψ ψ ⊗ ⊗ = ⊗ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟= ⊗⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ + +⎛ ⎞ +⎛ ⎞ ⎜ ⎟= ⊗ + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟+⎝ ⎠ ⎜ ⎟+ +⎝ ⎠ 又 11 11 1 1 11 12 1 2 11 13 1 3 12 11 2 1 12 12 2 2 12 13 2 3 11 21 1 1 11 22 1 2 11 23 1 3 12 21 2 1 12 22 2 2 12 23 2 3 A L A L A L A L A L A L A L A L A L A L A L A L αψ αψ αψ αψ αψ αψ αψ αψ αψ αψ αψ αψ + + + + +⎛ ⎞ ⎜ ⎟+ + + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠ □ ∆⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 1 2 3 R R R ⊗ ⊗ 相同的方法讨论两个以上空间的直积