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导数在不等式证明中的应用

2012-10-20 1页 pdf 410KB 61阅读

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导数在不等式证明中的应用 95 科技咨询导报 Science and Technology Consulting Herald 学 术 论 坛 2007 NO.05 Science and Technology Consulting Herald科技咨询导报 数学问题的解决关键在于我们对待数学 问题的方法,如果在学习数学的过程中,我们 能有意识地将数学问题系列化,解决数学问 题的方法系列化,那么解决数学问题的能力 将会得到升华。在高等数学的学习中,不等式 的证明是可以作为一个系列问题来看待的, 不等式的证明是数学的重要内容之一,也是 难点之一...
导数在不等式证明中的应用
95 科技咨询导报 Science and Technology Consulting Herald 学 术 论 坛 2007 NO.05 Science and Technology Consulting Herald科技咨询导报 数学问题的解决关键在于我们对待数学 问题的方法,如果在学习数学的过程中,我们 能有意识地将数学问题系列化,解决数学问 题的方法系列化,那么解决数学问题的能力 将会得到升华。在高等数学的学习中,不等式 的证明是可以作为一个系列问题来看待的, 不等式的证明是数学的重要内容之一,也是 难点之一,其常用的方法有:比较法、综合法、 分析法、重要不等式法、数学归纳法等,而有 一些问题用上述方法解决是困难的,在学完 中值定理与导数的应用的内容以后,可以利 用拉格朗日中值定理与函数的单调性解决一 些不等式证明的问题,下面举例说明。 1 拉格朗日中值定理在不等式证明中的应 用 拉格朗日中值定理是以等式形式存在 的,那么,如何利用该定理去证明不等式呢? 在拉格朗日中值公式中 ,我们根 据 在(a,b)之间的取值可以估计 取值 范围,从而得到不等式,这就是应用拉格朗日 中值定理证明不等式的思想。 用拉格朗日中值定理证明不等式的步 骤: (1)确定函数的对应法则 ,自变量所在 的区间[a,b] (2)验证函数在区间内满足拉格朗日中值 定理的条件,从而得到, (3)对 求导,从而得到 ,由 此得到由建立的一个等式。 (4)由 的范围确定 的范围,从而 验证不等式。 例1:证明:当x>0时, 分析:显然这里函数区间为[0,x] 证明:(1)令 (2) 在[0,x]上满足拉 格朗日中值定理的条件得: (3) (4)因为 所以 即当x>0时, 2 函数的单调性在不等式证明中的应用 许多不等式与函数相关,或整理后与函 数相关,我们可以先用导数的方法证明函数 的单调性,再用函数单调性的性质去证明不 等式,这就是利用单调性证明不等式的思 想 。 用单调性证明不等式的步骤: (1)确定函数自变量所在的区间[a,b] (2)求 ,确定 上的单调性。 (3)由单调性得到不等式 例 2 :证明:当 x> 1时,不等式 恒成立。 证明:令 因为x>1 所以 即当x>1时, 为增函数 所以 即 3 两种方法都可以用的例子 例3:设函数 与 在 内可导,并对任何x恒有 且 ,证明: 当x>a时, 当x
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