《常微分方程》(第三版)？课后答案

为 ，其中 为任意常数. （3）方程（2.3）任一解的常数倍或任两解之和（或差）仍是方程（2.3）的解. 证明： （2.28） （2.3） （1） 设 ， 是（2.28）的任意两个解 则 （1） （2） （1）-（2）得 即 是满足方程（2.3） 所以，命题成立。 （2） 由题意得： （3） （4） 1）先证 是（2.28）的一个解。 于是 得 故 是（2.28）的一个解。 2）现证方程（4）的任一解都可写成 的形式 设 是(2.28)的一个解 则 （4’） 于是 （4’）-（4）得 从而 即 所以，命题成立。 （3） 设 ， 是（2.3）的任意两个解 则 （5） （6） 于是（5） 得 即 其中 为任意常数 也就是 满足方程（2.3） （5） （6）得 即 也就是 满足方程（2.3） 所以命题成立。 21.试建立分别具有下列性质的曲线所满足的微分方程并求解。 （5） 曲线上任一点的切线的纵截距等于切点横坐标的平方； （6） 曲线上任一点的切线的纵截距是切点横坐标和纵坐标的等差中项； 解：设 为曲线上的任一点，则过 点曲线的切线方程为 从而此切线与两坐标轴的交点坐标为 即 横截距为 ， 纵截距为 。 由题意得： （5） 方程变形为 于是 所以，方程的通解为 。 （6） 方程变形为 于是 所以，方程的通解为 。 22．求解下列方程。 （1） 解： = = = （2） P(x)= Q(x)= 由一阶线性方程的求解公式 = = = 习题2.3 1、验证下列方程是恰当方程，并求出方程的解。 1. 解： ， =1 . 则 所以此方程是恰当方程。 凑微分， 得 ： 2． 解： ， . 则 . 所以此方程为恰当方程。 凑微分， 得 3． 解： 则 . 因此此方程是恰当方程。 （1） （2） 对（1）做 的积分，则 = （3） 对（3）做 的积分，则 = = 则 故此方程的通解为 4、 解： ， . . 则此方程为恰当方程。 凑微分， 得 ： 5.( sin - cos +1)dx+( cos - sin + )dy=0 解： M= sin - cos +1 N= cos - sin + =- sin - cos - cos + sin =- sin - cos - cos + sin 所以， = ，故原方程为恰当方程 因为 sin dx- cos dx+dx+ cos dy- sin dy+ dy=0 d(-cos )+d (sin )+dx+d(- )=0 所以，d(sin -cos +x - )=0 故所求的解为sin -cos +x - =C 求下列方程的解： 6．2x(y -1)dx+ dy=0 解： = 2x , =2x 所以， = ，故原方程为恰当方程 又2xy dx-2xdx+ dy=0 所以，d(y -x )=0 故所求的解为y -x =C 7.(e +3y )dx+2xydy=0 解：e dx+3y dx+2xydy=0 e x dx+3x y dx+2x ydy=0 所以，d e ( x -2x+2)+d( x y )=0 即d [e ( x -2x+2)+ x y ]=0 故方程的解为e ( x -2x+2)+ x y =C 8. 2xydx+( x +1)dy=0 解：2xydx+ x dy+dy=0 d( x y)+dy=0 即d(x y+y)=0 故方程的解为x y+y=C 9、 解：两边同除以 得 即， 故方程的通解为 10、 解：方程可化为： 即， 故方程的通解为： 即： 同时，y=0也是方程的解。 11、 解：方程可化为： 即： 故方程的通解为： 12、 解：方程可化为： 故方程的通解为 ： 即： 13、 解：这里 ， 方程有积分因子 两边乘以 得：方程 是恰当方程 故方程的通解为： 即： 14、 解：这里 因为 故方程的通解为： 即： 15、 解：这里 方程有积分因子： 两边乘以 得： 方程 为恰当方程 故通解为 ： 即： 16、 解：两边同乘以 得： 故方程的通解为： 17、试导出方程 具有形为 和 的积分因子的充要条件。 解：若方程具有 为积分因子， （ 是连续可导） 令 ， . ， ， ， 方程有积分因子 的充要条件是： 是 的函数， 此时，积分因子为 . 令 ， 此时的积分因子为 18. 设 及 连续,试证方程 为线性方程的充要条件是它有仅依赖于 的积分因子. 证:必要性 若该方程为线性方程,则有 , 此方程有积分因子 , 只与 有关 . 充分性 若该方程有只与 有关的积分因子 . 则 为恰当方程 , 从而 , , . 其中 .于是方程可化为 即方程为一阶线性方程. 20.设函数f(u)，g(u)连续、可微且f(u) g(u),\，试证方程yf(xy)dx+xg(xy)dy=0 有积分因子u=(xy[f(xy)-g(xy)]) 证：在方程yf(xy)dx+xg(xy)dy=0两边同乘以u得： uyf(xy)dx+uxg(xy)dy=0 则 =uf+uy +yf = + -yf = = = 而 =ug+ux +xg = + - xg = = 故 = ，所以u是方程得一个积分因子 21．假设方程（2.43）中得函数M（x,y）N(x,y)满足关系 = Nf(x)-Mg(y),其中f(x),g(y)分别为x和y得连续函数，试证方程（2.43） 有积分因子u=exp( + ) 证明：M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 即证 u +M =u +N u( - )=N - M u( - )=Ne f(x) -M e g(y) u( - )=e (Nf(x)-Mg(y)) 由已知条件上式恒成立，故原命题得证。 22、求出伯努利方程的积分因子. 解：已知伯努利方程为： 两边同乘以 ，令 ， 线性方程有积分因子： ，故原方程的积分因子为： ，证毕！ 23、设 是方程 的积分因子，从而求得可微函数 ， 使得 试证 EMBED Equation.3 也是方程 的积分因子的充要条件是 其中 是 的可微函数。 证明：若 ，则 又 即 为 的一个积分因子。 24、设 是方程 的两个积分因子，且 常数，求证 （任意常数）是方程 的通解。 证明：因为 是方程 的积分因子 所以 为恰当方程 即 ， 下面只需证 的全微分沿方程恒为零 事实上： 即当 时， 是方程的解。证毕！ 习题 2.4 求解下列方程 1、 解：令 ，则 ， 从而 ， 于是求得方程参数形式得通解为 . 2、 解：令 ，则 ，即 ， 从而 ， 于是求得方程参数形式得通解为 . 3、 解：令 ，则 ， 从而 = ， 于是求得方程参数形式的通解为 , 另外，y=0也是方程的解. 4、 , 为常数 解：令 ，则 ， 从而 ， 于是求得方程参数形式的通解为 . 5、 1 解：令 ，则 ， 从而 ， 于是求得方程参数形式的通解为 . 6、 解：令 ，则 ，得 ， 所以 ， 从而 ， 于是求得方程参数形式的通解为 ， 因此方程的通解为 . 习题2.5 2． 解：两边同除以 ，得： 即 4． 解：两边同除以 ，得 令 则 即 得到 ， 即 另外 也是方程的解。 6． 解： 得到 即 另外 也是方程的解。 8. 解：令 则： 即 得到 故 即 另外 也是方程的解。 10． 解：令 即 而 故两边积分得到 因此原方程的解为 ， 。 12. 解： 令 则 即 故方程的解为 14． 解： 令 则 那么 求得： 故方程的解为 或可写 为 16． 解：令 则 即方程的解为 18． 解： 将方程变形后得 同除以 得： 令 则 即原方程的解为 19.X( 解：方程可化为2y( 令 27. 解： 令 ， ，则 ， ， ， 两边积分得 即为方程的通解。 另外， ，即 也是方程的解。 28. 解： 两边同除以 ，方程可化为： 令 ，则 即 ， 两边积分得 即 为方程的解。 29. 解： 令 ，则 ， ， 那么 即 两边积分得 即为方程的解。 30. 解： 方程可化为 两边积分得 即 为方程的解。 31. 解： 方程可化为 两边同除以 ，得 即 令 ， ，则 即 两边积分得 将 代入得， 即 故 32. 解： 方程可化为 两边同加上 ，得 （*） 再由 ，可知 （**） 将（*）/（**）得 即 整理得 两边积分得 即 另外， 也是方程的解。 33. 求一曲线，使其切线在纵轴上之截距等于切点的横坐标。 解： 设 为所求曲线上的任一点，则在 点的切线 在 轴上的截距为： 由题意得 即 也即 两边同除以 ，得 即 即 为方程的解。 34. 摩托艇以5米/秒的速度在静水运动，全速时停止了发动机，过了20秒钟后，艇的速度减至 米/秒。确定发动机停止2分钟后艇的速度。假定水的阻力与艇的运动速度成正比例。 解： ，又 ，由此 即 其中 ，解之得 又 时， ； 时， 。 故得 ， 从而方程可化为 当 时，有 米/秒 即为所求的确定发动机停止2分钟后艇的速度。 35. 一质量为m的质点作直线运动，从速度等于零的时刻起，有一个和时间成正比（比例系数为k1）的力作用在它上面，此质点又受到介质的阻力，这阻力和速度成正比（比例系数为k2）。试求此质点的速度与时间的关系。 解：由物理知识得： 根据题意： 故： 即： (*)式为一阶非齐线性方程，根据其求解公式有 又当t=0时，V=0，故c= 因此，此质点的速度与时间的关系为： 36. 解下列的黎卡提方程 （1） 解：原方程可转化为： 观察得到它的一个特解为： ，设它的任意一个解为 ， 代入（*）式得到： 由（**）-（*）得： 变量分离得： 两边同时积分： 即： 故原方程的解为 （2） 解：原方程可化为： 由观察得，它的一个特解为 ，设它的任意一个解为 ，故 变量分离再两边同时积分得： 即 故原方程的解为 （3） 解：原方程可化为： 由观察得到，它的一个特解为 ，设它的任一个解为 ，故 ，该式是一个 的伯努利方程 两边同除以 得到： 即： ，令 ， 则： ，根据一阶非齐线性方程的求解公式得： 故： 因此：原方程的解为： （4） 解：原方程可化为： 由观察得到，它的一个特解为 ，设它的任一个解为 ，于是 ，这是 的伯努利方程 两边同除以 得到： 即： 则： 即： 故：原方程的解为： （5） 解：原方程可化为： 由观察得，它的一个特解为 ，故设它的任一个解为 ，于是 ，这是 的伯努利方程 两边同除以 得到： 即： 则： 故：原方程的解为： ，即 . （6） 解：原方程可化为： 由观察得到它的一个特解为 ，设它的任一个解为 ，于是 ，这是 的伯努利方程 两边同除以 得到： 即： 则： 从而： EMBED Equation.3 故原方程的解为： 即： （7） 解：由观察得到它的一个特解为 ，故设它的任一个解为 ，于是 ，这是n=2的佰努利方程， 两边同除以 得： 即： 从而： 故原方程的解为： 习题3.1 1 求方程 =x+y 通过点(0,0)的第三次近似解； 解： 取 = 2 求方程 =x-y 通过点(1,0)的第三次近似解； 解： 令 则 = 3 题 求初值问题： R： 1， 1 的解的存在区间，并求解第二次近似解，给出在解的存在空间的误差估计； 解： 因为 M=max{ }=4 则h=min(a, )= 则解的存在区间为 = = 令 =0 ; =y + dx= x + ; =y + dx= x - - - + 又 =L 则：误差估计为： = 4 题 讨论方程： 在怎样的区域中满足解的存在唯一性定理的条件， 并求通过点（0，0）的一切解； 解：因为 = 在y 上存在且连续； 而 在 上连续 由 有： =（x+c） 又 因为y(0)=0 所以： =x 另外 y=0也是方程的解； 故 方程的解为： = 或 y=0; 6题 证明格朗瓦耳不等式： 设K为非负整数，f(t)和g(t)为区间 上的连续非负函数， 且满足不等式： f(t) k+ , 则有：f(t) kexp( ), 证明：令R（t）= ,则 EMBED Equation.3 (T) =f(t)g(t) EMBED Equation.3 (T)-R(t)g(t)= f(t)g(t)- R(t)g(t) kg(t) EMBED Equation.3 (T)- R(t)g(t) kg(t); 两边同乘以exp(- ) 则有： EMBED Equation.3 (T) exp(- )-R(t)g(t) exp(- ) kg(t) exp(- ) 两边从 到t积分： R(t) exp(- ) - exp(- )ds 即 R(t) exp(- )ds 又 f(t) 1 k+R(t) k+k exp(- )ds k(1-1+ exp(- )=k exp( ) 即 f(t) k ; 7题 假设函数f(x,y)于（x ,y ）的领域内是y的 不增函数，试证方程 = f(x,y)满足条件y(x )= y 的解于x x 一侧最多只有一个解； 证明：假设满足条件y(x )= y 的解于x x 一侧有两个 (x), (x) 则满足： (x)= y + dx (x)= y + dx 不妨假设 (x) (x)，则 (x)- (x) 0 而 (x)- (x)= dx- dx = dx 又因为 f(x,y)在（x ,y ）的领域内是y的 增函数，则： f(x, (x))-f(x, (x)) 0 则 (x)- (x)= dx 0 则 (x)- (x) 0 所以 (x)- (x)=0， 即 (x)= (x) 则原命题方程满足条件y(x )= y 的解于x x 一侧最多 只有一个解； 习题3.3 1．Proof若（1）成立则 及 ， ，使当 时，初值问题 的解 满足对一切 有 , 由解关于初值的对称性，（3，1）的两个解 及 都过点 ，由解的存在唯一性 ，当 时 故 若（2）成立，取定 ，则 ， ，使当 时,对一切 有 因初值问题 的解为 ，由解对初值的连续依赖性， 对以上 ， ，使当 时 对一切 有 而当 时，因 故 这样证明了对一切 有 2．Proof：因 及 都在G内连续，从而 在G内关于 满足局部Lipschitz条件，因此解 在它的存在范围内关于 是连续的。 设由初值 和 EMBED Equation.DSMT4 足够小）所确定的方程解分别为 ， 即 ， 于是 因 及 、 连续，因此 这里 具有性质：当 时，； 且当 时 ，因此对 有 即 是初值问题 的解，在这里 看成参数0显然，当 时，上述初值问题仍然有解。根据解对初值和参数的连续性定理，知 是 的连续函数，从而存在 而 是初值问题 的解，不难求解 它显然是 的连续函数。 3．解：这里 满足解对初值的可微性定理条件 故： 满足 的解为 故 EMBED Equation.DSMT4 4．解：这是 在（1，0）某领域内满足解对初值可微性定理条件，由公式 易见 是原方程满足初始条件 的解 故 习题 3.4 (一)、解下列方程，并求奇解（如果存在的话）： 1、 解：令 ，则 ， 两边对x求导，得 从 得 时， ； 从 得 ， 为参数， 为任意常数. 经检验得 ，是方程奇解. 2、 解：令 ，则 ， 两边对x求导，得 ， 解之得 ， 所以 ， 且y=x+1也是方程的解，但不是奇解. 3、 解：这是克莱洛方程，因此它的通解为 EMBED Equation.3 ， 从 中消去c, 得到奇解 . 4、 解：这是克莱洛方程，因此它的通解为 ， 从 中消去c, 得到奇解 . 5、 解：令 ，则 ， 两边对x求导，得 ， 解之得 ， 所以 ， 可知此方程没有奇解. 6、 解： 原方程可化为 ， 这是克莱罗方程，因此其通解为 ， 从 中消去c，得奇解 . 7、 解：令 ，则 ， 两边对x求导，得 ， 所以 ， 可知此方程没有奇解. 8、 解： 可知此方程没有奇解. 9、 解：令 ，则 ， 两边对x求导，得 解之得 ， 所以 ， 且 也是方程的解，但不是方程的奇解. 10、 解： 这是克莱罗方程，因此方程的通解为 ， 从 中消去c, 得方程的奇解 . （二）求下列曲线族的包络. 1、 解:对c求导，得 x+2c=0, , 代入原方程得， ， 经检验得， 是原方程的包络. 2、 解：对c求导，得 ， 代入原方程得 ，即 ， 经检验得 是原方程的包络. 3、 解：对c求导，得 –2(x-c)-2(y-c)=0, , 代入原方程得 . 经检验,得 是原方程的包络. 4、 解：对c求导，得 -2(x-c)=4, c=x+2, 代入原方程得 ， , 经检验，得 是原方程的包络. (三) 求一曲线，使它上面的每一点的切线截割坐标轴使两截距之和等于常数c. 解：设所求曲线方程为y=y(x),以X、Y表坐标系，则曲线上任一点（x,y(x)）的切线方程为 ， 它与X轴、Y轴的截距分别为 ， ， 按条件有 ，化简得 ， 这是克莱洛方程，它的通解为一族直线 ， 它的包络是 ， 消去c后得我们所求的曲线 . (四) 试证：就克莱洛方程来说，p-判别曲线和方程通解的c-判别曲线同样是方程通解的包络，从而为方程的奇解. 证：克莱洛方程 y=xp+f(p)的p-判别曲线就是用p-消去法， 从 中消去p后而得的曲线； c-判别曲线就是用c-消去法，从通解及它对求导的所得的方程 中消去c而得的曲线， 显然它们的结果是一致的，是一单因式， 因此p-判别曲线是通解的包络，也是方程的通解. 习题4.1 1. 设 和 是区间 上的连续函数，证明：如果在区间 上有 常数或 常数，则 和 在区间 上线形无关。 证明：假设在 ， 在区间 上线形相关 则存在不全为零的常数 ， ，使得 那么不妨设 不为零，则有 显然 为常数，与题矛盾，即假设不成立 ， 在区间 上线形无关 2. 证明非齐线形方程的叠加原理：设 ， 分别是非齐线形方程 （1） （2） 的解，则 + 是方程 + 的解。 证明：由题可知 ， 分别是方程（1），（2）的解 则： （3） （4） 那么由（3）+（4）得： + 即 + 是方程是 + 的解。 3. 试验证 0的基本解组为 ，并求方程 的通解。 证明：由题将 代入方程 0得： - =0,即 是该方程的解， 同理求得 也是该方程的解 又显然 线形无关，故 是 0的基本解组。 由题可设所求通解为： EMBED Equation.3 ，则有： 解之得： 故所求通解为： 4. 试验证 0有基本解组t， ，并求方程 t-1的通解。 解：由题将t代入方程 0得： ，即t为该方程的解 同理 也是该方程的解，又显然t， 线形无关， 故t， 是方程 0的基本解组 由题可设所求通解为 ，则有： 解之得： 故所求通解为 5. 以知方程 0的基本解组为 ，求此方程适合初始条件 的基本解组（称为标准基本解组，即有 ）并求出方程的适合初始条件 的解。 解： 时间方程 0的基本解组，故存在常数 使得： 于是： 令t=0,则有方程适合初始条件 ，于是有： 解得： 故 又该方程适合初始条件 ，于是： 解得： 故 显然 ， 线形无关，所以此方程适合初始条件的基本解组为： ， 而此方程同时满足初始条件 ，于是： 解得： 故 满足要求的解。 6. 设 是齐线形方程（4.2）的任意n个解。它们所构成的伏朗斯行列式记为 ，试证明 满足一阶线形方程 ，因而有： 解： 又 满足 即 则： 即 则有： 即： 7. 假设 是二阶齐线形方程 （*）的解，这里 在区间 上连续，试证：（1） 是方程的解的充要条件为： ；（2）方程的通解可以表示为： ,其中 为常数, 　证：（１） （２）因为 为方程的解，则由刘维尔公式 两边都乘以 则有： ，于是： 从而方程的通解可表示为： ,其中 为常数, 。 8. 试证n阶非齐线形微分方程（4.1）存在且最多存在n+1个线形无关解。 证：设 为（4.1）对应的齐线形方程的一个基本解组， 是（4.1）的一个解，则： （1），均为（4.1）的解。同时（1）是线形无关的。 事实上：假设存在常数 ，使得： （*）的左端为非齐线形方程的解，而右端为齐线形方程的解，矛盾！ 从而有 又 为（4.1）对应的齐线形方程的一个基本解组， 故有： 即（1）是线形无关的。 　　　 习题4.2 1. 解下列方程 （1） 解：特征方程 故通解为x= (2) 解：特征方程 有三重根 故通解为x= （3） 解：特征方程 有三重根 ， 2， -2 故通解为 （4） 解：特征方程 有复数根 -1+3i, -1-3i 故通解为 (5) 解：特征方程 有复数根 故通解为 (6) 解：特征方程 有根 EMBED Equation.3 a, -a 当 时，齐线性方程的通解为s= 代入原方程解得 故通解为s= - 当a=0时, 代入原方程解得 故通解为s= - (7) 解：特征方程 有根 2,两重根 1 齐线性方程的通解为x= 又因为 0不是特征根，故可以取特解行如 代入原方程解得A=-4，B=-1 故通解为x= -4-t (8) 解：特征方程 故齐线性方程的通解为x= 取特解行如 代入原方程解得A=1，B=0,C=1 故通解为x= + (9) 解：特征方程 有复数根 故齐线性方程的通解为 取特解行如 代入原方程解得A= 故通解为 EMBED Equation.3 (10) 解：特征方程 有根 -2, 1 故齐线性方程的通解为x= 因为+-2i不是特征根 取特解行如 代入原方程解得A= 故通解为x= （11） 解：特征方程 有复数根 故齐线性方程的通解为 1是特征方程的根，故 代入原方程解得A= 故通解为 + （12） 解：特征方程 有2重根 -a 当a=-1时，齐线性方程的通解为s= , 1是特征方程的2重根，故 代入原方程解得A= 通解为s= , 当a -1时，齐线性方程的通解为s= , 1不是特征方程的根，故 代入原方程解得A= 故通解为s= + （13） 解：特征方程 有根 -1, -5 故齐线性方程的通解为x= EMBED Equation.3 2不是特征方程的根，故 代入原方程解得A= 故通解为x= + （14） 解：特征方程 有根 -1+ i, -1- i 故齐线性方程的通解为 不是特征方程的根, 取特解行如 代入原方程解得A= 故通解为 + (15) 解：特征方程 有根 i, - i 故齐线性方程的通解为 , i,是方程的解 代入原方程解得 A= B=0 故 代入原方程解得 A= B=0 故 故通解为 EMBED Equation.3 习题5.1 1.给定方程组 x = x x= （*） a)试验证u(t)= ,v(t)= 分别是方程组（*）的满足初始条件u(0)= , v(0)= 的解. b)试验证w(t)＝c u(t)+c v(t)是方程组（*）的满足初始条件w(0)= 的解，其中 是任意常数. 解：a) u(0)= = u (t)= = u(t) 又 v(0)= = v (t)= = EMBED Equation.3 = v(t) 因此 u(t),v(t)分别是给定初值问题的解. b) w(0)= u(0)+ u(0)= + = w (t)= u (t)+ v (t) = + = = = w(t) 因此 w(t)是给定方程初值问题的解. 2. 将下面的初值问题化为与之等价的一阶方程组的初值问题： a) x +2x +7tx=e ,x(1)=7, x (1)=-2 b) x +x=te ,x(0)=1, x (0)=-1,x (0)=2,x (0)=0 c) x(0)=1, x (0)=0,y(0)=0,y (0)=1 解：a）令 x ＝x, x = x , 得 即 又 x ＝x(1)=7 x (1)= x (1)=-2 于是把原初值问题化成了与之等价的一阶方程的初值问题： x ＝ x(1)＝ 其中 x＝ . b) 令 ＝x ＝ ＝ ＝ 则得： 且 (0)=x(0)=1, = (0)=-1, (0)= (0)=2, (0)= (0)=0 于是把原初值问题化成了与之等价的一阶方程的初值问题： = x(0)= , 其中 x= . c) 令w ＝x， w ＝ ，w ＝y，w ＝y ，则原初值问题可化为： 且 即 w w(0)= 其中 w＝ 3. 试用逐步逼近法求方程组 ＝ x x＝ 满足初始条件 x(0)= 的第三次近似解. 解： 习题5.2 1.试验证 = 是方程组x = x,x= ，在任何不包含原点的区间a 上的基解矩阵。 解：令 的第一列为 (t)= ,这时 (t)= = (t)故 (t)是一个解。同样如果以 (t)表示 第二列，我们有 (t)= = (t)这样 (t)也是一个解。因此 是解矩阵。又因为det =-t 故 是基解矩阵。 2.考虑方程组x =A(t)x (5.15)其中A(t)是区间a 上的连续n n矩阵，它的元素为a (t),i ,j=1,2,…,n a) 如果x (t),x (t),…,x (t)是(5.15)的任意n个解，那么它们的伏朗斯基行列式W[x (t),x (t),…,x (t)] W(t)满足下面的一阶线性微分方程W =[a (t)+a (t)+…+a (t)]W b) 解上面的一阶线性微分方程，证明下面公式：W(t)=W(t )e t ,t [a,b] 解：w (t)= + +…+ = +…+ = +…+ 整理后原式变为 （a +…+a ） =（a +…+a ）w(t) =（a (t)+…+a (t)）w(t) b)由于w (t)=[ a (t)+…+a (t)] w(t),即 =[ a (t)+…+a (t)]dt 两边从t 到t积分ln -ln = 即w(t)=w(t )e ,t [a,b] 3.设A(t)为区间a 上的连续n n实矩阵， 为方程x =A(t)x的基解矩阵，而x= (t)为其一解，试证： a) 对于方程y =-A (t)y的任一解y= (t)必有 EMBED Equation.3 (t) (t)=常数； b) (t)为方程y =-A (t)y的基解矩阵的充要条件是存在非奇异的常数矩阵C，使 EMBED Equation.3 (t) (t)=C. 解a)[ EMBED Equation.3 (t) (t)] = EMBED Equation.3 (t)+ EMBED Equation.3 (t)= EMBED Equation.3 (t)+ EMBED Equation.3 (t)A(t) 又因为 EMBED Equation.3 =-A (t) (t)，所以 EMBED Equation.3 =- EMBED Equation.3 (t) A(t) [ EMBED Equation.3 (t) (t)] =- EMBED Equation.3 (t) (t)A(t)+ EMBED Equation.3 (t) A(t) (t)=0, 所以对于方程y =-A (t)y的任一解y= (t)必有 EMBED Equation.3 (t) (t)=常数 b) “ ”假设为方程y =-A (t)y的基解矩阵，则 [ EMBED Equation.3 (t) (t)] = [ EMBED Equation.3 (t)] + EMBED Equation.3 (t) (t)=[- A (t) (t)] + EMBED Equation.3 (t) A (t) ) + EMBED Equation.3 (t)[ A(t) (t)]=- EMBED Equation.3 (t) A (t) + EMBED Equation.3 (t) A (t) =0,故 EMBED Equation.3 (t) (t)=C “ ”若存在非奇异常数矩阵C，detc 0,使 EMBED Equation.3 (t) (t)=C， 则[ EMBED Equation.3 (t) (t)] = EMBED Equation.3 (t)+ EMBED Equation.3 (t)=0，故 EMBED Equation.3 (t) (t)=- EMBED Equation.3 (t) (t)A(t) EMBED Equation.3 (t)=- EMBED Equation.3 (t) A(t) 所以 EMBED Equation.3 (t)=- EMBED Equation.3 (t) A(t), EMBED Equation.3 (t)=- EMBED Equation.3 (t) A (t)即 (t)为方程y =-A (t)y的基解矩阵 4.设 为方程x =Ax（A为n n常数矩阵）的标准基解矩阵（即 （0）=E），证明: (t )= (t- t )其中t 为某一值. 证明：（1） , (t- t )是基解矩阵。 （2）由于 为方程x =Ax的解矩阵，所以 (t )也是x =Ax的解矩阵，而当t= t 时， (t ) (t )=E, (t- t )= （0）=E. 故由解的存在唯一性定理，得 (t )= (t- t ) 5.设A(t),f(t)分别为在区间a 上连续的n n矩阵和n维列向量，证明方程组x =A(t)x+f(t)存在且最多存在n+1个线性无关解。 证明：设x ,x ,…x 是x =A(t)x的n个线性无关解， 是x =A(t)x+f(t)的一个解，则x + , x + ,…, x + , 都是非齐线性方程的解，下面来证明它们线性无关，假设存在不全为零的常数C ,(I=1,2,…,n)使得 +c =0,从而x + , x + ,…, x + , 在a 上线性相关，此与已知矛盾，因此x + , x + ,…, x + , 线性无关，所以方程组x =A(t)x+f(t)存在且最多存在n+1个线性无关解。 6、试证非齐线性微分方程组的叠加原理： 的解，则 是方程组 的解。 证明： （1） （2） 分别将 代入（1）和（2） 则 则 令 即证 7．考虑方程组 ，其中 a)试验证 是 的基解矩阵； b)试求 的满足初始条件 的解 。 证明：a)首先验证它是基解矩阵 以 表示 的第一列 则 故 是方程的解 如果以 表示 的第二列 我们有 故 也是方程的解 从而 是方程的解矩阵 又 故 是 的基解矩阵； b)由常数变易公式可知，方程满足初始条件 的解 而 8、试求 ，其中 满足初始条件 的解 。 解：由第7题可知 的基解矩阵 则 若方程满足初始条件 则有 若 则有 9、试求下列方程的通解： a) 解：易知对应的齐线性方程 的基本解组为 这时 由公式得 通解为 b) 解：易知对应的齐线性方程 的基本解组为 是方程的特征根 故方程有形如 的根 代入得 故方程有通解 c) 解：易知对应的齐线性方程 对应的特征方程为 故方程的一个基本解组为 因为 是对应的齐线性方程的解 故 也是原方程的一个解 故方程的通解为 10、给定方程 其中f(t)在 上连续，试利用常数变易公式，证明： a)如果f(t)在 上有界，则上面方程的每一个解在 上有界； b)如果当 时， ，则上面方程的每一个解 （当 时）。 证明：a) 上有界 存在M>0,使得 又 是齐线性方程组的基本解组 非齐线性方程组的解 又对于非齐线性方程组的满足初始条件的解x(t)，都存在固定的常数 使得 从而 故上面方程的每一个解在 上有界 b) 时， 当t>N时 由a)的结论 故 时，原命题成立 11、给定方程组 （5.15） 这里A(t)是区间 上的连续 矩阵，设 是（5.15）的一个基解矩阵，n维向量函数F(t,x)在 ， 上连续， 试证明初值问题： （*） 的唯一解 是积分方程组 （**） 的连续解。反之，（**）的连续解也是初值问题（8）的解。 证明：若 是（*）的唯一解 则由非齐线性方程组的求解公式 即（*）的解满足（**） 反之，若 是（**）的解，则有 两边对t求导： 即（**）的解是（*）的解 习题5.3 1、 假设A是n n矩阵，试证： a) 对任意常数 、 都有 exp( A+ A)=exp A·exp A b) 对任意整数k,都有 (expA) =expkA (当k是负整数时，规定(expA) ＝[(expA) ] ) 证明：a) ∵（ A）·（ A）＝（ A）·（ A） ∴ exp( A+ A)= exp A·exp A b) k>0时，(expA) ＝expA·expA……expA ＝exp（A+A+……+A） ＝expkA k<0时，-k>0 (expA) ＝[(expA) ] =[exp(-A)] = exp(-A)·exp(-A)……exp(-A) ＝exp[(-A)(-k)] ＝expkA 故 k，都有(expA) =expkA 2、 试证：如果 是 =Ax满足初始条件 ＝ 的解，那么 ＝[expA(t-t )] 证明：由定理8可知 ＝Ф(t)Ф-1(t0) ＋Ф(t) 又因为Ф(t)= expAt , Ф-1(t0)=( expAt0)-1= exp(-At0), f(s)=0, 又因为矩阵 （At）·（- At0）=（- At0）·（At） 所以 ＝[expA(t-t )] 3、 试计算下面矩阵的特征值及对应的特征向量 a） b） c） d） 解：a）det（ E－A）= =( －5)( +1)=0 ∴ =5, =－1 对应于 =5的特征向量u= , ( ) 对应于 =－1的特征向量v= , ( ) b) det（ E－A）=( +1)( +2)( －2)＝0 ∴ ＝－1， ＝2， ＝－2 对应于 ＝－1的特征向量u1＝ ， （ 0 ） 对应于 ＝2的特征向量u2＝ ， （ ） 对应于 ＝－2的特征向量u3＝ ， （