PISA数学试题

- 43 - PISA 2006 樣本試題—數學(Ⅰ) 國立臺南大學 PISA 國家研究中心 M037：農場 在 這 你 所 看 到 的 是 一 張 有 三 角 形 屋 頂的農場照片。 下 面 是 一 個 學 生 依 據 對 這 個 農 場 的 屋 頂 做 進 一 步 測 量 結 果 所 做 出 的 數 學 模 型。 在這個屋頂模型中地板 ABCD 是一個 正 方 形 。 支 撐 屋 頂 的 橫 樑 是 四 角 柱 EFGHNKLM 的邊。E 是 ΑΤ 的中點，F 是 BΤ的中點，G 是 CΤ的中點，且 H 是 DΤ 的中點。在這三角錐模型中所有的邊長都 是 12 公尺。 問題 1：農場 計算屋頂地板 ABCD 的面積。 屋頂地板 ABCD= m 農場 問題 1 計分 滿分 代號 1：144 (已註明單位 ) 零分 代號 0：其他 代號 9：沒有作答 問題 2：農場 計算長方體的邊 EF 的長度。 EF 的長度= m 農場 問題 2 計分 滿分 代號 1：6 (已註明單位 ) 零分 代號 0：其他答案 代號 9：沒有作答 M047：地衣 全 球 性 暖 化 會 造 成 一 部 分 冰 川 融 化 科學教育月刊 第 311 期 中華民國九十七年八月 - 44 - 的結果。約在冰川消失的十二年後，微小 的植物—地衣，會開始在岩石間生長。 地衣生長的形式有如圓圈一般，圓圈 的直徑與地衣的年齡之間關係約可用下列 公式來表示： d=7.0 ( 12), 12t t× − ≥ 其中，d 表示圓圈直徑 (每毫米 )， t 表 示冰川消失後的年數。 問題 1：地衣 利用公式，算出冰川消失後 16 年的地衣直 徑。寫出你的計算方法。 地衣 問題 1 計分 題旨：引出學生使用已知公式的能力。 滿分 代號 2：14 毫米 (單位非必要 )。只要寫出 正確答案 14，無論是否寫出計算 過程，就評為代號 2。 部分分數 代號 1：部分反應包含： ‧ 代 入 公 式 的 值 正 確 ， 但 答 案 錯 誤或未寫出答案。 ‧不完整的答案 (如 7 4 )。 零分 代號 0：其他答案 代號 9：沒有作答 作答範例 代號 2： d=7.0 (16 12)× − ； 14 毫米； 14； d=14 d=7.0 (16 12)× − d=7.0 4× d=14 年 代號 1： d=7.0 (16 12)× − (正確代入但答案錯誤 ) d=16 d=7.0 (16 12)× − (不完全的答案 ) d=7 4 代號 0： 16 問題 2：地衣 安 安 測 量 出 某 地 區 地 衣 的 直 徑 為 35 毫米。請問在這地區的冰川是多少年前消 失？寫出你的計算方法。 地衣 問題 2 計分 題旨：引出學生使用已知公式的能力。 滿分 代號 2：37 年 (單位非必要，無論是否寫出 計算過程 ) 部分分數 (注意此例的計算完全 正確，但單位寫錯，我 們視為是學生筆誤 ) PISA 2006 樣本試題—數學(Ⅰ) - 45 - 代號 1：代入公式的值正確，但答案錯誤 或未寫出答案。 或 36 年或 38 年 (學生可能用嘗詴錯 誤法來算出這個答案。 ) 零分 代號 0：其他答案 代號 9：沒有作答 作答範例 代號 2： 35=7 ( 12)t× − 35 7 5÷ = 5= ( 12)t − 7 5=7 25× × 25= 12t − =7 25 12× + =37t =7 37× ∴37 年 35/7=5 52=25 25+12=37 t =15 d=12.1 t =25 d=25.1 t =40 d=37.0 t =35 d=33.6 t =37 d=35 故在這地區的冰川是 37 年前消失的 756=35= 257× = 7 5× =35 代號 1： 35=7 ( 12)t× − 35=7 ( 12)t× − 2 235 =7 ( 12)t× − 5= ( 12)t − 49t=1237 2 225= 12t − t=25 t=13 35=7 ( 12)t× − 5= ( 12)t − 5= 12t − 太難了！ 代號 0： 35=7.0 ( 12)t× − 28= ( 12)t − 784= 12t − t=796 40 年 M124：步行 上圖代表一個男人步行的腳印。長度 P 表 示 兩 個 連 貫 腳 步 中 後 腳 跟 之 間 的 距 離。對於男人，下列公式表示 n 與 P 之間 的大略關係： (嚴格的說，代數符號 寫法錯次，但我們知道 學生想表達的意思 ) (注意此處的正確答案 37 已經在正確算式中 已出現 ) 科學教育月刊 第 311 期 中華民國九十七年八月 - 46 - =140 n p n：每分鐘的步數 P：一步跨出去的長度 (公尺 ) 問題 1：步行 此公式適用於海翔的步行，若他每分 鐘步行 70 步，則他一步跨出去的長度為 何？請寫出你的作法。 步行 問題 1 計分 滿分 代號 2：0.5 公尺 或 50 公分，1/2（不須 填上單位） =140 70 p ， 70=140p ， 70p= 0.5 140 = 部分分數 代號 1：將數字正確地代入公式，但答案 不正確，或沒有算出答案。 =140 70 p (只將數字代入公式 ) =140 70 p (只將數字代入公式，但 70=140p 計算結果不正確 ) p=2 或 正確地運用公式 P = n/140，但之後的計算 步驟不正確。 零分 代號 0：其他答案 ‧ 70 cm 代號 9：沒有作答 問題 3：步行 建 德 利 用 公 式 知 道 他 的 每 腳 步 長 度 為 0.8 公尺。請以每分鐘多少公尺以及每 小 時 多 少 公 里 來 計 算 出 建 德 的 步 行 的 速 度。請寫出你的作法。 步行 問題 3 計分 滿分 代號 31：分速（公尺 /分鐘）與時速（公 里 /時）的答案都正確（不須填 上單位）。 ‧ n = 140 × 0.80 = 112 ‧ 他每分鐘步行 112 x 0.80 公 尺 = 89.6 公尺。 ‧ 他 的 速 度 是每 分 鐘 89.6 公 尺。 ‧ 所以他的速度是 5.38 或 5.4 公里 /時。 只 要兩 個 答 案 均正 確 （ 89.6 和 5.4）， 不 論 是 否 有 寫 出 計 算 方 法，便給予代號 31。注意因約 分 而 造 成 的 誤 差 是 可 以 接 受 的。例如：每分鐘 90 公尺和 5.3 公里 /時（89 × 60），兩個答案 均可接受。 ‧ 89.6， 5.4 ‧ 90， 5.376 公里 /時。 ‧ 89.8， 5376 公尺 /小時。[注 意 ： 若 第 二 個 答 案 沒 寫 單 位，應給代號 22] PISA 2006 樣本試題—數學(Ⅰ) - 47 - 部分分數（2 分） 代號 21：情況與代號 31 一樣，但沒有把 答案乘以 0.80，即將每分鐘多少 步 轉 換 成 每 分 鐘 多 少 公 尺 。 例 如：他的速度是每分鐘 112 公尺 和 6.72 公里 /時。 ‧ 112， 6.72 公里 /時 代號 22：正確計算出步行速度為每分鐘多 少公尺（每分鐘 89.6 公尺），但 在 把 答 案 轉 換 成 每 小 時 多 少 公 里時卻出現錯誤，或者沒有進行 轉換。 ‧ 89.6 公尺 /分鐘， 8960 公里 / 時。 ‧ 89.6， 5376 ‧ 89.6， 53.76 ‧ 89.6， 0.087 公里 /時 ‧ 89.6， 1.49 公里 /時 代號 23：方法正確（明確顯示），但有輕 微 計 算 錯 誤 （ 並 未 包 括 在 代 號 21 和代號 22 內）。兩個答案均 不正確。 ‧ n=140 × .8 = 1120；1120 × 0.8 = 896。他以 896 公尺 /分 鐘，53.76 公里 /時步行。 ‧ n=140 × .8 = 116；116 × 0.8 = 92.8。 92.8 公 尺 /分 鐘 → 5.57 公里 /時 代號 24：只寫出「5.4 公里 /時」，沒有寫 出「89.6 公尺 /分鐘」（沒有顯示 中間的計算過程）。 ‧ 5.4 ‧ 5.376 公里 /時 ‧ 5376 公尺 /時 部分分數（1 分） 代號 11：n = 140 × .80 = 112。沒有顯示 進一步的計算方法，或之後的計 算步驟不正確。 ‧ 112 ‧ n=112， 0.112 公里 /時 ‧ n=112， 1120 公里 /時 ‧ 112 公尺 /分鐘，504 公里 /時 零分 代號 00：其他答案 代號 99：沒有作答 M136：蘋果 農夫將蘋果樹種在正方形的果園。為 了保護蘋果樹不怕風吹，他在蘋果樹的周 圍種針葉樹。 在下圖裡，你可以看到農夫所種植蘋 果樹的列數 (n)，和蘋果樹數量及針葉樹數 量的規律： X=針葉樹 n=蘋果樹 科學教育月刊 第 311 期 中華民國九十七年八月 - 48 - 問題 1：蘋果 完成下表的空格 n 蘋果樹數 針葉樹數 1 1 8 2 4 3 4 5 蘋果 問題 1 計分 完成下表的空格 n 蘋果樹數 針葉樹數 1 1 8 2 4 16 3 9 24 4 16 32 5 25 40 滿分 代號 21：7 格全對 部分分數 [表格中僅有一個錯誤/空白。其中，代號 11 是針對 n=5 中的一個細格錯誤，代號 12 是 n=2 或 3 或 4 中的一個細格錯誤] 代號 11：在 n=2、3、4 時均答對，但 n=5 答錯一格或未作答 ‧ 最 後 一 格 「 40」 答 錯 ； 其 餘 均正確。 ‧ 「25」答錯；其餘均正確。 代號 12：n=5 中的數量均答對，但在 n=2 或 3 或 4 中 有 一 格 答 錯 或 未 作答。 零分 [表格中有兩個或以上的錯誤 ] 代號 01：在 n=2、3、4 均答對，但 n=5 兩 個空格全錯。 ‧ 「25」和「40」都答錯；其餘 均正確。 代號 02：其它答案 代號 99：沒有作答 PISA 2006 樣本試題—數學(Ⅰ) - 49 - 問題 2：蘋果 你可以用以下的 2 個公式來計算上面提到 的蘋果樹數量及針葉樹數量的規律： 蘋果樹的數量= n2 針葉樹的數量= 8n n 代表蘋果樹的列數 當 n 為某一個數值時，蘋果樹數量會等於 針葉樹數量。找出 n 值，並寫出你的計算 方法。 ………………………………………………... 蘋果 問題 2 計分 滿分 [以下這些代號是指使用不同的方法，正確 答出 n=8] 代號 11：n=8，用明確的代數方法解出答 案。 ‧ n2=8n，n2-8n=0，n(n-8)=0， n=0 或 n=8，所以 n=8 代號 12：n=8，用不明確的代數解法，或 沒有呈現出計算方法。 ‧ n2=82=64，8n=8，8=64 ‧ n2=8n。得 n=8 ‧ 8× 8=64, n=8 ‧ n=8 ‧ 8× 8=82 代號 13：用其它方法算出 n=8，如用規律 延伸或畫圖。 [以下這些代號是表示使用不同的方法，正 確回答 n=8，但也回答 n=0] 代號 14：如同代號 11(明確的代數解法 )， 但答案寫 n=8 或 n=0。 ‧ n2=8n，n2-8n=0，n(n-8)=0， n=0 或 n=8， 所以 n=8 或 n=0。 代 號 15： 如 同 代 號 12(不 明 確 的 代 數 解 法 )，但答案寫 n=8 或 n=0。 零分 代號 00：其它答案，包含只回答 n=0 ‧ n2=8n (重覆題目陳述 ) ‧ n2=8 ‧ n=0 。 兩 種 樹 木 數 不 可 能 相 等，因為種 1 棵蘋果樹就要 種 8 棵針葉樹。 代號 99：沒有作答 問題 3：蘋果 若 農 夫 想 要 種 更 多 列 ， 做 一 個 更 大 的 果 園，當農夫將果園擴大時，那一種樹會增 加得比較快？是蘋果樹的數量或是針葉樹 的數量？解釋你的想法。 ……………………………………………… 蘋果 問題 3 計分 滿分 代號 21：正確答案 (蘋果樹數 )，並做有效 的解釋。例如： ‧蘋果樹數 為 n× n，針葉樹數 為 8× n，兩個公 式都 有因 數 n，而蘋果樹有另一個 n，n 可 以越來越大，但針葉樹另一個 因數還是 8。所以蘋果樹數量 增加的比較快。 科學教育月刊 第 311 期 中華民國九十七年八月 - 50 - ‧蘋果樹數量增加的比較快，因 為當 n=8 時，就變為平方數。 ‧蘋果樹數是二次函數。針葉樹 是線性函數。所以蘋果樹數量 會增加的比較快。 ‧用作圖證明當 n＝8 之後，n2 會 大於 8n。 [注意代號 21 的前提是，學生有寫出 n2 和 8n 的公式，並作代數的解釋 ] 部分分數 代號 11：正確答案 (蘋果樹 )，以特例說明， 或以表格的延伸進行說明。 ‧蘋果樹數會快速增加，因為若 我 們 使 用 表 格 (前 頁 )， 可 以 發 現蘋果樹數量比針葉樹數量增 加的更快。特別是在兩種樹數 量一樣之後。 ‧表格顯示蘋果樹數量增加得比 較快。 或 正 確 答 案 (蘋 果 樹 )， 用 部 分 證 據 來 說 明 已 知 n2 與 8n 的 關 係 ， 但並沒有像代號 21 清楚地表達。 ‧N＞8 之後的蘋果樹 ‧在 8 列之後，蘋果樹數量會增 加得比針葉樹數量快。 ‧針葉樹，直到 8 列後，會有比 較多的蘋果樹。 零分 代號 01：正確答案 (蘋果樹 )，但解釋缺乏、 不充分或者錯誤。 ‧蘋果樹 ‧蘋果樹，因為它們種在內圍， 比外圍的數量更多。 ‧蘋果樹，因為他們被針葉樹包 圍。 代號 02：其它答案 ‧針葉樹 ‧針葉樹，因為你每種 1 列蘋果 樹，你需要再種很多針葉樹。 ‧針葉樹，因為每種 1 棵蘋果樹 就要種 8 棵針葉樹。 ‧我不知道。 代號 99：沒有作答 M143：硬幣 你被要求設計出一套新的硬幣。所有硬幣 都是圓形，且顏色都是銀色，但是有不同 的直徑。 研究者發現了一個理想的硬幣系統，其符 合以下要求： ‧硬幣直徑不可小於 15 毫米，且不可大 於 45 毫米 ‧每個硬幣的下一個硬幣的直徑必須比它 大至少 30%。 ‧鑄造的機械只能生產出直徑為整數的硬 幣(如：可以製造 17 毫米，但無法製造 17.3 毫米)。 PISA 2006 樣本試題—數學(Ⅰ) - 51 - 問題 1：硬幣 請你設計出一套符合上面條件的新硬幣系 統。從一枚 15 毫米的硬幣開始，而且在你 這套系統裡盡可能包含所有的硬幣大小， 則這套系統裡的硬幣直徑分別為多少？ 硬幣 問題 1 計分 題旨：理解與運用複雜訊息做計算 代號 1：15-20-26-34-45。可能的作法中包 含 畫 出 正 確 的 硬 幣 直 徑 來 呈 現 答案， 這也要評為代號 1。 代號 8：給一組能滿足 3 個要求的硬幣直 徑，但不是能達到最多硬幣數的 組合，如 15-21-29-39，或 15-30-45 或 前 3 個直徑正確，但後 2 個錯誤 (15-20-26-) 或 前 4 個直徑正確，但最後 1 個錯 誤(15-20-26-34-) 代號 0：其它答案 代號 9：沒有作答 M143：骰子 問題 1：骰子 在這張相片中你可以看見六個骰子，分別 被標記 (a)到 (f)。所有骰子都有個規則： 每 兩個相對的面之點數和都是七。 寫下照片中盒子裡的每個骰子底部的點數 為何。 骰子 問題 1 計分 滿分 代號 1：上列 (1 5 4) 下列 (2 6 5)。以骰 子點 數 圖案 表示 的 答案 是可 以 接 受的。 零分 代號 0：其它答案 代號 9：沒有作答 科學教育月刊 第 311 期 中華民國九十七年八月 - 52 - M148：大陸面積 下圖為南極洲地圖。 問題 2：大陸面積 利用地圖的比例尺，估算出南極洲的面積。 寫 出 你 的 作 法 並 解 釋 你 是 如 何 估 計 的 。 (若 利 用 作 圖 能 幫 助 你 估 計 的 話 ， 可 直 接 畫在地圖上。 ) 大陸面積 問題 2 計分 滿分 [以下這些代號表示估計方法正確，以及得 到正確的答案。代號的第二碼，代表不同 的估計方法 ] 代號 21：畫一個正方形或長方形估計出面 積 在 12,000,000 平 方 公 里 和 18,000,000 平方公里之間（不需 要單位）。 代 號 22 ： 畫 一 個 圓 形 估 計 出 面 積 在 12,000,000 平 方 公 里 和 18,000,000 平方公里之間。 代 號 23： 加 上 數 個 規 則 的 幾 何 圖 形 估 計 出面積在 12,000,000 平方公里 和 18,000,000 平方公里之間。 代 號 24 ： 運 用 其 它 正 確 方 法 得 出 面 積 12,000,000 平 方 公 里 和 18,000,000 平方公里之間。 代號 25：答案正確（12,000,000 平方公里 和 18,000,000 平方公里之間）， 但沒有顯示計算方法。 部份分數 [以下這些代號表示估計方法正確，但是得 出來的答案不正確或不完整。這些代號的 南極 南極洲 孟席斯山 PISA 2006 樣本試題—數學(Ⅰ) - 53 - 第二碼與滿分代號的第二碼相同，代表不 同的估計方法 ] 代號 11：畫一個正方形或長方形估計，方 法正確但答案不正確或不完整。 ‧畫一個長方形，長乘以寬，但 答 案 過 大 或 過 小 （ 例 如 18,200,000）。 ‧畫一個長方形，長乘以寬，但 位 數 不 正 確 （ 例 如 4,000 × 3,500 =140,000）。 ‧ 畫 一 個 長 方 形 ， 然 後 長 乘 以 寬，但忘記利用比例尺轉為平 方公里（例如 12 公分 × 15 公分= 180）。 ‧ 畫 一 個 長 方 形 ， 說 明 面 積 是 4,000 公里 × 3,500 公里。沒 有進一步的計算。 代號 12：畫一個圓形估計，方法正確，但 答案不正確或不完整。 代號 13：加上數個規則的幾何圖形估計， 方法正確，但答案不正確或不完 整。 代號 14：運用其它正確方法估計，但答案 不正確或不完整。 零分 代號 01：計算周長，但沒有計算面積。 ‧如：16,000 公里是 1,000 公里 的比例尺圍繞地圖 16 次。 代號 02：其它答案。 ‧ 如 ： 16,000 公 里 （ 沒 有 顯 示 計算方法，答案也不正確）。 代號 99：沒有作答 計分摘要表 下面的摘要表呈現出這些代號之間的關係： 估計方法 代 號 滿分－ 正確答案：介於12,000,000 和18,000,000平方公里之 間。 部份分數－ 正確方法但答案 不正確或不完整。 零分 畫一個長方形 21 11 － 畫一個圓 22 12 － 增加一些規則的圖 形 23 13 － 其它正確方法 24 14 － 沒有顯示 25 － － 周長 － － 01 其它不正確方法 － － 02 沒有作答 － － 99 科學教育月刊 第 311 期 中華民國九十七年八月 - 54 - M150：成長 青少年長得更高了 下圖顯示 1998 年荷蘭的年輕男性和女性的平均身高： 問題 1：成長 自 1980 年以來 20 歲女性的平均身高增 加了 2.3 公分，變成 170.6 公分。則 1980 年 20 歲女性的平均身高是多少？ 答： ......................公分 成長 問題 1 計分 滿分 代號 1：168.3 公分（已註明單位） 零分 代號 0：其它答案 代號 9：沒有作答 問題 3：成長 依據上圖說明為何女孩 12 歲以後身高的 增加率會減小。 ................................................................. 成長 問題 3 計分 滿分 此處的重點是答案必須提及「女生身高曲 線」斜率的「改變」。答案可用明確地 表 示或暗示。如答案明確提及曲線斜度的改 變，用代號 11 和代號 12；如果答案 暗示 12 歲以前及 12 歲以後實際身高的增高幅 度，給予代號 13。 代號 11：用日常用語而非數學術語，指出 由 12 歲開始，曲線的斜度減少。 ‧它不再向上升，而是往水平方 向延伸。 身 高 (公 分 ) 1998 年 輕 男 性 的 平 均 身 高 1998 年 輕 女 性 的 平 均 身 高 年 齡 (歲 ) PISA 2006 樣本試題—數學(Ⅰ) - 55 - ‧曲線變得不那麼傾斜。 ‧12 歲後，曲線變得更平。 ‧「女生身高曲線」開始變平坦， 「男生身高曲線」剛開始增大。 ‧它往水平方向延伸，而「男生 身高曲線」則持續上升。 代號 12：用數學術語指出由 12 歲開始， 曲線的斜度減少。 ‧可以見到，斜率減少。 ‧由 12 歲開始，曲線的改變比 率減少。 ‧ [學 生 計 算 12 歲 前 和 12 歲 後，x 軸與曲線之間的角度。] 一般來說，如使用「斜率」、「坡 度」或「改變比率」等類似字眼， 即可視作運用數學術語。 代號 13：比較真正的增加高度（比較可以 是不明顯的）。 ‧由 10 歲到 12 歲，約增高 15 公分，但由 12 歲到 20 歲，只 大約增高了 7 公分。 ‧由 10 歲到 12 歲，每年的平均 增高率約是 7.5 公分，但由 12 歲到 20 歲，每年的平均增高 率約為 2 公分。 零分 代號 01：學生指出女生身高跌至男生身高 以下，但沒有提及「女生身高曲 線」的斜度，或比較 12 歲前後女 生的成長速度。 ‧「女生身高曲線」跌至「男生身 高曲線」之下。 若學生提及「女生身高曲線」的 斜度減少，如同圖形呈現降至「男 生身高曲線」以下，給予滿分（代 號 11，12 或 13）。我們並不要求 學 生 比 較 男 生 與 女 生 的 身 高 曲 線，所以不要理會任何此類有關 身高曲線的比較，並請根據答案 的其餘部分作出判斷。 代號 02：其它錯誤答案，例如：雖然問題 問的是圖表顯示了什麼，但答案 卻沒有提及圖表的特點。 ‧女孩較快成熟。 ‧ 因 為 女 生 比 男 生 先 經 歷 青 春 期，並較早達到成長高峰。 ‧12 歲後，女孩便成長得不多。 [指 出 12 歲 後 女 孩 的 成 長 減 慢，亦沒有提及圖表的特點。] 代號 99：沒有作答 問題 2：成長 根據這張圖，平均而言，哪一段時期的女 孩身高會比同年齡的男孩高？ ……………………………………………….. 成長 問題 2 計分 滿分 代號 21：寫出正確的時期，11-13 歲。 ‧11-13 歲之間。 ‧11 歲至 13 歲時，女孩的平均 身高比男孩高。 ‧11-13 代號 22：指出在 11 和 12 歲時，女孩比男 科學教育月刊 第 311 期 中華民國九十七年八月 - 56 - 孩 高 。（ 以 日 常 用 語 來 說 ， 這 個 答案是正確的，因為它指的是 11 歲至 13 歲這段時期） ‧11 和 12 歲時，女孩比男孩高。 ‧11 和 12 歲。 部份分數 代號 11：其它 11、12、13 的搭配（不包 含在滿分部分的搭配）。 ‧12 至 13。 ‧12 ‧13 ‧11 ‧11.2 至 12 .8。 零分 代號 00：其它答案 ‧1998 ‧過了 13 歲之後，女孩比男孩 高。 ‧10 歲到 11 歲這段時期，女孩 比男孩高。 代號 99：沒有作答 M154：披薩 披薩店供應兩種厚度相同但大小不同的披 薩。小披薩的直徑是 30 公分，售價為 30 元。大披薩的直徑是 40 公分，售價為 40 元。 問題 1：披薩 那個披薩比較划算？寫出你的理由。 披薩 問題 1 計分 題旨：運用面積概念解決價錢比較問題 代號 2：提出一個常見的理由，如披薩表 面 積 增 加 幅 度 高 於 價 錢 增 加 的 幅度，推論出大披薩較划算。 ‧ 披 薩 直 徑 和 它 的 價 錢 數 目 一 樣，但你拿到的披薩大小是以 直徑來計算，所以你買大披薩 時每元將能拿到較多的披薩。 代號 1：計算兩個披薩每元能買到的面積 大小，推論出大披薩比較划算。 ‧ 小 披 薩 的 面 積 是 0.25 x π x 30 x 30 = 225π，每元能買到 的大小是 23.6 平方公分；大披 薩的面積是 0.25 x π x 40 x 40 = 400π，每元能買到的大 小是 31.4 平方公分；所以大披 薩比較划算。 代號 8：它們都一樣划算。(此錯誤答案要 另 外 編 碼 ， 因 為 我 們 想 要 追 蹤 有 多少學生有此迷思概念。 ) 代號 0：其它錯誤答案或答案正確但無正 確的理由。 代號 9：沒有作答 M158：形狀 PISA 2006 樣本試題—數學(Ⅰ) - 57 - 問題 1：形狀 上面哪個圖形的面積最大？請寫出你的理 由。 形狀 問題 1 計分 題旨：比較不規則圖形的面積 代號 1：B 圖，並說明合理的理由 ‧ 它 的 面 積 最 大 ， 因 為 其 它 的 圖 可以放到它的裡面 代號 8：B 圖，沒有合理說明。 代號 0：其它答案 代號 9：沒有作答 作答範例 代號 1：‧B，它沒有鋸齒狀的邊緣，不會 減少面積。A 和 C 就有缺口。 ‧B，因為它是完整的圖，另外的 圖是像是少掉幾塊的圓。 ‧B，因為它沒有空缺的面積： 代號 8：‧B，因為它有最大的表面積。 ‧圓形。相當明顯。 ‧B，因為它比較大。 代號 0：‧它們都一樣。 問題 2：形狀 寫出一個估算圖 C 面積的方法。 形狀 問題 2 計分 題旨：評量學生對於測量不規則圖形面積 的策略 代號 1：合理的方法： ‧ 在 圖 上 畫 出 細 格 的 正 方 形 來 覆 蓋 此 圖 形 ， 並 且 計 數 包 含 此 圖 形 一 半 的 面 積 以 上 的 細 格 數 量。 ‧ 切 割 圖 形 的 凸 出 之 處 ， 重 新 排 列 成 正 方 形 ， 再 測 量 正 方 形 的 邊長。 ‧ 依 照 圖 形 建 立 一 個 立 體 模 型 ， 並 以 水 填 充 。 測 量 模 型 所 用 的 水 量 及 水 的 深 度 。 從 這 些 訊 息 來求面積。 代號 8：部分答案： ‧ 學 生 建 議 找 出 圓 面 積 ， 再 減 去 空 缺 的 面 積 。 然 而 ， 學 生 並 未 提到如何找出空缺的面積。 ‧ 將 圖 形 中 每 個 凸 出 部 分 的 面 積 加起來。 代號 0：其它答案 代號 9：沒有作答 注意：此問題的關鍵在於學生是否提供決 定面積的方法。評分架構 (1，8，0) 是學生描述方法的周延程度。 作答範例 代號 1：‧你能用許多圓，正方形或其它 基本圖形來填滿這個圖形，所 以就沒有空缺了。找出所有圖 形的面積並加總。 ‧把圖形重畫到方格紙上，計算 所有占用的方格數。 ‧畫出相同大小的方格並計算。 方格 愈小 =愈精 確。 (在 此學 生 科學教育月刊 第 311 期 中華民國九十七年八月 - 58 - 的描述是簡略的，但我們不計 較學生的寫作技巧，而認為學 生提供的方法是正確的 ) ‧做一個立體模型，裡面注入 1 公分深的水，然後測量所需要 注入的水量。 代號 8：‧找出圖 B 的面積，然後找出空 缺的面積，再從全部面積減去 空缺的面積。 ‧從圓面積減去圖形。 ‧加上每塊的面積，如： ‧ 用 一 個 類 似 的 圖 形 ， 然 後 倒 水 進去。 ‧使用圖形 ‧圖 B 面積的一半 ‧ 找 出 每 個 凸 出 之 處 的 面 積 有 多 少 mm2，然後乘以 8。 代號 0：‧用繩子測量圖形的周長。將繩 子圍成圓形，再用π r2 計算圖 面積。(這裡學生描述的方法是 錯的 ) 問題 3：形狀 寫出一個估算圖 C 周長的方法。 形狀 問題 3 計分 題旨：評量學生對於測量不規則圖形周長 的策略 代號 1：合理的方法： ‧ 取 一 段 繩 子 圍 繞 圖 形 的 輪 廓 ， 然後測量所用繩子的長度。 ‧ 把 圖 形 剪 短 到 幾 乎 接 近 直 線 段 ， 再 把 這 些 線 段 接 成 一 直 線，然後測量此直線長度。 ‧ 測 量 一 些 凸 出 之 處 的 長 度 ， 找 出 突 出 之 處 的 平 均 長 度 ， 然 後 乘以 8(凸出處的數量 ) x 2 代號 0：其它答案 代號 9：沒有作答 作答範例 代號 1：‧用毛線或繩子 !!! (在此學生的描述是簡略的，但 我 們 不 計 較 學 生 的 寫 作 技 巧，而認為學生提供的方法是 正確的 ) ‧ 將 圖 形 的 邊 緣 切 割 成 數 個 部 分。測量每段長度再加總。(在 此學生沒有明確說每段需要是 接近直線，但我們假定他是對 的，也就是說，他提供把圖形 剪成數段的方法，每段假定是 容易測量的 ) 代號 0：‧ 測量圍繞的輪廓。(此學生沒有 建議任何測量方法。僅簡單的 說「測量」但未提供如何測量 的方法 ) ‧擴張圖形成為圓形。(在此學生 雖然有提供方法，但此方法是 錯的 ) PISA 2006 樣本試題—數學(Ⅰ) - 59 - M159：賽車 下圖顯示一輛賽車在跑第二圈時，沿著一個平坦、3km 長軌道的速度變化。 問題 1：賽車速度 從起始線到軌道裡最長且平直部分的開始 處，其大約距離為何？ A 0.5 km B 1.5 km C 2.3 km D 2.6 km 賽車速度 問題 1 計分 滿分 代號 1：B 1.5 km 零分 代號 0：其他答案 代號 9：沒有作答 問題 2：賽車速度 在跑第二圈期間，哪個地方速度最低？ A 在起跑線 B 約在 0.8 km 處 C 約在 1.3 km 處 D 約在軌道的一半 賽車速度 問題 2 計分 滿分 代號 1：C 約在 1.3km 零分 代號 0：其他答案 代號 9：沒有作答 問題 3：賽車速度 你能說明在 2.6 km 到 2.8 km 之間的車速 代表什麼意思嗎？ A 車速維持不變。 B 車速增加。 賽車沿著 3km 軌道的速度 (第二圈 ) 速度 (km/h) 軌道的距離 (km) 起始線 科學教育月刊 第 311 期 中華民國九十七年八月 - 60 - C 車速減少。 D 無法由圖中判斷車速 賽車速度 問題 3 計分 滿分 代號 1：B 車速增加。 零分 代號 0：其他答案 代號 9：沒有作答 問題 4：賽車速度 在此有五條軌道的圖形：沿著哪個軌道駕 駛賽車，會繪出如前述的速度變化圖？ S：起點 賽車速度 問題 4 計分 滿分 代號 1：B 零分 代號 0：其他答案 代號 9：沒有作答 M161：三角型 問題 1：三角形 圈選出符合下面敘述的三角形： 三角形 PQR 是一個直角三角形，且 R 為 直角。線段 RQ 比線段 PR 短。M 為線段 PQ 的中點，且 N 為線段 QR 的中點。S 是 三 角 形 內 部 的 一 個 點 。 線 段 MN 比 線 段 MS 長。 三角形 問題 1 計分 滿分 代號 1：D 零分 代號 0：其他答案 代號 9：沒有作答 PISA 2006 樣本試題—數學(Ⅰ) - 61 - M179：搶劫 問題 1：搶劫 電視主播呈現了下圖並報導： 「從圖表顯示，從 1998 年到 1999 年搶 劫案數量有巨幅的上升」。 你 認 為 這 位 主 播 對 於 上 圖 的 解 釋 是 否 合 理？請寫出一個理由來支持你的答案。 搶劫 問題 1 計分 注意： 以下代號中，答案「否」包括所有 認 為 「 該 詮 釋 是 不 合 理 的 」 的 句 子 ， 而 答 案 「 是 」 則 包 括 所 有 認 為「該詮釋是合理的」的句子。請 不要單憑「是」 或「否」來計分， 而應看看答案解釋是否合理。 滿分 代號 21：不，不合理。指出我們看到的只 是整個圖表的其中一小部分。 ‧不合理，須顯示整個圖表。 ‧我不認為那是合理的詮釋，因 為如果顯示全圖的話，便能看 到 搶 劫 案 的 數 目 只 是 輕 微 上 升。 ‧不合理，因為他只用了圖表上 方的小部分。如果看到全圖由 0 到 520 的情況，便知道上升 的幅度不是那麼大。 ‧不，那只是因為該圖表讓人覺 得數字巨幅上升。看數字增加 並不多。 代號 22：不，不合理。用比率或百分比的 數字作論據，論點正確。 ‧不，不合理。 與總數 500 比 較，10 不是一個巨幅的增加。 ‧不，不合理。計算百分比，約 只有 2%的增加。 ‧不，多了 8 宗搶劫案，即上升 了 1.5%。我認為那不是很多！ ‧不，今年只多了 8 或 9 宗，與 507 宗比較，那不是很大的數 字。 代號 23：要有趨勢的數據資料才可作出判 斷。 ‧我們不能說增加是否巨幅。若 1997 年的搶劫案數目與 1998 年 的 相 同 ， 那 麼 我 們 可 以 說 1999 年有巨幅增加。 ‧有多「巨幅」，我們無從得知。 因為至少需要有兩個改變，才 可判別哪個大，哪個小。 部份分數 代號 11：不，不合理，但欠缺詳細解釋。 ‧只有討論搶劫案的實際增加數 字，但沒有將它與總數比較。 每年搶劫案 數量 1998 年 1999 年 科學教育月刊 第 311 期 中華民國九十七年八月 - 62 - ‧不合理。搶劫案數目大約增加 了 10 宗。用「巨幅」一詞去 形 容 搶 劫 案 數 目 增 加 的 真 實 情況不正確。搶劫案數目只大 約增加了 10 宗，我不會稱之 為「巨幅」。 ‧由 508 至 515 不是一個大增 加。 ‧不，因為 8 或 9 不是一個大數 目。 ‧有點不合理。由 508 至 515 是 有增加，但不是巨幅的增加。 注意： 由於圖表的比例尺不是太清楚，因此如果搶 劫案增加的數字在 5 至 15 之間，可以接受。 代號 12：不，不合理。方法正確但有輕微 計算錯誤。 ‧方法和結論皆正確，但計算出 來的百分比是 0.03%。 零分 代號 01：不。表示不合理，但沒有提供解 釋 、 沒 有 充 分 解 釋 或 解 釋 不 正 確。 ‧不，我不同意。 ‧主播不應用「巨幅」這個字眼。 ‧不，這是不合理的。主播 (記 者 )經常喜歡誇大。 代號 02：是。基於圖表的形狀，因而指出 搶劫案數字雙倍增加。 ‧是，圖形的高度雙倍增加。 ‧是，搶劫案數字差不多雙倍增 加。 代號 03：是。沒有提供解釋，或提供代號 02 以外的解釋。 代號 04：其它答案 代號 99：沒有作答 M215：剎車 如果要停止一輛移動中的車子，所需要的 距離大約是下列的總和： ‧當司機開始準備踩剎車前的距離 (反應 時間的距離 ) ‧踩下剎車後的距離 (剎車距離 ) 下面的「蝸牛圖」顯示在良好的剎車情況 下 (一位特別謹慎靈敏的司機、正常的剎 車系統和輪胎，以及乾燥且平整的路面 )， 停止距離如何受到行車速度快慢的影響。 PISA 2006 樣本試題—數學(Ⅰ) - 63 - 問題 1：剎車 若車子的速度為 110 kph，則司機反應時 間的距離是多少？ 剎車 問題 1 計分 題旨：從圖中閱讀訊息的能力。 代號 1：22.9 m (單位非必要 ) 代號 0：其它答案 代號 9：沒有作答 問題 2：剎車 若車子速度為 110 kph，則車子完全停止 所需距離是多少？ 剎車 問題 2 計分 題旨：從圖中閱讀訊息的能力。 代號 1：101 公尺 (單位非必要 ) 代號 0：其它答案 代號 9：沒有作答 停車時間 停車距離 剎車距離 反應時間的距離 科學教育月刊 第 311 期 中華民國九十七年八月 - 64 - 問題 3：剎車 若車子速度為 110 kph，則完全停住需要 多少時間？ 剎車 問題 3 計分 題旨：從圖中閱讀訊息的能力。 代號 1：5.84 秒 (單位非必要 ) 代號 0：其它答案 代號 9：沒有作答 問題 4：剎車 若車子速度為 110 kph，則踩剎車後所移 動的距離為何？ 剎車 問題 4 計分 題旨：從圖中閱讀訊息的能力。 代號 1：78.1 公尺 (單位非必要 ) 代號 0：其它答案 代號 9：沒有作答 問題 5：剎車 第二位司機，在良好的情況下，完全停止 所需距離為 70.7 米。則踩剎車前的行 駛 速度是多少？ 剎車 問題 5 計分 題旨：從圖中閱讀訊息的能力。 代號 1：90 kph (單位非必要 ) 代號 0：其它答案 代號 9：沒有作答 M266：木匠 問題 1：木匠 木匠有 32 公尺的木材，想要在花圃周圍做 邊界。他考慮將花圃設計成以下的造型。 上面花圃的設計是否可以用長 32 公尺的 木板來圍成，在下表中的每一種設計圈出 是或否。 木匠 問題 1 計分 滿分 代號 2：答對四項。 A 設計 是 B 設計 否 C 設計 是 D 設計 是 部份分數 代號 1：答對三項。 零分 代號 0：答對二項或以下。 代號 9：沒有作答 花圃的設計 是否能用長度32 公尺的木板圍成 A 設計 是 / 否 B 設計 是 / 否 C 設計 是 / 否 D 設計 是 / 否 PISA 2006 樣本試題—數學(Ⅰ) - 65 - M267：陽臺 問題 1：陽臺 尼尼想要在新房子的長方形陽臺鋪磁磚。 這個陽臺的長為 5.25 公尺，寬為 3.00 公 尺。每 1 平方公尺牠需要 81 塊磁磚。請計 算尼尼鋪完整個陽臺需要多少磁磚。 陽臺 問題 1 計分 滿分 代號 2：1275, 1276 或 1275.75 (單位非必 要 )。 部份分數 代號 1：15.75 (單位非必要 ) 或 在 5m x 3m 有 1215 個磁磚 (此 得 分 用 來 說 明 學 生 能 計 算 平 方 公 尺 的 整 數 部 分 所 用 的 磁 磚 數，但不能計算小數部分的磁磚。 參考作答範例 ) 或 計算面積錯誤，但正確乘 81 或 將 面 積 四 捨 五 入 ， 然 後 正 確 乘 以 81 零分 代號 0：其它答案 代號 9：沒有作答 作答範例 代號 2：‧5.25 × 3 = 15.75 × 81 = 1276 代號 1：‧5.25 × 3 = 15.75 ‧15.75 × 81 = 9000 ‧81 × 15 = 1215; 1215 + 21 = 1236 ‧5.25 × 3.0 = 15.75 m2； 所 以 15.75 × 1275.75 = 1376 個磚塊 (此學生第一部分正確，但第二 部 分 錯誤。 第 一部分 可 以給 分，忽略第二部分。所以分數 是 1) 81 81 81 81 81 81 81 81 81 81 81 81 81 81 81 5m 3m 中文版權：國立台南大學 英文版權：OECD（Organisation for Economic Co-operation and Development） PISA（Programme for International Student Assessment） 轉載出處：PISA 台灣網站（http://pisa.nutn.edu.tw/pisa03.html） << /ASCII85EncodePages false /AllowTransparency false /AutoPositionEPSFiles true /AutoRotatePages /None /Binding /Left /CalGrayProfile (Dot Gain 20%) /CalRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1) /CalCMYKProfile (U.S. Web Coated \050SWOP\051 v2) /sRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1) /CannotEmbedFontPolicy /Error /CompatibilityLevel 1.4 /CompressObjects /Tags /CompressPages true /ConvertImagesToIndexed true /PassThroughJPEGImages true /CreateJobTicket false /DefaultRenderingIntent /Default /DetectBlends true /DetectCurves 0.0000 /ColorConversionStrategy /CMYK /DoThumbnails false /EmbedAllFonts true /EmbedOpenType false /ParseICCProfilesInComments true /EmbedJobOptions true /DSCReportingLevel 0 /EmitDSCWarnings false /EndPage -1 /ImageMemory 1048576 /LockDistillerParams false /MaxSubsetPct 100 /Optimize true /OPM 1 /ParseDSCComments true /ParseDSCCommentsForDocInfo true /PreserveCopyPage true /PreserveDICMYKValues true /PreserveEPSInfo true /Preserve