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一组关于无理函数极值的几何模型高中解题研究中小学数学呻学版i霉无理函数极值的几何模型河南省周口市川汇区教体局教研室(466001) 李世臣华罗庚先生在文 [1]中提出无理函数 _厂( )= 一 + ~／，r ( ≥0)的最小值问题，并给了八种初等解法；单蹲先生在文 [2]给出第九种解法；王申怀先生在文[3]中归纳整理了该问题的另外种解法；文[4]又补充了两个新解；本文另辟蹊径，通过构造几何模型，再给一种几何解法．先来研究这种类型的一般形式．函数类型一：函数)= 。+n 一A (0o，...

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解题研究中小学数学呻学版i霉无理函数极值的几何模型河南省周口市川汇区教体局教研室(466001) 李世臣华罗庚先生在文 [1]中提出无理函数 _厂( )= 一 + ~／，r ( ≥0)的最小值问题，并给了八种初等解法；单蹲先生在文 [2]给出第九种解法；王申怀先生在文[3]中归纳整理了该问题的另外种解法；文[4]又补充了两个新解；本文另辟蹊径，通过构造几何模型，再给一种几何解法．先来研究这种类型的一般形式．函数类型一：函数)= 。+n 一A (0o， >0，Ⅱ，A是常数)，当 =— 时，有极小值 Y⋯ =n,／1一A ．几何模型一：如图 1， A LABC=90。，AB=。，点 P是 n 射线BC上一动点，BP= ．在 LABC内作 CBD = (0。< B <90。)，使sinO=A．连结AP 交 BD于点G．作PF上BD于点 F作AE上BD于点E，交 BC于点日，则 BAH= ．所以AP：、 =、仔，PF= P． sinO =xsinO = Ax． Y = +。一Ax =A尸一PF≥ AP—GP =AG ≥ AE．当动点P与点重合时，两等号同时取得．此时，： BH ： AB ．ta 0： 0．— ： ,／1一sin Aa ：』4E=A ．c0s =o．、 r二—； =0、／ —二— 下面解答华先生提出的函数最小值问题 ) = 一 +字 =字( 一彳 4 于【当 1 1 一== × _ ,／3 2 1 × — √2 4 ,／3 × 下面再给出另外几种类型无理函数的一般结论．函数类型二：函数，一 A 一、二 (A>1， ≥ n>0，。，A是常数)，当：— 时，有极小值 ⋯ ~／A 一1 = a v／A 一1．几何模型二：如图 2， LABC =90。，AB =a．点 P是射线 BC上一动点．在 LABC 外作 DAB = (0。< < 90。)，使secO=A，且AD交BC D 图 2 的反向延长线于点D．连结4尸，作AE上AP，DE上DC，垂线 AE，DE交于点，连结 P 因为 Z_ABC=90。，ED上DC，所以ED∥AB．所以 ADE = D4口 = ．由AE 上AP，DE上 DC，得 EAP = EDP = 90。．所以A，E，D，P四点共圆．所以 APE：LADE= ． i：~aP= ，则PB=、：，PE =AP ·secO= ·secO= Ax． Y =Ax一 ? =PE—PB≥ PD —PB： BD．当点 E，D重合，即／_APD = APE=0时，上面 - - 45 ．- ■_l十小学数学冲学版不等式取等号·此时， = AB 南 = 垒 =，y⋯=BD=AB．IanO=o· 、、 ⋯ 。：。 ■ 函数类型三：函数Y=~／Ⅱ 一 +A (A>0，0≤ ≤口，n，A是常数)，当：— 时，有极大值， 0 1 A Y =口 +1；若00，0≤ ≤ ，口，，l是常数)，当：O时，有极大值， =口；当 =o时，有极小值，，， =一 An．几何模型四：如图 4，AB A P 解题研究高中 90。)，使 tan0=A．当 PBA>0时，／_ACB=90。+ ；当0≤／_PBA ≤0时，／ACB=90。～所以，点C的轨迹是半圆(图中虚线)，也可看作是以AB为直径的半圆绕着点逆时针旋转0，同时放大到比例为／『_ 的半圆，则 AP= 、：、孵，Pc：船．tan0= A ． Y = 口一一Ax = 尸一PC．当／_PBA>0，即0≤ <— 时，Y=AC； ~／1+A · 当0≤／PBA≤0，即— ≤ ≤n时，Y=一AC． ~／1+A 显然，当：0时，Y =AB=口；当 =a时，：一AC =一Aa 以上归纳了常见的四种无理函数类型，皆通过构造几何模型，利用平面几何里的不等关系将无理函数内隐的极值问题外显出来，简洁直观．参考文献： [1]华罗庚．谈谈与蜂房结构有关的数学问题 [ ]，北京：北京出版社，1979年 1月第一版． [2]单增．一个极值问题[．，]．数学通报，1998， (11)． [3]王申怀．一个极值问题的新解 [．，]．数学通报，1999，(1O)． [4]孟祥礼，孟祥东．一个极值问题的两个新解 [．，]．中学数学研究，2007，(2)．

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