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中科院量子力学超详细笔记_第六章_对称性分析和应用

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中科院量子力学超详细笔记_第六章_对称性分析和应用 134 第六章 对称性分析和应用 §6.1 一般叙述 1,对称性的含义 对称性含义有广义和狭义两种: 广义来说,Einstein 说,“自然界最不可理解的就是它竟然是可 以理解的!” 追求和理解自然界最深层次的对称性一直是物理学发 展的主旋律之一。常常是对某种基本对称性的信念,激励人们去发 展物理学。Weyl 说:“对称性是这样一种意念,人们长年累月地试 图以它去理解并创造秩序、美和完善。” 狭义来说,给定系统的某种对称性是指某种不可分辨性,是对 某种属性的不可观测。这就是...
中科院量子力学超详细笔记_第六章_对称性分析和应用
134 第六章 对称性分析和应用 §6.1 一般叙述 1,对称性的含义 对称性含义有广义和狭义两种: 广义来说,Einstein 说,“自然界最不可理解的就是它竟然是可 以理解的!” 追求和理解自然界最深层次的对称性一直是物理学发 展的主旋律之一。常常是对某种基本对称性的信念,激励人们去发 展物理学。Weyl 说:“对称性是这样一种意念,人们长年累月地试 图以它去理解并创造秩序、美和完善。” 狭义来说,给定系统的某种对称性是指某种不可分辨性,是对 某种属性的不可观测。这就是说,在某种操作或变换下系统依然保 持不变,现为系统的 Hamiltonian 在这些变换下保持不变。 一般说,不同体系所具有的对称性不一定相同。但是,所有使 体系全部物理性质保持不变的对称变换,必定构成此体系的一个对 称群。 研究对称性的意义: 第一,构造发展理论。按 Heisenberg 的观点,“必须寻找的是 基本对称性”。 第二,增强物理直觉,利于迅速抓住问题要点,化简提法。 第三,简化一些计算。不经求解 dingeroSchr && 方程即可得到态及 本征值的某些知识。包括能级特征、矩阵元计算、禁戒等。 2,量子力学中的对称性 135 无论就对称性的种类和程度来说,QM 的对称性都高于 CM 中 的对称性。CM 中存在的对称性 QM 中也都对应存在,如时间、空 间的均匀、各向同性对称性;而且,QM 还存在一些 CM 中所没有 的对称性,如全同性原理、同位旋对称性。 然而,个别对称性除外,弱等效原理这种对称性在 CM 中存 在,但在 QM 中被破坏,只当向经典过渡时才又逐渐显现出来。这 是说,弱等效原理被量子涨落所破坏。 QM 中常见的对称性有一些是普遍存在的基本对称性,有一些 则是特殊系统才具有的特殊对称性。 从另一角度来说,有一些是严格成立的对称性,有一些则是近 似成立的对称性。 QM 中的时间均匀性、空间均匀性、空间各向同性、同类粒子 的全同性原理(或交换对称性)是普适的、严格成立的基本对称 性;而空间反射不变性、时间反演不变性对大部分情况都严格成 立,可算是基本对称性,但毕竟不是普适的。同位旋对称性,这是 一个适用范围很广的近似对称性。 此外,还有各种特殊体系的各种特殊转动、反射对称性,它们 属于这些体系的特殊对称性。比如中心场问题的空间旋转对称性、 谐振子的空间反演不变性、各类晶体的各种特殊空间转动和反射对 称性等等,这些都属于这些特殊体系的特殊对称性。 按通常说法,上面这些对称性及其相应的变换划分为两类: 136 第一,根据相应变换是连续还是分立的来分类。比如,空间反 射变换、时间反演变换、全同粒子置换、晶体的对称变换等等均属 于分立变换,其余的属于连续变换。 第二,按照对称性涉及的是体系的内禀属性还是外在属性来分 类。空间平移、时间平移、空间旋转这三个对称性是体系所处的时 空性质对体系运动方式提出的。即时空特性对孤立体系哈密顿 量的要求。严格说,由此得出的对称性并不是系统的内在属性,而 是时空固有属性在体系运动行为上的体现(参见下节叙述)。与此 相反,全同粒子置换对称性和同位旋空间旋转对称性等,是体系的 内部对称性,反映体系的内禀属性。而空间反射、时间反演对称 性,也根源于体系内部的动力学性质,也应当认为反映了体系的内 禀属性。 3, 对称性与守恒律及守恒量 上面已触及了对称性和守恒律的关系问题,现在简要研究它。 一个体系的对称变换U ,既然使体系的全部物理性质保持不 变,当然也使该体系的 Hamiltonian 保持不变, HUHU =−1 (6.1) 于是由 Wigner 定理断定,U 一定是个幺正变换或反幺正变换1。 首先,假定对称变换U 是连续的。由于不存在连续的反幺正变 换,只须研究幺正的情况。以前说过,一个连续变化的幺正变换U 总可以表示为2 1 反过来不能说:一个幺正变换一定是体系的对称变换。因为许多幺正变换会改变体系的 Hamiltonian 形 式。比如,空间转动总是幺正变换,但却只有几种特殊转动,才使离子立方晶体 NaCl 的 Hamiltonian 137 Ω−= αieU (6.2) 这里Ω为厄米算符,α 为连续变化的实参数。由(6.1)式得 [ ] 0, =UH 或写为 [ ]∑∞ = =Ω− 0 0, ! )( n n n H n iα 由于α 可取连续值,取α 足够小,即得 [ ] 0, =ΩH (6.3) 于是得到结论:如果连续变换U 是量子体系的对称变换,则U 的生 成元(厄密算子Ω)是个守恒量。或者说,当量子体系存在一种 (连续变化的)对称性,就相应地存在一个守恒律和守恒量。 其次,假定对称变换U 是分立的。这时幺正和反幺正的情况都 存在,它们都应当和体系的 Hamiltonian 对易,即存在 [ ] 0, =UH (6.1b) 在量子力学范围内,这包括幺正的空间反射变换和反幺正的时间反 演变换两种。其中,空间反射变换U 又是厄密的,于是它直接就是 守恒的力学量——宇称。但对于时间反演变换,由于它的反线性的 性质而不存在相应的守恒量(参见附录一)。 总之,一般说来,当体系存在某种对称性时,体系必定相应具 有某种有规律、有秩序的东西,但并非总是一个守恒的力学量。 §6.2 时空对称性及其应用 量保持不变,它们属于 NaCl 晶体的对称变换。 2下面只讨论幺正变换。反幺正变换参见附录一。 138 1,时间均匀和能量守恒定律 时间流逝本身是均匀的。这就是说,除非遭到含时外场的破 坏,并不存在与众不同的绝对的时间标架。因此,和 CM 情况相 似,一个孤立的没有任何外界参照物的量子体系的 Hamiltonian 中 不能显含时间参量。否则就可以观测体系的绝对的时间坐标,这违 背时间轴的均匀性质。由此,设想沿着时间轴来平移这个体系,将 不会造成任何物理上可察觉的变化。 这当然也就意味着,孤立量子体系在演化中的绝对相因子(常 称作整体相因子或外部相因子)是不可以观测的。 关于时间平移算符。时间平移算符 )(τU 是这样一种关于体系演 化时间的变换算符,是于设想中将体系的描述,在时间轴上向未来 方向平移τ 的操作。即把体系在任一时刻 0tt = 发生的事件于设想中 推迟到 τ+= 0tt 时刻发生。于是, ( ) ( ) ( )τψψτ −→ ttU : ; )()()( ττ −Ψ=Ψ ttU (6.4) 这里 τ−t 是因为,在变换前的 t 时刻体系处于 )t(Ψ ;在变换后到 τ+=′ tt 时刻体系才处于 )t(Ψ 。如果H不显含 t,可以求得 )(τU 的紧 凑表达式。按 dingeroSchr && 方程 )()( t i Ht dt d Ψ=Ψ h 于是 )()()()( 22 t i Ht dt d i Ht i H dt dt dt d Ψ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ =Ψ=Ψ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ =Ψ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ hhh 或一般地有 139 )()( t i Ht dt d nn Ψ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ =Ψ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ h 所以 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∑∑ ∞ = ∞ = + −=⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛− =⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ = 00 !! 1 n nnn n Hi tt dt d n tHi n te τψψτψτψ τ h h 即 ( ) ( )τψψ τ −= tte H i h (6.5) 于是,这种保持时间标架不变而将体系沿时间轴平移τ 的算符或幺 正变换(这称为主动方式,而不是被动方式——体系不动而将时间 轴反方向平移)的表达式为 h τ τ Hi eU =)( (6.6) 按 )(τU 的定义,它推迟时间演化,因而和时间演化算符是反方向 的。显然 )(τU 也是一个幺正变换,不改变体系的一切可观察物理效 应。在这个变换下,态和算符的变化分别为 量子态的变化: ( ) )()()()()( τψψτψψ τ −==→ ttUtt (6.7a) 力学量算符的变化: ( ) 1)()( −Ω=Ω→Ω τττ UU (6.7b) 于是,对任给的两个态矢 (t)ϕ , ψ(t) 和任一力学量算符Ω,总有 ( ) ( ) ( ) ( ) )t()t()t()(U)(U)t()t()t(tt ψϕψττϕτψτϕψϕ ττ =⋅=−−≡ −1 (6.8a) ( )( ) ( ) ( )( ) )()()()()()()()( 111 tttUUUUttUUttt ψϕψϕτψτττϕψϕ τττ Ω=Ω=−Ω−=Ω −−− (6.8b) 即, ( )τU 变换前后所有几率幅和矩阵元都不变。这就表达了本节一 开始的思想:如果H 不显含时间 t,体系应当时间平移不变。或者说, 140 这时采用时间轴上任意不同点作为计算时间的起点,不会产生物理 上可觉察的差异。显然,对于孤立体系,情况本就应当如此。 上面叙述可以换一种形式。对一个体系的任意两个态矢 ϕ 和 ψ ,总有 ψϕψϕψϕψϕ dt dH t HH dt d H dt d ⋅+ ∂ ∂ +⋅= ψϕψϕψϕ H i H t HHH i hh 11 ⋅+ ∂ ∂ +⋅ − = (6.9) ψϕ t H ∂ ∂ = 根据第一章的微商算符定义,有 ψϕψϕ dt dHH dt d ≡ ,再考虑到 ϕ , ψ 的任意性,就得到 t H dt dH ∂ ∂ = 。现在,由于孤立系的H不显含 t, 0= ∂ ∂ t H 。于是即得结论:对H不显含 t的量子体系,总有 0= dt dH (6.10) 体系的 HamiltonianH——现为时间平移算符的生成元是个守恒量。 这意味着在体系的任何态中: 第一,H的平均值不随时间变化; 第二,H取各个本征值的概率分布不随时间变化。 证明:将任一给定的初态 ( )0,rvψ 和相应的含时态 ( )t,rvψ 按H本征态 { ner tiEn n ∀− ,)( h rψ }展开: hrr tiE n n nn n n nebtrbr −∑∑ == ψψψψ ),(,)0,( 。 这里,系数 nb 是 ( )0,rvψ 的展开系数,当然与 t 无关。于是得到 n n n t EE i nmn nm * m EbeHbbH nm 2∑∑ == −hψψψψ 141 这说明,测量此体系任意态 t),rψ(v 中的能量,所得本征值 nE 的概率 分布 2nb 不随时间变化——只取决于初始时刻的分布。如果初态就是 体系某个能量本征态,以后将一直如此不变。这就是常说的孤立体 系的能量守恒定律的两点具体含意。 注意,这里孤立体系能量守恒的两点内容并未要求体系在任何 态中都必定有客观确定的本征值。一般说,即便是一个孤立的量子 体系,也有可能处在含时态上——即某些能量本征态的叠加态上。 这是由于:给定初态并非是体系 Hamiltonian 的本征态这种局面造 成的。比如自由飞行中子就会发生衰变。 但对于H不含时体系,不论其处在何种状态上,能量平均值及 本征值的取值分布均保持不变。 2, 空间均匀性和动量守恒定律 以类似方式也可以得到当空间坐标系不动,而将体系平移有限 距离 ar的变换,即空间平移幺正算符 )(aU r 。按 )(aU v 定义,对任意态 矢应有 ( ) )t,ar()t,r()a(U)tr(a rrrrr −== ψψϕ (6.11) 这里右边态矢里 ar vv − 中的负号可以这样理解:设体系为一团概率 云,(6.11)式左方为对变换之后云团的描述,它在 rv处的值 ( ) ( )tra vϕ 应当是变换之前的云团在 ar vr − 处的值 ( )t,ar vv −ψ 。这正说明 这一团概率云移动了 ar距离。于是 ( ) )t,r() x a( !n )t,ar()tr()a(U)tr( n ii i n a rrrrrrv ψψψϕ ∂ ∂ −=−== ∑∑ = ∞ = 3 10 1 142 )()exp()()exp( trpaitra rrrh rr ψψ ⋅−=∇⋅−= 所以,使体系空间平移ar的算符为 pai eaU rr hr ⋅− =)( (6.12a) 按上面所说,如果体系具有空间平移不变性(孤立系必定如此), 这个幺正变换将是体系的对称变换,它的的生成元——动量算符 pr 就是个守恒量,即体系的动量守恒。对于多粒子体系,将 rv替换为 ir v , ( )n,,,i L21= ,简单推广这里的推导,可得将体系作空间平移ar 的算符为 ( ) ∑= =⋅− n i ipa i eaU 1 vv hv (6.12b) 如果这个多粒子体系可以看作孤立系,它就具有空间平移不变性, 于是体系的总动量 ∑ = = n i ipP 1 vv 将是个守恒量。 举一个 CM 分析的例子,由它可以引出牛顿第三定律,同时也 表明,经典分析和量子分析具有同一时空特性的根源。由于 ( ) ( )2121 , rrVrrV vvvv −→ 按力的表达式,作用在第 i 个粒子上的作用力为 VFVF 2211 ; −∇=−∇= vv 按照V 的这种形式,就得到 21 FF vv −= 这就是牛顿第三定律。由于 dt pd F ii vv = ,第三定律其实就是两粒子孤立 体系总动量守恒的换一种说法 143 这说明,与这里量子力学分析一样,第一定律和第三定律也是根源 于宏观粒子所处时空的均匀性,而经典分析所导致的总动量守恒的 结论和量子力学的结论也一般无二。QM 所不兼容的只是牛顿第二 定律以及质点概念(相应还有轨道概念)。但为了描述方便,QM 和后继课程更常用的是势的概念,而不是力的概念。 和前面能量守恒情况类似,说动量守恒,并不等于体系一定得 处在动量的本征态上,要看初条件如何而定。 比如,自由运动波包动量是个守恒量,波包的初条件是一系列 动量本征态的某种叠加,其后动量的平均值和分布都将一直不变, 尽管波包在位形空间中弥散着、变形着。 再比如,边界条件,它的存在必将导致粒子和边界物体的动量 交换而使粒子动量不守恒,妨碍具有非定域性质的动量本征态解的 存在。 3,空间各向同性和角动量守恒 由于我们所处的空间是各向同性的,本无特殊方向可言(若存 在有向外场,如重力场,就将破坏这种各向同性。和前面论述一 样,这里是讨论未遭任何外来破坏的空间本身的内禀性质)。设想 一个孤立体系绕任何轴旋转一个任意角度,这种操作不应当影响体 系的任何物理性质。设该体系绕 ner 轴转过一个很小角度 αΔ 的转动算 符为 )eU(Δ nvα ,则有 ( ) ),(),()()( trtreUtr n ρψψαψ ρ rrrrrv Δ−=Δ=Δ ( ) 021 =+ dt ppd vv 144 这里 αρ Δ×=Δ )( ren vvv 。于是 t),ρΔrψ( rr − )()Δ( ! 1 0n trψρ n n vv ∇⋅−= ∑∞ = [ ] t)ρψ()ρe(Δα)( n n n n ν rrv ∇⋅×−= ∑ !1 ( ) [ ] )()( ! 1 0 trre n n n n n rrr ψα ∇×⋅Δ−= ∑∞ = )()exp( trLei n v)rr h ψα ⋅Δ − = (6.13) 显然,体系绕 nev 轴转动有限角度α 的转动算符等于绕该轴的一系列 小转动算符 ( )neU vαΔ 的连乘积。由于这些小转动都是绕同一根轴进行 的,它们之间可以对易。这些指数算符的连乘能够紧凑地写为这些 算符的指数上转角相加。于是有 ( ) Lein neeU rˆr hv ⋅− = α α (6.14) 假如体系中的相互作用势是空间各向同性的(如中心场那样),所 有这些 nevα 转动变换就都是使体系保持不变的对称变换,这导致它 们的生成元——角动量矢量 L)v守恒。不过,虽然这时 2Lˆv 和它的三个 分量都是守恒量,但由于分量之间彼此不对易,不能同时具有各自 确定的本征值。例如,当 xL 取某个本征值 hm′ (相应地,态是 xL 的 本征态)时, yL 和 zL 将以一定的概率分布各自取可能值 hm (共 12 +l 个)。于是对 yL 或 zL 作单次测量时,结果都将呈现不确定性。 尽管如此, yL 和 zL 取值的概分布以及平均值 zy LL , 均不随时间变化。 举一个例子。势场在 x和 y方向为均匀,在 z方向的等势线为无 限圆柱形螺旋线,求粒子运动时除能量之外的守恒量。 145 选柱坐标 ( )z,,θρ ,势场的形式可表示为 ( )αρθ tgzVV −= 。α 是 势场的特征参数,为实常数,如图 6-2 所示。由前面的叙述可知, 绕 z轴转 θΔ 的转动算符和沿 z轴移动 ZΔ 的平移算符分别为 ( ) ( )⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ ⋅Δ−=Δ Δ−=Δ )exp( )exp( z zz pzizB LieA h h v θθ 令 π θ αθρ 2 Δ ≡⋅Δ=Δ dtgz ,这里 απρ tgd 2= 为势场的等势线——螺旋线的 螺距。由于 [ ] 0, =zz PL ,可将算符 A和B的乘积合并成为一个新算符 ( ) ( ) ⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +Δ−=Δ⋅⋅Δ= zzz p dLitgBeAC π θθαρθ 2 exp h v (6.15) 按题设势场的性质,应该有 ( ) .0 2 , =⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ +− zz p dLtgzV π αρθ 此外还应考虑到 0, 2 , 2 22 =⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ =⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ zz p pLp μμ ,所以最后有 [ ] 0, =HC 于是,在这个等势线为螺旋线的势场中,(6.15)式中生成元算符 zz Lp d + π2 (6.16) 及相应物理量守恒。 以上讨论的是关于时空连续对称变换。由于现有的时间和空间 内禀地具有均匀各向同性的性质,只要不遭受外来破坏,这些属性 就会自然地显现出来,成为三个普适守恒定律的物理根源。对孤立 系,不论其中发生什么过程,均会因为体系所在时空这些固有属性 而必定遵守这三个定律。 146 所以,如其说这三个守恒定律是体系本身的内禀性质,不如更 准确地说,是时空固有属性在体系运动行为上的体现。三个守恒定 律的物理基础正是时空均匀各向同性的性质。 这就是为甚么从 CM 过渡到 QM 时,虽然研究对象行为迥然不 同,概念和结论也发生了天翻地覆的变化,但这三个守恒律却安然 无恙地贯穿下来的缘故。因为,量子体系的行为从经典观点来看虽 然“乖僻”,但毕竟也是存在于、运动于和经典体系同一时空之中。 从而,这个时空的属性也必定“烙印”(或“体现”)在量子体系运动 的行为上,使量子体系表现出(如同宏观体系已经表现出的那样) 三个守恒定律的存在。 4, 空间反射对称性和宇称守恒 在非相对论 QM 范围内,有关时空的变换,除上述三个连续变 换之外,还有两个分立的变换,空间反射变换和时间反演变换。时 间反演变换在附录二中叙述,这里只讨论空间反射变换。 空间反射变换,在 CM 中的定义是 ,rr vv −→ pp vv −→ 类比经典情况,在 QM 中引入宇称算符 Pˆ ,它的定义是 rrP vv −=ˆ (6.17) 根据定义,首先可得它对任意态的作用 ∫+∞ ∞− −= rd|rrPˆ vvv ψψ (6.18) 由于 ( )rr vv ψψ =| ,于是 ( )∫+∞ ∞− −=−= rrdrrrPr vrrvvv ψψψ '|'`|ˆ 147 就是说,经 Pˆ 变换后的态的波数 ( )rv−ψ 是原先 ( )rvψ 对于原点的镜像 反射。还可以得到 Pˆ 对动量表象基矢的作用 ∫∫ +∞ ∞− ∞ ∞− ′′−′=−= rdprrrdp|rrpPˆ vvvvvvvvv prdprr vvvvv −=′−′′= ∫+∞ ∞− (6.19) 显然,两次相继的空间反射变换等于一个恒等变换,即 ( ) rrrPrP rvvv =−−=−= ˆˆ 2 于是有 1ˆ 2 =P 这说明宇称算符是自逆的,即 1ˆˆ −= PP (6.20) 另外,对任意两个态矢(为表述明确,根据上面结果,下面将 变换前后的态矢用它们的波函数来标记),有 ( ) ( )rrP vv −= ϕϕˆ ( ) ( )rrP vv −= ψψˆ 而按内积定义总有 ( ) ( ) ( ) ( )rrrr vvvv ψϕψϕ =−− 于是有 ( ) ( ) ( )rrrPPr vvrv ψϕψϕ =+ )(ˆˆ 从而得到 1ˆˆ =+ PP (6.21) 这说明宇称算符又是幺正的。总结起来,宇称算符 Pˆ 不但是自逆 的,而且还既是厄米的又是幺正的, 148 ⎩⎨ ⎧ == = −+ 1 2 ˆˆˆ ˆ PPP IP (6.22) 按第一章算符公设附注中所述,由宇称算符的自逆性质可知它有两 个本征值: 1± ,并且可取它的本征态矢构成完备集,用于展开任意 态矢。比如,在坐标表象里将这个结论叙述出来就成为,任意波函 数总可以分解为如下两部分之和:空间反射下为对称的部分和空间 反射下为反对称的部分。这种分解总是可以做到的,只要令 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ −−= −+= )( 2 1 )( 2 1 rrr rrr A s vvv vvv ψψψ ψψψ 这时 ( ) ( ) ( )rψrψrψ As vvv += ( ) ( ) ( ) ( ),ˆ rrrPU sss vvv ψψψ =−≡ ( ) ( ) ( ) ( )rψrψrψPU AAA vvv −=−≡ˆ ( )PU ˆ 是宇称算符对波函数的作用形式。 可以证明,宇称算符是个纯量子力学算符,它不能用经典的形 式表示出来(或者说,它没有经典对应的力学量3)。换种说法, Pˆ 不能用 pr ˆ,ˆ vv 等有经典对应力学量的算符的任意函数来表示。 用反证法证明: 假定可以用 pr ˆ,ˆ vv 的某个函数 ( )prf ˆ,ˆ vv 把宇称算符 Pˆ 表示出来,即有 ( )prfP ˆ,ˆˆ vv= 则当令 0→h ,向经典过渡时, ( )prf )v)v, f)≡ 将趋于它的经典对应物 ( )prf vv, f≡ 。这时对动量算符第 i 个分量 ipˆ 有 3 这并不是说经典力学中无相应的变换,而是说不存在对应的力学量。一个经典系统即使具有这种反射对 称性,也不能说明存在相应的守恒的力学量。 149 [ ] 0ˆlimˆ,ˆlim 00 = ∂ ∂ = →→ i i x fipf h hh 即, fˆ 的经典对应物 f 与经典力学量 ip 是对易的, fppf ii = 但另一方面, fˆ 是宇称算符,按其定义应当有 ii pfpf ˆˆˆˆ 1 −=− , 即 fppf ii ˆˆˆˆ −= , ( zyxi ,,= ) 显然也可对此式作经典趋近,并得出反对易结果。于是,经典情况 下有两种完全不同结果,这表明只能有 0=f 。这说明,宇称算符不 能被表达成为 rˆv和 pˆv 的任何函数 fˆ ,否则其经典对应物 f 必为零,反 推回去得到 fˆ 本身为零(因 1ˆ 2 =f ,比例于h的幂次也不可能)。 可以得到宇称算符的并矢表示式。比如取坐标表象,这时基矢 为{ }rv 。由 Pˆ 的定义并考虑基矢的完备性条件,即得 ∫∫ +∞ ∞− +∞ ∞− −=−= rdrrrdrrP vvvvvvˆ (6.23) 而 Pˆ 的矩阵元为 ( ) ( ) ( )rrrdrrrrrdrrrrrPr ′′+′=′′−+′=′′−′=′′′ ∫∫ +∞ ∞− +∞ ∞− vvvvvvvvvvvvvv δδδˆ 注意,如果体系分为几个子体系,则体系的总宇称算符本征值 是各子体系宇称算符本征值的乘积。这简称为,宇称算符本征值是 相乘的。这是因为,同一粒子的几部分波函数(或多粒子的波函 数)总是相乘的,经宇称算符的作用,所得各部分的宇称本征值也 就是相乘的。与此同时,连续变换所对应的(力学量的)本征值是 相加的。因为连续变换所对应的守恒量均在指数上,指数算符相乘 150 时指数上的量就相加。故其各部份波函数所具有的本征值就是相加 的。比如,核和粒子物理的反应 dcba +→+ 这时 相对运动初态 abba= ,其中 a 和 b 分别为a和b粒子的内部 状态,而 相对运动ab 表示 ba, 两粒子之间相对运动状态。空间反射 变换要作用于所有各部份, 相对运动初 abPbPaPP abba ˆˆˆˆ ⋅⋅= 假设 a 态的内禀宇称为 aP , b 态的内禀宇称为 bP ,相对运动的宇称 为 abP ,即设 aPaP aa =ˆ bPbP bb =ˆ 相对运动相对运动 相对运动 abPabP abab =ˆ 于是初态的总宇称量子数就成为: abba PPPP = (6.24) 下面即将表明, ( )l1−=相对运动abP 。 l 是 ba, 两粒子相对运动的轨道角动 量量子数,故 ( )l1− 又称为轨道宇称。末态情况类似。如果反应过程 遵守宇称守恒定律,反应前后总宇称量子数应当相等,即有等式 ( ) ( ) dcba PPPP 111 ll −=− (6.25) 这里 dc`1为l 之间相对运动轨道角动量量子数。如果反应过程中存在 弱作用,反应前后的总宇称量子数将不相等。 现在补充说明:对于轨道角动量量子数为 l 的两个粒子相对运 动,它们的轨道宇称为 ( )l1− 。注意空间反射只与方位角有关,与相 对距离无关,可略去相对运动波函数的径向部分,只考虑方位角部 151 分 ( )ϕθ ,lmY 。球坐标中 ( ) ( )ϕπθπϕθ +−⎯⎯⎯ →⎯ ,, 空间反演 ,, rr ,所以 ( )ϕθ ,lmY 的空间反演为 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ϕθϕπθπϕθ ,,, lmlmlm YYYPU l) −=+−= (6.26) 这说明, ( )ϕθ ,lmY 是宇称算符本征态,对应的本征值为 ( )l1− 。 5※ ,时间反演对称性。参见附录二。 §6.3 ※ 内禀对称性 1, 同位旋空间旋转对称性和同位旋守恒 原子核物理所涉及的核力是一种强相互作用,它大体与电荷(是 质子还是中子)无关,这是一个虽然并不十分精确但却是普遍成立 的实验事实。据此,核理论中从强作用观点出发,不计电磁和弱作 用,常将质子和中子考虑成是同一个粒子(称为核子)的两个不同 状态。于是,一个核子的波函数可以记成 ( ) ( )( )⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ = r r r v vv 2 1 ϕ ϕϕ (6.27) 这样,质子和中子的波函数便分别成为 ( ) ( ) , 0 1 ⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛ = r rp vv ϕϕ ( ) ( )⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ = r rn v v 2 0 ϕ ϕ 取如下三个 2× 2 矩阵 iτ 作为同位旋算符 ⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛ = 01 10 1τ , ⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛ − = 0 0 2 i i τ , ⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛ − = 10 01 3τ 于是,在这些算符作用下,产生如下变换 ⎩⎨ ⎧ = = ,1 1 pn np ϕϕτ ϕϕτ ⎩⎨ ⎧ −= = ,2 2 pn pp i i ϕϕτ ϕϕτ ⎩⎨ ⎧ −= = nn pp ϕϕτ ϕϕτ 3 3 (6.28) 152 由于不考虑核子间电弱相互作用,只考虑核子间的强相互作用, 根据核力与电荷无关,在上述这些变换下核子体系的能级将相同, 构成了能级的简并。这时,由同位旋算符 iτ 组成的矢量算符 τv v 2 1 =Θ (6.29) 称为核子的同位旋。而质子和中子只是(同一个称作“核子”的粒 子)同位旋第三分量不同的两个状态。就是说,出现了同位旋两重 态的简并。可以附带指出,由同位旋第三分量 3Θ ,可以组成所谓 “电荷算符”Q : ( ) ⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛ =+=⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +Θ= 00 01 1 22 1 33 e eeQ τ (6.30) 显然, ppQ ϕϕ = , 0=nQϕ 2, 全同粒子置换对称性与全同性原理 由于微观粒子具有波动性,两个或多个全同的微观粒子存在置换 对称性,呈现出交换效应。这种置换对称性常常陈述为微观粒子全 同性原理。此原理不仅是非相对论量子力学的第五公设,实际上贯 穿并适用于全部量子理论。 i, 全同性原理及其内涵 如果两个微观粒子的全部内禀属性(质量、电荷、自旋、同位 旋、内部结构及其它内禀性质)都相同,就称它们为两个全同粒 子。例如,所有的电子是全同粒子,所有的正电子也是全同粒子, 但电子和正电子就不是,质子和中子也不是。对于内部结构相同而 仅仅内部激发状态不同的复合粒子(比如,处于基态和激发态的氢 153 原子),有些情况下不应看作是全同粒子,详细叙述见后。显然, 两个全同粒子可以处在不同的量子态上:可以有不同的空间波函 数,不同的能级、不同的自旋取向,等等。全部量子力学实验表 明,如果让两个全同粒子处于相同的物理条件下,它们将有完全相 同的实验表现,从原理上看将无法区分它们谁是谁。简单地说,微 观粒子全同性原理便是全同粒子的无法分辩性。详细些说,原理主 张: 系统中的全同粒子因实验表现相同而在物理上无法分 辩。就是说,如果设想交换系统中任意两个全同粒子所处 的状态和地位,将不会表现出任何可以观察的物理效应。 原理涉及两个密切相关但并不相同的概念:全同性——对粒子 本身,分辨性——对它们的实验观测。这里强调“原理上”,意思是 说永远的,非技术性的(下面即将分析它的具体含义)。现在来分 析并理解原理的核心内容:全同粒子在什么情况下不可分辨、这种 不可分辨性有怎样的性质——它会产生怎样严重的后果、如何理解 这种不可分辨性。 全同粒子体系中各粒子的编号都是以外来方式人为强加的,既 然按全同性原理各个全同粒子在“原理上”彼此不能分辨,那么它们 之间任何编号顺序的改变都不应当导致可观察的物理效应。就是 说,任何实验观测结果都必须对编号的置换为对称的!量子体系的 可观测量分为两类:力学量值和取力学量值的概率。于是得出结 论:全同粒子体系的力学量算符(包括系统哈密顿量),以及体系 154 所有可观察概率,对于任何一对粒子编号交换都必须为对称的。这 正是上面强调的“原理上不可分辨”这一论断的深刻含义和严重结 果。也说明全同性原理正是全同粒子交换对称性的物理概括。 现在来考察观测概率的对称性。所有观测概率都是对称的,这 说明体系总波函数的模平方必须是对称函数,所以总波函数对于任 何一对粒子编号的置换,只能改变一个相因子。引入第 j 和第 k 两 个粒子的置换算符 jkPˆ ,于是应当有 )r,,r,,r,,r(e )r,,r,,r,,r()r,,r,,r,,r(Pˆ nkj i njknkjjk jk rLrLrLv rLrLrLvrLrLrLv 1 11 ψ ψψ δ = = (6.31) 接着用 jkPˆ 的逆算符 kjPˆ 作用,两边的ψ 将还原,但净多出一个相因子 jkKj iie δδ + 。根据全性原理,实际上置换算符 jkPˆ 应当与脚标无关,可以 简单写作为 Pˆ ,相应有 δδδ == kjjk 。由于两次置换已使编号顺序还 原,所以 IPˆ =2 (6.32) 于是 { } 12 =δiexp ,即 { } 1±=δiexp 。这说明,为保证全部观测概率是对 称的,全同粒子体系所有可能状态的总波函数必须相对于任意两粒 子置换为全对称的或是全反对称的, ( ) ( ) k,j,r,,r,,r,,rr,,r,,r,,r NjkNkj ∀±= vLvLvLvvLvLvLv 11 ψψ (6.33) 总之,从全同性原理可以得到关于全同粒子体系的如下两条重 要结论: a) 体系的全部可观察量算符对于粒子间的置换完全对称; b) 体系所有可能的总波函数对于粒子间的置换要么全对称,要 么全反对称,不存在其它类型的状态。 155 即有 Ψ±=ΨΩ=Ω Pˆ;ˆˆPˆ (6.34) 究竟什么粒子的全同粒子体系用全对称波函数,什么粒子的全同 粒子体系用全反对称波函数呢?量子电动力学中,Pauli 依据 Lorentz 变换和定域因果性原理,证明了 Pauli 定理:(光子、π 介 子、氘核、α 粒子等)具有整数自旋粒子必须服从对易规则,它们 所组成的全同粒子体系的总波函数对于粒子间置换必是对称的,体 系遵从 Bose——Einstein 统计,这些粒子统称为玻色子;(电子、 中子、质子、氚核等)具有半整数自旋粒子必须服从反对易规则, 它们所组成的全同粒子体系的总波函数对于粒子间置换必是反对称 的,体系遵从 Fermi——Dirac 统计,这些粒子统称为费米子4。详 细参见附录三。 由此可以导出 Pauli 不相容原理:组成一个体系的两个全同费 密子不能处于相同的状态上。因为这样一来,反称化将使体系的总 波函数为零(参见下面(6.35)式)。 全同性原理是微观世界的普遍规律,它导致一种纯量子效应— —交换效应。这是一种由于波函数对称化或反称化所造成的可观察 的物理效应(见下面例子)。经典力学中原则上不存在(完全相同 的)全同粒子。并且,由于宏观粒子的 de Broglie 波波长极短,即 便存在“全同”的宏观粒子,原理上也可以对它们进行分辨和追踪, 交换效应并不存在。但在量子力学中,两个全同粒子——比如两个 4 否则违反普遍的定域因果性原理——两件类空间隔( lΔ > tcΔ )事件彼此应当没有因果关联。于是原 156 电子的情况完全不同。由于电子具有波粒二象性,特别是它的波动 性,导致不确定性关系,使得轨道概念失效,在波包的重叠区内极 容易造成在原理上就无法分辩的测量结果:无法知晓测量塌缩中所 得粒子谁是谁。并且重叠区域越大,以后时刻也越不容易分辩和追 踪它们。设想在某个时刻对两个相邻的全同粒子进行测量定位、鉴 别编号,但在无限接近的后来时刻,它们的坐标还是不再具有确定 值。就是说,由于不确定性关系和轨道概念的失效,由于 de Broglie 波波包演化中的重叠,某个时刻的定位对追踪并无帮助。这些说 明,微观世界里的全同粒子,一旦它们波包有重叠而又没有守恒的 内禀量子数可供鉴别,波动性将肯定使它们失去“个性”和“可分辩 性”,出现交换效应。 ii, 应用举例 关于全同性原理应用的例子,除了全同粒子散射(见§10.4 节) 外,下面再举一些。 首先是两个全同的费米子的例子。两个电子,假设原先电子 1 处于 ( )111 zs,xvϕ 态,简记作 ( )11ϕ ,电子 2 处于 ( )222 zs,xvϕ 态,记作 ( )22ϕ 。由于某种原因彼此关联起来,组成一个体系。假如它们之间 没有相互作用或是相互作用较弱,作为零级近似,体系总波函数可 以取作两阶 Slater 行列式——两个单电子态的反称化的形式, ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }21212 1 21 21 2 121 1221 22 11 ϕϕϕϕϕϕ ϕϕ −==Φ , , ; (6.35) 理主张,相隔为类空间隔的两个测量可以独立进行,互不干扰;有此间隔的两个物理的算符应当对易。 157 右边第二项是依据全同性原理,通过反称化得出来的交换项。交换 项的存在将会影响力学量平均值和几率的计算。比如,几率密度的 分布将成为 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]{ }221122121 2 121 1221 2 1 2 2 2 2 2 1 2 ∗∗ ⋅−⋅+⋅=Φ ϕϕϕϕϕϕϕϕ Re, 可以看出,当两个波函数的空间分布不重叠,即函数 1ϕ 的定义区域 A 和函数 2ϕ 的定义区域 B 之间没有交集时,右边取实部的第三项 (包括它的积分值)实际上等于零;若交集很小,这项数值也很 小。这时有和没有反称化结果是(或基本是)一样的。于是交换效 应消失,两个全同电子在原理上便可以(用区域 A 和 B)来分辨。 对于两个波函数空间分布有重叠的情况,如果两个电子各自自旋 zs 取值不同并且在演化中守恒,则由于波函数自旋部分的正交性,这 个实部在几率计算中仍不起作用。说明此时在原理上可以根据它们 ( )21,iszi = 的取向来分辨它们。推广开来说,如果测量的物理量与 izσ 是对易的,就是说, 最后观测——也就是测量末态是朝向 izσ 本 征态的塌缩,两个电子仍然可以根据 zis 的取向来分辨。这时有否反 称化实际效果相同。但若测量的量与 izσ 不对易,相应分解时有关交 换项就不会消失,存在交换效应。换句话说,这时两个电子在这种 测量中还是不可分辩。所以普遍说来,即便过程中两粒子有取值不 同并且守恒的量子数作为标记,这时两粒子究竟是否可分辩,最终 还要看如何进行测量和塌缩,即选择何种末态而定。总之,粒子的 不可分辩性和交换效应的存在性二者紧密关连,同时存在。 158 附带指出,(6.35)式并不是总波函数的唯一选择,但选取另 外的反称化形式并不影响这里的分析。 假如电子之间的相互作用不 是很弱,系统总波函数 ( )2121 zz s,s;x,x vvΦ 不再能用上面零阶近似形式, 但它仍然是电子 1 和 2 的反对称函数,并满足对称哈密顿量 ( )21,H 的 dingeroSchr && 方程和不一定反对称的初条件。对于多个全同费密子系 统,零级近似波函数是(6.35)式的推广——n 阶的 Slater 行列式。 其次是全同的复合粒子的例子。考虑两个相同的总角动量为 J 的 原子核,各自有 nN 个中子和 pN 个质子,构成一个双原子核体系。 显然,体系总波函数 ( )2121 zz J,J;x,x vvΦ 关于中子之间置换是反对称 的,关于质子之间置换也是反对称的。令 nPˆ 为置换两个中子的置换 算符, pPˆ 类似,原子核的质子和中子总和为核子数 pn NNN += 。由 此可知,将两个原子核互换的置换算符为 ( ) ( ) pn NpNn PˆPˆPˆ =
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