第三节 有效数字

nullnull二、误差的估计——标准偏差算术平均值对真值的标准偏差 是任一次测量值标准偏差 的 分之一，即null 由于误差的存在而被测量值不能确定的程度，是被测量真值在某个量值范围内的评定。一、不确定度的概念：不确定度用σ表示的大小反映测量结果与真值之间的靠近程度。null二、不确定度的分类A类不确定度S：B类不确定度u：可以通过统计来计算(如偶然误差)不能用统计方法只能用其他方法估算 (如仪器误差、估读误差)null三、直接测量不确定度的计算1)A类不确定度的计算：N的不确定度–null2)B类不确定度的估计:①.估计方法仪器误差估计法估读误差估计法nullA.由仪器的准确度表示B.由仪器的准确度级别来计算C.仪器上未注明，但隐含或在使用说明书中说明仪器精确度或仪器误差及计算方法。 D.未注明仪器误差也找不到说明书或相关标准时 最小分度的一半、最小分度 nullA.测量条件达到仪器规定要求时：a.可连续读数仪器： Δ估=最小刻度×0.2 b.不可连续读数仪器： 没有估读误差B.测量条件达不到仪器规定要求时： 根据经验确定估读误差， Δ估可能比Δ仪大的多！③估读误差Δ估的确定nullA类不确定度分量B类不确定度分量3) 合成不确定度对于任何一次直接测量量，都要必须算出S和u，按“方和根”的方式合成不确定度。常用！null此适合于间接测量量与直接测量量是和差形式。此公式适合于间接测量量与直接测量量是积商形式的函数关系。四、不确定度的传播公式间接测量的不确定度由传播公式计算null六、测量结果表达式：物理意义是：真值在 范围内 的概率是0.683。五、总不确定度 合成不确定度乘上一个系数C后，其结果就称为总不确定度，它用U表示，即null2.先计算相对不确定度再代入间接测量不确定度传递公式:null或：nullnull再求B类不确定度 ,由于视为均匀分布,所以用估计法计算仪器误差B类不确定度 由于测量仪器为不连续读数装置，可不考虑估读误差 null 用单摆法测量重力加速度的公式 ；先用最小读数为1/100s的电子秒表测量周期T共5次，测量方法是连续测量20个周期的时间再除以20，测量者按表启动和停止计时造成时间超前或滞后造成的最大误差是0.5s，测量结果T分别为2.001s，2.004s，1.997s，1.998s，2.000s；再用II级钢卷尺测摆长 一次， （由于卷尺很难与摆的两端正好对齐，估读误差为2 mm）。例：null（一）求重力加速度g及合成不确定度并写出结果表达式。 （二）为了使g的相对不确定度不大于0.5%，其它条件不变，测量T时应连续测量多少个周期？。 （三）如果测量仪器和装置不变，g的相对不确定度最小能达到多少？解：（一）（1）先计算 null（2）计算摆长的不确定度摆长测了一次，故只考虑B类不确定度。II级钢卷尺测量 的仪器误差计算不确定度估读误差相应的不确定度 则有：null相对不确定度（3）计算周期的不确定度 的A类不确定度 的B类不确定度有两个分量 和 null合成不确定度 相对不确定度 （4）用传递公式计算重力加速度的不确定度 （5）写出结果表达式或null（二）为使 g的相对不确定度不大于0.5% ，将测量 T连续测量周期增加为m个周期 始终都比 小得多，可略去 （三）g的相对不确定最小值为0.12%。 null第三节 有效数字及运算法则null例：用米尺测量物体的长度 L1= L2=3.4 3.45 6 5 6 3.4 3.4 一、有效数字的一般概念null定义：在测量结果的数字表示中，由若干位可靠数字加一位可疑数字，便组成了有效数字。 显然有效数字的最后一位是误差第一位. 上述例子中的测量结果均为三位有效数字一、有效数字的一般概念 null二、有效数字位数的确定1.关于“0”的有效问题①.当“0”在数字中间或末尾时有效如：、、等中的0均有效。注意：不能在数字的末尾随便加“0”或减“0”数学上：物理上：这是因为误差所在位不同，既准确度是不同的.null1.关于“0”的有效问题②.小数点前面的“0”和紧接小数点后面的“0”不算作有效数字如： 0.123cm 、 0.0123dm 、0.00123m均是3位有效数字。注意：进行单位换算时，有效数字的位数不变.(指十进制)null2.数值的科学记数法数据过大或过小时，可用科学表达式某电阻值为20000（欧姆），保留三位有效数字时写成 2.00104又如数据为0.0000325m，使用科学记数法写成3.2510-5m这种指数形式的书写法称为科学记数法。注意:只要其指数不大于20或小于-20，通过合理换算单位，数据表达式更简单，可读性好。 如:2.00*104HZ写成20.0KHZ，1.23*10-9m写成1.23nmnull3.有效数字与仪器的关系 20分度游标卡尺 L=2.525cm （四位有效数字）螺旋测微计 L=2.5153cm （五位有效数字）米尺 L=2.52cm （三位有效数字）null4.误差和不确定度的有效位数1.已定的系统误差（比如零差）及相应的相对误差、修正值具有若干位可靠数字和一位可疑数字。 如：重力加速度测量值 ，公认值为 ，则绝对误差是 已定的系统误差，为三位有效数字，相对误差 也是已定的，为三位有效数字。 2.偶然误差、不确定度及不确定度分量、相对不确定度等，所有位数都是可疑的，没有可靠位数，只有可疑位数，都是一位有效数字。实际应用中，为了减少计算误差，一般用两位可疑数字数字表示，但有效位数仍是一位。 null3.σ决定N的有效位数null如果申明了误差所在位，数据可写成若干位可靠数字加几位可疑数字（直接测量到分辨率所在位，间接测量写1-2位可疑数字），但有效数字的位数不变。 如果未申明误差所在位，只能写1位可疑数字5.有效数字的实际应用null三、直接测量有效数字的确定 ——如何读数（1）用米尺测长度1.读数的一般规则： 如果误差不知道或不明确时，可读至仪器最小分度的下一位；如果误差已知，读至产生误差的那一位。注意:在申明了误差大小的情况下，也可以多读一位。null当物体长度在24㎜与25㎜之间时， 读数为24.X㎜当读数正好为24㎜时读数为24.0㎜被测物体null三、直接测量有效数字的确定 ——如何读数（1）用米尺测长度（2）用0.1级量程为100mA电流表测电流 读数的一般规则： 如果误差不知道或不明确时，可读至仪器最小分度的下一位；如果误差已知，读至产生误差的那一位。null△仪= 100mA×0.1% = 0.1mA指针在82mA与83mA之间：读为82.* mA指针正好在82mA上：读为82.0mA对于0.1级表：*分辨率也是0.1mAnull△仪=100mA×1.0%=1mA对于1.0级表指针在82mA与84mA之间： 可读为82mA、83mA或84mA指针正好在82mA上：读为82mA*分辨率是0.2mA， 也可读成82.4mA，但0.4不算有效数字的位数。null 1. 如果最小刻度的1/10定义为可以连续读数仪器的分辨率，对于不可以连续读数的仪器，分辨率就是最小读数。当分辨率落在仪器误差的下一位时，这一位四舍五入就可以了。 例如：数字电压表的分辨率是0.1mV，测显示值为150.2mV电压时的仪器误差是2.8mV，则测量值的有效数字应写为150mV。 2.实际应用时，如果不计算不确定度，应该按以上有效数字的规则读数。如果计算不确定度，可以不考虑仪器误差，全部按分辨率读数。 说明：null总结:读数前,应先清楚仪器的误差所在的位置,然后按规则读数,即可正确确定直接测量量的有效数字.null1.加减法四、间接测量量有效数字的确定（一）通过有效数字的运算法则确定 如不知道直接测量量的不确定度时，可以使用运算法则来确定。null例 162 . 5 + 1. 234 = 63 . 7 62.5 + 1.234 —————63.734–––––––结果为 63.7–该算式用于形象说明有效数字的运算规则，实际计算中不必如此繁琐。null例 263 . 7 - 5. 43 = 58 . 3 63. 7 - 5. 43 —————58. 27–––––––结果为 58.3–null1.加减法加减法运算后的有效数字的最后一位，取到参与运算各数中最靠前出现可疑数的那一位。运算规则：四、间接测量量有效数字的确定（一）通过有效数字的运算法则确定null例3 20.1 + 4.178 = 24.3 20.1 + 4.178 —————24.278–––––––结果为 24.3–null例4 19.68 - 5.848 = 13.83 19.68 - 5.848 ————— 13.832––––––结果为 13.83––null1.加减法2.乘除法四、间接测量量有效数字的确定（一）通过有效数字的运算法则确定null例 53.21  6.5 = 21 3.21  6.5 —————1605–––结果为 21––1926—————20.865–––––––null例62121.843=0.96_结果为 0.96_______________null1.加减法2.乘除法乘除运算后结果的有效数字一般以参与运算各数中有效数字位数最少的为准。运算规则:四、间接测量量有效数字的确定（一）通过有效数字的运算法则确定null4.178  10.1 = 42.2 4.178  10.1 —————4178–––结果为 42.2––4178—————42.1978–––––––例7null48216123=39212348216392369113111072462460___结果为 392_______例8null1.加减法2.乘除法3.乘方与开方四、间接测量量有效数字的确定（一）通过有效数字的运算法则确定null结果的有效数字与其底或被开方数的有效数字位数相同。错误正确运算规则：1002=1001024.02=164.02=16.0例9null1.加减法2.乘除法3.乘方与开方4.函数运算四、间接测量量有效数字的确定（一）通过有效数字的运算法则确定null(1)对数函数lgx的尾数与x的位数相同 例 10null (2)指数函数10x或ex的位数和x小数点后的位数相同（包括紧接小数点后面的0） 例 11null四、间接测量量有效数字的确定1.加减法2.乘除法3.乘方与开方4.函数运算5.自然数与常量（一）通过有效数字的运算法则确定null①自然数不是测量值，不存在误差， 故有效数字是无穷位。 ②常数、e等的位数可与参加运算的 量中有效数字位数最少的位数相同 或多取一位。如在D=2R中，2不是一位有效数字，而是无穷位例 12L=2R 其中R=2.3510-2m就应取3.14(或3.142)即L=23.1422.3510-2=0.148(m)null综合运算举例 50.00  ( 18.30  16.3 ) ( 103  3.0 )  ( 1.00 + 0.001 )= 50.00  2.0 100  1.00= 1.0102 100 = 1.0例 13这类题都假设每个数字都是测量值，不是常数！ 也假设每个数字只包含一位可疑数字！null 10.02  lg100.0 27.3211  27.31 35= 100  2.0000 0.012104 35==2104  35例 14这类题都必须按照算术运算的先后顺序严格完成每一步运算，中间步骤必须写全！null 在已知直接测量量的不确定度情况下，通过不确定度的传播公式求出间接测量量的不确定度，再由不确定度决定间接测量量的有效数字。（二）用不确定度确定有效数字：null其中：试确定N的有效数字。（3）用不确定度决定结果的有效数字null其中：试确定N的有效数字。解：（2）计算不确定度（1）先计算N（3）根据不确定度决定有效数字，有：null首先用传递公式计算 cosx 的不确定度x=20018′ x=1′ 0.0003 弧度 求 cos x 的有效数字三角函数解：误差第一位在小数点后第四位而cos20o18′=0.937889…...根据不确定度得到:cos20o18′=0.9379例 17cosx= |sinx|x = sin(20018′)  0.0003 = 0.0001null注意：有效数字可以方便地表示出不确定度在哪一位，即方便地表达出了测量结果的好与坏。但与不确定度的传递结果相比，有效位数表示出的不确定度是很粗略的。因此，在处理时不计算不确定度的实验数据时,严格按照有效数字的运算法则进行每一步计算，以方便得到测量结果的有效数字。而需要计算不确定度时，就不必按照有效位数的运算法则，在中间计算过程中多保留几位数字，这样基本上不会带来计算误差。所有的有效数字运算都以不确定度传递计算为准，两者各有长处：所有的有效数字运算都以不确定度传递计算为准，两者各有长处：有效数字运算规则：快捷、方便 不确定度传递计算：科学、准确 本章小结本章小结 一.有效数字的概念 二.直接测量时有效数字的运算 三.有效数字的运算规则