有关电磁波传播中几种速度的定义及其关系的讨论

有关电磁波传播中几种速度的定义及其关系的讨论 第 20 卷 第 1 期 湖 南 文 理 学 院 学 报(自 然 科 学 版)Vol. 20 No. 1 2008 年 3 月Journal of Hunan University of Arts and Science(Natural Science Edition) Mar. 2008 文章编号,1672,6146(2008)01,0027,03 有关电磁波传播中几种速度的定义及其关系的讨论 文盛乐, 刘健智 (湖南师范大学 物理与信息科学学院, 湖南 长沙, 410081) 摘 要: 明确地给出了相速、群速与能速的定义, 并以导电 波的文献中都会提到, 对其定义一般都很明确: 相 介质与矩形波导管中传播的电磁波等为例, 探讨了相速、群 速即波的相位传播的速度,其定义为: ω速和能速间的关系, 得到了这三种速度彼此不尽相同的结 v = n ,(1) p k 果, 从实践上进一步说明了三者是完全不同的物理概念、有 式中 ω 为波的角频率, k 为圆波数、即波矢量 k(=kn, 着完全不同的物理含义. n 为波传播方向的单位矢量)的大小. 群速即波群关键词: 能速度; 群速度; 相速度; 电磁波 中图分类号: O 441 文献标示码: A (或波包)的传播速度, 其定义为: dω (2) v = n , g 波的传播速度一直备受关注, 如波的相位传播 dk 式中 n 为波包传播方向的单位矢量. 速度、波群(或波包)的传播速度. 一般地, 在非色散 [1,2]对于能速, 由于它征的是波的能量传播速度, 介质中传播的波, 群速度等于能速度. 因此, 常 而能量的流动情况是用一个叫做“能流密度”的矢量 有不少人认为波的群速就是它的能速(能量传播的 S 来描述(在与能量传播方向垂直的单位面积上、在 速度). 然而, 研究表明, 波的相速、群速与能速尽 单位时间内通过的能量), 在讨论能速的定义时自 管在某些特定情况下其数值(大小)乃至方向可能会 然会涉及到它以及能量密度 w; 同时, 考虑到波既 相同, 例如文献[3]证明了在各向异性压电(或非压 然为时、空坐标的函数, 能量分布及其流动都与时、 电)介质中传播的声波, 在准静态电场近似下, 群速 空坐标有关, 真正为人们所关心的是其时、空平均 度等于能速度; 文献[4-7]的作者以水波等为例, 试 值. 因此, 能速的定义为:图证明在一般情况下无耗散介质系统中的群速度 = S/w .v等于能速度, 可是或许由于他们的方法深奥或带有 (3) e 局限性, 其结论未能被引起重视或普遍地接受; 文 这里要强调的是, 式中 S 、 w 都为时间和空间的平 [3]献[8]中虽指出能量传播的速度是区别于相速、群速 均值. 的更一般的物理概念, 但只具体讨论了能速与相速 2 均匀绝缘介质中平面电磁波的相 的关系问题; 文献[9,10]则讨论和证明了物质波的 速、群速和能速群速度与实物粒子速度的一致性. 尽管如此, 但这 从上述定义出发, 我们容易得到在均匀绝缘介 其中仍有两个问题尚待深究, 即从概念上应如何区 质中传播的平面单色电磁波(简称平面电磁波)的这 别相速、群速及能速,在耗散介质中(或一般地)应 些速度. 因平面电磁波的电、磁场可写为: 如何计算这几种速度,关于后一个问题的详细讨 k i(k i x -ωt )论, 除上述提到的文献[4-7]外, 至今还少见有文献 = E , B = ×E , k = ω µ , ) (4) E ( x t e oω 报道. 本文在相关文献研究的基础上, 首先明确地 ε , µ, ε 分别为绝缘介质的磁导率和介电常数; 等相位 给出了这几种速度的一般定义, 期望从概念上弄清 面的方程为 k ? x ? ωt = 常量, 或 kx? ωt = 常量; k 它们之间的区别, 然后以电磁波在绝缘介质、导电 dx将ω k介质中和矩形波导管中传播为例, 分别对几种速度 = , 亦即相速其对时间 t 求导, 便得 v = k dt k 进行了计算, 进一步从实践上阐明了它们的意义. ω (5) .v n = p 1 相速、群速与能速的一般定义 k 为求群速, 将(4)之三式对 ω 求导后代入定义 关于相速与群速, 尤其是相速, 这在所有讨论 式(2), 即有 湖 南 文 理 学 院 学 报(自 然 科 学 版)2008 年28 dωdk 1 n 由于v = = 1/ ==, v , (6) g g dωdk µ+ iβ µ1 1 * * S = Re( E× B) = Re[ E× ( ×E )] = εεα 显然, 绝缘介质中平面电磁波的群速等于相速. 为2µ2µω 求其能速, 根据β 2 n , E 2 1 µ2 2 S = E ×H , w = ( D ? E + B ? H ) = ε E = . ω µ2 1 1 12 2 2 Bw = Re(ε= (ε) +E B E + 式中已利用了绝缘介质中平面单色电磁波的性质44µ w= w, 其时、空平均值可由下面方式得到:2 2 2 e m β + iε+ εβ 1 2 2 2 +=+n ×E ) =E E E 1 k 2 * αα 2 ωµ 4 4 S =× B) =Re( E E , 4µ 2µ2µω ω ε2 1 2 2 2 ε2 1 + (σ / ωε ) =+ (σ / ω1 1 +[1 E E * w = Re(ε E ? E , 4 ε ) ], 2 2 E ) = 2 ε 式中右肩标的*号表示取复共轭, 故可得能速 v ==n 故可得能速 e 4 β 2 ωµε[1 + 1 + (σ / ωS k n == == v .(7) v e g ε ) ] 2 w ωµµ . (11) ε ε n (6)、(7)式表示, 在均匀绝缘介质中传播的平面电磁 µ[1 + 1 + (σ / ω2 1/ 2 ε波, 其相速、群速和能速相等. ε )] ωµ >> 1 , β ? α 对于良导体, , 则有: σ 3 导电介质中电磁波的相速、群速和 σω2 ? ε 能速 ? 2ωω v = ?, ?p 为方便计, 设导电介质内的电磁场为平面波解µσβ ? β + iα -α ?x i(β ? x -ωt ) [11] 的形式: E = E ee, B = 再ωd2ωd ? o (12) v = = 1/ ? 2, ω ? g β µdβ dω ×E ;? 设该平面电磁波正入射到导电介质表面(波矢垂直 σ ? 2ω 表面), 且选表面内法线方向的单位矢量 n 沿 z 轴正 ?. =v e 向, 则复波矢 β+iα 的虚部与实部可分别表为: µ?? σ α = α e= α n, β = β e= z z 即在良导体中, 群速大于相速; 能速等于相速, 但 β n ,并不等于群速. 顺便指出, 因在良导体中, [11] ? ω 于是可求得:1 ωε 1µε 2 1/ =, α = 1 + (σ / ωε )? 1] <<[ ? 2 µµε σ µε?2 , ω ,(8) ? σ 故电磁波在良导体中传播时的几种速度都远远小 µε2 1/ 于具有相同介质常数 µ, ε 的绝缘介质中电磁波β = [1 + (σ / ωε )+ 1] ?的 2 ?ω ?2 .速度, 换句话说, 在导电介质(尤其是良导体)中, 电 式中σ 为电导率. 此时, 电磁波的相速 为:磁波传播的速度是较小的. ω2 n ; (9) v = n = p 4 矩形波导管中电磁波的相速、群速 β µε [1 + 1 + (σ / ω2 1/ 2ε )] 和能速 又因为 2 仍如文献[11], 设矩形波导管具有理想壁,管沿 dβµε 1 + 1 + (σ / ωε )+ (σ / ω = , 2 z 轴放置, 壁在 x=0, a; y=0, b; 则在其中传播的电磁 ε )/ 2 dω 2 [1 + (σ / ω+ (σ / ω1 波的电场为: 2 2 ε )][1 + ε )] 故得群速大小为: i(kz -ωt ) z ?y)e, E = A cos(k x) sin(k x 1 x y 2 dω2 1 + (σ / ωε )+ (σ / ω1 ? i(kz -ωt ) z = Asin(kx) cos(k y)e,; E v= =(13) 2 1/ 2? y 2 x y g 2 [1 + ε )] dβ µ1 + 1 + (σ / ωε )+ (σ / ω? i(kz -ωt ) z 2 E= Asin(kx) sin(k y)e. ε z 3 x y ? ?ε )/ 2 (10) 第 1 期 文盛乐, 刘健智 有关电磁波传播中几种速度的定义及其关系的讨论 29 πn 2 2 2 1 1 1 1 * *式中 k = ω µε ? k ? k , k = = , w = D ? E + B ? H = Re(ε E ? E + B ? z x y x y a b 2 2 4 µ B)mπ , kkA+ k A= ikA.(14) x 1 y 2 z 3 求得, 只需利用(14)式及注意到积分: a b 于是相速的大小: 1 2 2 cos kx sin k ydxdy = x y ? 0 0 ωπ mab 2 2 v = ω /(15) =ω µε ? ( )? p 2 2 b a 1 1 ? a b k sin k x cosk ydxdy = ... = . znπ 2 x y ( );? 0 0 4 ab 群速大小: 便可得到它的时、空平均值为: ? π m 2 2 ω µε ? ( )? 1 2 2 2 dωk a b z< w >= ε + A+ A ) ; (19) nπ 23= 2=. (16) v = g 8 ( )ωµωµdk ( Az 1 所以, 能速的大小为εε2 显然有 v v= 1/ µε ; 当波导管中空时, v v= c , p g p g k < S > z v= =(20) .= v c 为真空中的光速. 为了得到能速,需先求得磁场.e g < w > ωµ i ε 由 B =? ? ×E 可得磁场 B 的各分量为:(20)式说明, 在充满无耗散介质的波导管中, 电磁 ω 波的能速等于群速.i ? i(kz-ωt) z B=? (k A? ikA) sin(kx) cos(k y)e, x y 3 z 2 x y 5 结语 ? ω ? i ? i(kz-ωt) z 本文以电磁波在绝缘介质、导电介质及矩形波B=? (ikA? kA) cos(kx) sin(k y)e, ? y z 1 x 3 x y ω ? 导管中的传播为例, 探讨了波的相速、群速和能速 i ? i(kz-ωt) z 间的关系. 结果表明, 三种速度之值不尽相同: 尽 B=? (kA?k A) cos(k x) cos(k y)e. z x 2 y 1 x y ? ω ? 管在无耗散介质中, 三者在某些特定情况下可能相 (17) 等(如绝缘介质中的平面单色电磁波)、或群速等于 为了清楚起见, 以下我们用字母上的横线表对时间 能速(如矩形波导管中的电磁波), 但在耗散介质中, 求平均值, 用尖括号<> 表示对空间求平均. 利用能速不会等于群速(如导电介质中的电磁波). 实践 1 * S = Re[ E × B] ,可得管中波的能流密度各分量 与实例说明, 三种速度所描述的是完全不同的物理 2µ 概念, 具有完全不同的物理含义. 有关于它们间关 的时间平均值为: 系更一般的讨论, 我们将另行报道. 1 1 2 * * += Re[ EB ?E B ] = Re[(?ikA S 2 x y z z y x 2µ2ωµ 参考文献: * 2 * ik AA) cos k y + (ikAA? y 2 1 y z 3 1 [1] L.Brillouin. Wave Propagation and Group Velocity[M]. 2 2 New York: Academic Press,1960. ikA) sin k y] sin kx cos kx . x3y x x [2] 黄席椿. 论波速[M]. 北京: 高等教育出版社, 1985. a [3] 陈宇. 对于群速度和能速度关系的研究[J]. 中国科学(A 再对空间平均 < S > 时 , 注意 到 sin k xix ? 0 辑), 1995, 25(3): 261-267. cos kxdx = 0 , 故有 : < S >=0 ; 同理可得 : x x [4] L Rayleigh. On Progressive Waves, reprinted in Theory of < S > =0 ; 而 y Sound, Vol I[M]. New York: Dover Publication, 1949: 475. a b 1 1 [5] M A Biot. The equivalence of group velocity and energy * *< S >= dx dy{ Re[E B ?E B ]} = y y x x z ?? 00 2µab transport[J]. 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Now inject a half conductive medium and waveguide, the correlation between tube of PHA into the abdominal cavity of the experiment them were dissussed and the conclusion that three kinds of Hyriopsis cumingii; 6 or 8 h later inject the same dose of PHA velocity were not exactly equal is fined. Three kinds of velocity into them; then inject 2~4 µg/g colchicines into them before were further explained in practice: their physical concepts and experiment 2~3h.Dissecting them and take down their liquors, meanings are different. They were gained from the kidney cells by low permeating and Key words: energy-velocity; group-velocity; phase-velocity; drying in the air. Dyeing them 1~1.5 h by Giemsa liquor(20%). electromagnetic wave the absolute length of the chromosome was 1.05-3.20 µm, The average length was 1.60 µm. The diploid chromosome numbers 收稿日期: 2008-03-01 of Hyriopsis Cumingii were 38. According to the relative length 作者简介: 文盛乐(1948-), 男, 教授, 主要从事基础理论和 and arm ratios, the diploid set of chromosome was divided into 场理论的研究. 3 genomes.The karyotype was 2n=12m+6sm+1t, NF=74. (责任编校: 刘刚毅) Key Words: Hyriopsis cumingii in Dongting lake area; Chromosome; Karyotype