参数方程与普通方程的互化
2009届高三数学第一轮复习学案
参数方程与普通方程的互化
姚建新 【学习目标】 1(参数方程与普通方程的互化
2(掌握化参数方程为普通方程的几种方法
3(培养严谨的数学思维品质
【学习难点和重点】等价变形
【课堂讲解】
参数方程和普通方程是直角坐标系下曲线方程的不同表示形式,它们都是表示曲线上点的坐标之间关系的,故在一般情况下,它们可以相互转化。将曲线的参数方程化为普通方程,可借助于以熟悉的普通方程的曲线来研究参数方程的曲线的类型、形状、性质等;而将普通方程化为参数方程,可用参变量作为中介来表示曲线上点的坐标,从而给研究曲线的有关问题带来方便。
例1:将下列曲线的参数方程化为普通方程:
一、代入法:先由x=f(t)或y=g(t)解出t(用x,y表示),在代入另一个方程从而消去参数t,注意等价变形
x,1,2t, (1) (t,R),y,2,t,
2,x,1,t, (2) ,2,y,9,t,1,
二、三角法:利用一些三角恒等式来消去参数,注意等价变形
x,cos,sin,,,5,, (3) (,,),,y,cos,sin44,,,
x,,1cos2,,,,,(4) (,0,),,2,,2y,,54sin,,,,
,x,5cos,(5) (0,,,2,),y,4sin,,
三、平方作差法:先将x=f(t)或y=g(t)两边分别平方,然后相减,即可消去参数,注意等价变形
1,x,2t,,,t(t,0) (6) ,1,y,t,,2t,
1,2x,t,2,,t(t,0)(7) ,12,y,t,2,t,
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2009届高三数学第一轮复习学案
四、线段型:通过观察,普通方程是一条直线,注意等价变形
1,x,t,,(8)为参数) (tt,
,y,3,
x,1,(9)为参数) (,,y,2,cos,,
点评:参数方程化为普通方程的基本思想是“消去参数”,消去参数t的方法有时是从方程组的一个式子解出t代入另一式;有时是利用三角、代数的恒等式进行消元。
22例2:设x=2cos,将曲线的普通方程x+y-4y=0化为参数方程 ,(0,,,2,)
点评:把曲线的普通方程化为参数方程的关键是选择参数 。一般可设x=f(t)(或y=g(t)),
x,f(t),将x(或y)代入F(x,y)=0解出y=g(t)(或x=f(t)),即可得参数方程:是参数) (t,y,g(t),
22y xy例3:点M为椭圆,,1(a>b>0)在第一象限内线段AB22abB M 弧上的动点,求四边形OAMB的面积S的最大值
x O 【课后反馈】 A 1. 将下列曲线的参数方程化为普通方程:
2,,,x,cosx,,t,1,,(,,R)(1) (2) (t,0),,2,y,sin,,y,2t,1,,
1,x,a(t,),x,1,sint,,t(a,b,0,t,0,t是参数)(3) (4) (t,R),,1y,cos2t,,y,b(t,),t,
x,1,(5) (,,R),y,2,sin,,
,,,x14cos,2. 椭圆的长轴上两个顶点的坐标是__________ ,y,2,3sin,,
,x,,2,2tan,3. 双曲线的两条渐进线的夹角大小为___________ ,y223sec,,,,
,x,2cos,34. 直线x+y-4=0和圆,2,)的位置关系是( ) (0,,,y,2sin,,
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2009届高三数学第一轮复习学案 (A)相交但不过圆心 (B)相交且过圆心 (C)相切 (D)相离
2,x,3t,4,(0,t,3)5.参数方程所表示的曲线是( ) ,2,y,t,2,
(A) 一支双曲线 (B) 线段 (C) 圆弧 (D) 射线
226(按下列条件,把x+y-2rx=0(r>0)化为参数方程
,(1) 以曲线上的点与圆心的连线和x轴正方向的夹角为参数
(2) 以曲线上的点与原点的连线和x轴正方向的夹角为参数 ,
,,,x2tcos,7(根据下列条件研究参数方程表示何种曲线 ,y,,1,tsin,,
(1)为参数,t为常数 ,
(2)为常数,t为参数 ,
,,,x13cos,48.已知直线l经过点P(-3,3)、倾斜角为arccos(且与曲线相交于A,B两,),y,3sin,5,点,求|AB|的值
,x,vtcos,0,9(已知炮弹运动轨迹的参数方程是,设v是定值, 可,(0,t,t)0,102,y,vtsin,gt0,2,
以变动,为何值时,炮弹的射程最大,最大值是多少, ,
10(设排球场总长为18米,网高为2米,运动员站在离网3米远的线上正对网竖直跳起,
把球水平向前击出,如果击球点高度为2.5米,问球水平向前击出时,速度在什么范围内才
能使球既不触网也不出界。
22xy,,111(椭圆(a>b>0)上任意一点M(除短轴端点外)与短轴两个端点B,B的连线交1222ab
2|ON|,|OK|,|OA|x轴于点N和K,长轴右端点为A,求证: 【学习体会】
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