2004年考研数学一真题及参考答案(点击查看)

2004年全国硕士研究生入学统一考试 理工数学一试详解及评析 一、 填空题 （1）曲线 lny x= 与直线 1=+ yx 垂直的切线方程为 . 【答】 1y x= − . 【详解】 由 ( )'' 1ln 1,y x x = = = 得 1,x = 可见切点为 ( )1,0 ，于是所求得切线方程为， ( )0 1 1 ,y x− = ⋅ − 即 1y x= − （2）已知 xx xeef −=′ )( ，且 ( )1 0f = ，则 ( )f x = . 【答】 2)(ln 2 1 x . 【详解】 令 te x = ，则 tx ln= ，于是有 t ttf ln)( =′ ， 即 .ln)( x xxf =′ 积分得 Cxdx x xxf +== ∫ 2)(ln21ln)( . 利用初始条件 ( )1 0f = ， 得 0,C = 故所求函数为 ( ) 21 (ln ) 2 f x x= . （3）设 L为正向圆周 222 =+ yx 在第一象限中的部分，则曲线积分 ∫ −L ydxxdy 2 的值为 【答】 π 2 3 . 【详解】正向圆周 222 =+ yx 在第一象限中的部分，可示为 . 2 0: ,sin2 ,cos2 πθθ θ → ⎩⎨ ⎧ = = y x 于是 θθθθθ π dydxxdy L ]sin2sin22cos2cos2[2 2 0 ⋅+⋅=−∫ ∫ 22 0 32sin . 2 d π ππ θ θ= + =∫ （4）欧拉方程 )0(0242 2 2 >=++ xy dx dyx dx ydx 的通解为 . 【答】 2 21 x c x cy += . 【详解】 令 tex = ，则 dt dy xdt dye dx dt dt dy dx dy t 1==⋅= − ][111 2 2 22 2 22 2 dt dy dt yd xdx dt dt yd xdt dy xdx yd −=⋅+−= 代入原方程，整理得 0232 2 =++ y dt dy dt yd 解此方程，得通解为 .2 212 21 x c x cececy tt +=+= −− （5）设矩阵 ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 100 021 012 A ，矩阵 B满足 EBAABA += ** 2 ，其中 *A 为 A的伴随矩阵，E 是单位矩阵，则 =B . 【答】 9 1 . 【详解】已知等式两边同时右乘 A，得 AABAAABA += ** 2 而 3=A ，于是有 ABAB += 63 ， 即 ABEA =− )63( ， 再两边取行列式，有 363 ==− ABEA ， 而 2763 =− EA ，故所求行列式为 . 9 1=B （6）设随机变量 X服从为λ的指数分布，则 }{ DXXP > ＝ . 【答】 e 1 . 【详解】 由题设，知 2 1 λ=DX ，于是 }{ DXXP > = dxeXP x∫+∞ −=> λ λλλ 1} 1{ = . 1 1 e e x =− ∞+− λ λ 二、选择题 （7）把 +→ 0x 时的无穷小量 dttdttdtt xxx ∫∫∫ === 0 300 2 sin,tan,cos 2 γβα ，使排在后面 的是前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是 (A) γβα ,, . (B) βγα ,, . (C) γαβ ,, . (D) αγβ ,, . 【 】 【答】 应选（B）. 【详解】 0 cos 2tanlim cos tan limlim 20 0 2 0 00 2 =⋅== +++ →→→ ∫ ∫ x xx dtt dtt xx x xx α β ，可排除(C),(D)选项， 又 xx x x dtt dtt xx x xx tan2 2 1sin lim tan sin limlim 2 3 0 0 0 3 00 2 ⋅ == +++ →→→ ∫ ∫ β γ = ∞=+→ 20lim4 1 x x x ， 可见，γ 是比 β 低阶无穷小量，故应选(B). （8）设函数 ( )f x 连续，且 ,0)0( >′f 则存在 0>δ ，使得 (A) ( )f x 在（0， )δ 内单调增加. （B） ( )f x 在 )0,( δ− 内单调减少. (C) 对任意的 ),0( δ∈x 有 ( ) ( )0 .f x f> (D) 对任意的 )0,( δ−∈x 有 ( ) ( )0 .f x f> 【 】 【答】 应选（C）. 【详解】 由导数的定义，知 0)0()(lim)0( 0 >−=′ → x fxff x 根据保号性，知存在 0>δ ，当 ),0()0,( δδ ∪−∈x 时，有 0)0()( >− x fxf 即当 )0,( δ−∈x 时， ( ) ( )0 .f x f< ; 而当 ),0( δ∈x 时，有 ( ) ( )0 .f x f> . 故应选(C). （9）设∑∞ =1n na 为正项级数，下列结论中正确的是 (A) 若 nn na∞→lim =0，则级数∑ ∞ =1n na 收敛. (B) 若存在非零常数λ，使得 λ=∞→ nn nalim ，则级数∑ ∞ =1n na 发散. （C）若级数∑∞ =1n na 收敛，则 0lim 2 =∞→ nn an . （D）若级数∑∞ =1n na 发散, 则存在非零常数λ，使得 λ=∞→ nn nalim . 【 】 【答】应选（B）. 【详解】 取 nn an ln 1= ，则 nn na∞→lim =0，但 ∑∑ ∞ = ∞ = = 11 ln 1 nn n nn a 发散，排除(A)，(D)； 又取 nn an 1= ，则级数∑∞ =1n na 收敛，但 ∞=∞→ nn an 2lim ，排除(C), 故应选(B). （10）设 f(x)为连续函数， ∫ ∫= t ty dxxfdytF 1 )()( ，则 )2(F ′ 等于 (A) 2f(2). (B) f(2). (C) –f(2). (D) 0. 【 】 【答】 应选（B）. 【详解】交换积分次序，得 ∫ ∫= t ty dxxfdytF 1 )()( = ∫ ∫ ∫ −=t x t dxxxfdxdyxf1 1 1 )1)((])([ 于是， )1)(()( −=′ ttftF ， 从而有 )2()2( fF =′ ，故应选(B). （11）设 A是 3阶方阵，将 A的第 1列与第 2列交换得B ,再把B的第 2列加到第 3列得C , 则 满足 AQ C= 的可逆矩阵Q为 (A) ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ 101 001 010 . (B) ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ 100 101 010 . (C) ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ 110 001 010 . (D) ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ 100 001 110 【 】 【答】 应选（D）. 【详解】 由题设，有 0 1 0 1 0 0 , 0 0 1 A B ⎡ ⎤⎢ ⎥ =⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ CB = ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ 100 110 001 于是， . 100 001 110 100 110 001 100 001 010 CAA = ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ 可见，应选(D). （12）设 ,A B为满足 0AB = 的任意两个非零矩阵，则必有： （A） A的列向量组线性相关，B的行向量组线性相关. （B） A的列向量组线性相关，B的列向量组线性相关. （C） A的行向量组线性相关，B的行向量组线性相关. （D） A的行向量组线性相关，B的列向量组线性相关. 【 】 【答】 应选（A）. 【详解 1】设 A为 nm× 矩阵，B为 sn× 矩阵，则由 0AB = 知， nBrAr <+ )()( 又 ,A B为非零矩阵，必有 ( ) ( )0, 0r A r B> > .可见 ( ) ( ), ,r A n r B n< < 即 A的列向量组线性 相关，B的行向量组线性相关，故应选(A). 【详解 2】由 0AB = 知，B的每一列均为 0Ax = 的解，而B为非零矩阵，即 0Ax = 存在非 零解，可见 A的列向量组线性相关。 同理，由 0AB = 知， OAB TT = ，于是有 TB 的列向量组，从而B的行向量组线性相关， 故应选(A). （ 13）设随机变量 X 服从正态分布 ( )0,1N ，对给定的 )10( << αα ，数 αu 满足 αα => }{ uXP ，若 α=< }{ xXP ，则 x等于 (A) 2 αu . (B) 2 1 α− u . (C) 2 1 α−u . (D) α−1u . 【 】 【答】 应选（C）. 【详解】 由标准正态分布概率密度函数的对称性知， αα =−< }{ uXP ，于是 }{2}{}{}{}{11 xXPxXPxXPxXPxXP ≥=−≤+≥=≥=<−=−α 即有 2 1}{ α−=≥ xXP ，可见根据定义有 2 1 α−= ux ，故应选(C). ( )xϕ ( )xϕ α α 2/)1( α− 0 αu 0 2 1 α−u x （14）设随机变量 )1(,,, 21 >nXXX n" 独立同分布，且其方差为 .02 >σ 令 ∑ = = n i iXn Y 1 1 ， 则 (A) Cov( .), 2 1 n YX σ= (B) 21 ),( σ=YXCov . (C) 21 2)( σ n nYXD +=+ . (D) 21 1)( σn nYXD +=− 【 】 【答】 应选（A）. 【详解】 Cov( ∑∑ == +== n i i n i i XXCovn XXCov n X n XCovYX 2 1 1 1111 ),( 1),(1)1,(), 2 1 1 1 .DX n n σ= = （15）设 2ebae <<< , 证明 )(4lnln 222 abeab −>− . 【证法 1】 对函数 x2ln 在[ ],a b 上应用拉格朗日中值定理，得 .),(ln2lnln 22 baabab <<−=− ξξ ξ 设 t tt ln)( =ϕ ，则 2ln1)( t tt −=′ϕ ， 当 t e> 时， ,0)( <′ tϕ 所以 )(tϕ 单调减少，从而 )()( 2eϕξϕ > ，即 22 2 2lnln ee e =>ξ ξ 【证法 2】 设 x e xx 2 2 4ln)( −=ϕ ，则 2 4ln2)( ex xx −=′ϕ ， 2ln12)( x xx −=′′ϕ , 所以当 x e> 时， ,0)( <′′ xϕ 故 )(xϕ′ 单调减少，从而当 2exe << 时， 044)()( 22 2 =−=′>′ ee ex ϕϕ 即当 2exe << 时， )(xϕ 单调增加. 因此当 2exe << 时， )()( ab ϕϕ > ，即 a e ab e b 2 2 2 2 4ln4ln −>− ， 故 )(4lnln 2 22 ab e ab −>− （16）某种飞机在机场降落时，为了减少滑行距离，在触地的瞬间，飞机尾部张开减速伞， 以增大阻力，使飞机迅速减速并停下.现有一质量为 9000kg 的飞机，着陆时的水平速度为 700km/h. 经测试，减速伞打开后，飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比（比例系数为 ).100.6 6×=k 问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多少？ 注 kg表示千克，km/h表示千米/小时. 【详解 1】 由题设，飞机的质量 m=9000kg，着陆时的水平速度 0 700v = km/h. 从飞机接触跑道开始记时， 设 t时刻飞机的滑行距离为 ( )x t ，速度为 ( ).v t 根据牛顿第二定律，得 kv dt dvm −= 又 dx dvv dt dx dx dv dt dv =⋅= 由以上两式得 dv k mdx −= ，积分得 .)( Cv k mtx +−= 由于 0)0(,)0( 0 == xvv ，故得 0vk mC = ， 从而 )).(()( 0 tvvk mtx −= 当 0)( →tv 时， ).(05.1 100.6 7009000)( 6 0 km k mv tx =× ×=→ 所以，飞机滑行的最长距离是1.05( )km . 【详解 2】 根据牛顿第二定律，得 kv dt dvm −= ,所以 .dt m k v dv −= 两端积分得通解 t m k Cev −= ，代入初始条件 00 vv t == 解得 0vC = ， 故 .)( 0 t m k evtv −= 飞机滑行的最长距离为 ).(05.1)( 0 0 0 0 km k mve k mvdttvx t m k ==−== ∞+−∞+∫ 或由 t m k ev dt dx −= 0 ，知 )1()( 00 0 −−== −−∫ tm k t t m k e m kvdtevtx ， 故最长距离为当 ∞→t 时， ).(05.1)( 0 km m kv tx =→ 【详解 3】 根据牛顿第二定律，得 dt dxk dt xdm −=2 2 , 02 2 =+ dt dx m k dt xd ， 其特征方程为 02 =+ λλ m k ，解之得 m k−== 21 ,0 λλ ， 故 .21 t m k eCCx −+= 由 00 2 000 ,0 ve m kC dt dxvx t t m k ttt =−=== = − === 得 ,021 k mv CC =−= 于是 ).1()( 0 tm k e k mv tx −−= 当 +∞→t 时， ).(05.1)( 0 km k mv tx =→ 所以，飞机滑行的最长距离是1.05( )km . （17）计算曲面积分 ,)1(322 233 dxdyzdzdxydydzxI ∫∫ ∑ −++= 其中∑是曲面 )0(1 22 ≥−−= zyxz 的上侧. 【详解】取 1∑ 为 xoy平面上被圆 122 =+ yx 所围部分的下侧，记Ω为由∑与 1∑ 围成的空间 闭区域，则 dxdyzdzdxydydzxI ∫∫ ∑+∑ −++= 1 )1(322 233 .)1(322 1 233 dxdyzdzdxydydzx∫∫ ∑ −++− 由高斯公式知 dxdydzzyxdxdyzdzdxydydzx ∫∫∫∫∫ Ω∑+∑ ++=−++ )(6)1(322 22233 1 = rdzrzdrd r )(6 2 0 1 0 1 0 2 2∫ ∫ ∫ − +π θ = .2)]1()1(21[12 2322 1 0 ππ =−+−∫ drrrrr 而 ∫∫∫∫ ≤+∑ =−−=−++ 1 233 22 1 33)1(322 yx dxdydxdyzdzdxydydzx π ， 故 .32 πππ −=−=I （18）设有方程 01 =−+ nxxn ，其中 n 为正整数. 证明此方程存在惟一正实根 nx ，并证明 当 1>α 时，级数∑∞ =1n nx α 收敛. 【证明】记 .1)( −+= nxxxf nn 由 01)0( <−=nf ， 0)1( >= nfn ，及连续函数的介值 定理知，方程 01 =−+ nxxn 存在正实数根 ).1,0(∈nx 当 0x > 时， 0)( 1 >+=′ − nnxxf nn ，可见 )(xfn 在 ),0[ +∞ 上单调增加, 故方程 01 =−+ nxxn 存在惟一正实数根 .nx 由 01 =−+ nxxn 与 0>nx 知 nn xx n n n 110 <−=< ， 故当 1>α 时， αα )1(0 n xn << . 而正项级数∑∞ =1 1 n nα 收敛，所以当 1>α 时，级数∑∞ =1n nx α 收敛. （19）设 z=z(x,y)是由 0182106 222 =+−−+− zyzyxyx 确定的函数，求 ),( yxzz = 的极 值点和极值. 【详解】因为 0182106 222 =+−−+− zyzyxyx ， 所以 02262 =∂ ∂−∂ ∂−− x zz x zyyx ， 0222206 =∂ ∂−∂ ∂−−+− y zz y zyzyx 令 ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ =∂ ∂ =∂ ∂ 0 ,0 y z x z 得 ⎩⎨ ⎧ =−+− =− ,0103 ,03 zyx yx ，故 ⎩⎨ ⎧ = = . ,3 yz yx 将上式代入 0182106 222 =+−−+− zyzyxyx ，可得 ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ = = = 3 ,3 ,9 z y x 或 ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ −= −= −= .3 ,3 ,9 z y x 由 02)(222 2 2 2 2 2 =∂ ∂−∂ ∂−∂ ∂− x zz x z x zy ， ,022226 22 =∂∂ ∂−∂ ∂⋅∂ ∂−∂∂ ∂−∂ ∂−− yx zz x z y z yx zy x z 02)(222220 2 2 2 2 2 =∂ ∂−∂ ∂−∂ ∂−∂ ∂−∂ ∂− y zz y z y zy y z y z 所以 6 1 )3,3,9(2 2 =∂ ∂= x zA ， 2 1 )3,3,9( 2 −=∂∂ ∂= yx zB ， 3 5 )3,3,9(2 2 =∂ ∂= y zC ， 故 2 1 0, 36 AC B− = > 又 1 0, 6 A = < 从而点 ( )9,3 是 ( ),z x y 的极小值，极小值为 ( )9, 3 3.z − − = − 类似地，由 6 1 )3,3,9(2 2 −=∂ ∂= −−−x zA ， 2 1 )3,3,9( 2 =∂∂ ∂= −−−yx zB ， 3 5 )3,3,9(2 2 −=∂ ∂= −−−y zC ， 可知 0 36 12 >=− BAC ，又 0 6 1 <−=A ，从而点(-9, -3)是 ( ),z x y 的极大值点，极大值为 ( )9, 3 3.z − − = − （20）设有齐次线性方程组 )2( ,0)( ,02)2(2 ,0)1( 21 21 21 ≥ ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ =++++ =++++ =++++ n xannxnx xxax xxxa n n n " """""" " " 试问 a取何值时，该方程组有非零解，并求出其通解. 【详解 1】对方程组的系数矩阵 A作初等行变换，有 . 00 002 1111 2222 1111 B ana aa a annnn a a A = ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ − − + → ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ + + + = " """"" " " " """"" " " 当 0a = 时， ( ) 1 ,r A n= < 故方程组有非零解， 其同解方程组为 ,021 =+++ nxxx " 由此得基础解系为： ,)0,,0,1,1(1 T"−=η ,)0,,1,0,1(2 T"−=η ,)1,,0,0,1(, 1 Tn "" −=−η 于是方程组的通解为 ,1111 −−++= nnkkx ηη " 其中 11 ,, −nkk " 为任意常数. 当 0≠a 时，对矩阵 B作初等行变换，有 . 100 0012 000 2 )1( 100 0012 1111 ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − ++ → ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ − − + → " """"" " " " """"" " " n nna n a B 可知 2 )1( +−= nna 时， nnAr <−= 1)( ，故方程组也有非零解， 其同解方程组为 ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ =+− =+− =+− ,0 ,03 ,02 1 31 21 nxnx xx xx """ 由此得基础解系为 Tn),,2,1( "=η ， 于是方程组的通解为 ηkx = ，其中 k为任意常数. 【详解 2】 方程组的系数行列式为 1) 2 )1(( 2222 1111 −++= + + + = nanna annnn a a A " """"" " " 当 0=A ，即 a=0或 2 )1( +−= nna 时，方程组有非零解. 当 0α = 时，对系数矩阵 A作初等行变换，有 ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ → ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ = 00000 0000 1111 2222 1111 """"" " " " """"" " " nnnn A 故方程组的同解方程组为 ,021 =+++ nxxx " 由此得基础解系为 ,)0,,0,1,1(1 T"−=η ,)0,,1,0,1(2 T"−=η ,)1,,0,0,1(, 1 Tn "" −=−η 于是方程组的通解为： ,1111 −−++= nnkkx ηη " 其中 11 ,, −nkk " 为任意常数. 当 2 )1( +−= nna 时，对系数矩阵 A作初等行变换，有 ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ − − + → ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ + + + = ana aa a annnn a a A " """"" " " " """"" " " 00 002 1111 2222 1111 ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ − −→ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ − − + → 100 0012 0000 100 0012 1111 " """"" " " " """"" " " nn a 故方程组的同解方程组为 ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ =+− =+− =+− ,0 ,03 ,02 1 31 21 nxnx xx xx """ 由此得基础解系为 Tn),,2,1( "=η ， 于是方程组的通解为 ηkx = ，其中 k为任意常数. （21）设矩阵 1 2 31 4 3 1 5 A α −⎡ ⎤⎢ ⎥= − −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ 的特征方程有一个二重根，求α 的值，并讨论 A是否可相似对 角化. 【详解】 A 的特征多项式为 1 2 3 2 ( 2) 0 1 4 3 1 4 3 1 5 1 5 E A λ λ λ λ λ λ α λ α λ − − − − − − = − = − − − − − − − 2 1 1 0 ( 2) 1 4 3 ( 2)( 8 18 3 ). 1 5 aλ λ λ λ λ α λ − = − − = − − + + − − − 当 2=λ 是特征方程的二重根，则有 ,03181622 =++− a 解得 2.α = − 当 2α = − 时， A的特征值为 2,2,6, 矩阵2E A− = ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −− − − 321 321 321 的秩为 1， 故 2=λ 对应的线性无关的特征向量有两个，从而 A可相似对角化。 若 2=λ 不是特征方程的二重根，则 2 8 18 3λ λ α− + + 为完全平方，从而18 3 16,α+ = 解得 2 . 3 α = − 当 2 3 α = − 时， A的特征值为 2，4，4，矩阵4E A− = ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ −− − 1 3 21 301 323 秩为 2，故 4=λ 对应 的线性无关的特征向量只有一个，从而 A不可相似对角化. (22) 设 ,A B为随机事件，且 ( ) ( ) ( )1 1 1, | , | , 4 3 2 P A P B A P A B= = = ， 令 ; , ,0 ,1 不发生 发生 A A X ⎩⎨ ⎧= . , ,0 ,1 不发生 发生 B B Y ⎩⎨ ⎧= 求： （I）二维随机变量(X,Y)的概率分布； （II）X和 Y的相关系数 .XYρ 【详解】（ I） 由于 12 1)()()( == ABPAPABP ， , 6 1 )( )()( == BAP ABPBP 所以， 12 1)(}1,1{ ==== ABPYXP ， 6 1)()()(}0,1{ =−==== ABPAPBAPYXP , 12 1)()()(}1,0{ =−==== ABPBPBAPYXP )(1)(}0,0{ BAPBAPYXP +−==== 21 ( ) ( ) ( ) 3 P A P B P AB= − − + = （或 3 2 12 1 6 1 12 11}0,0{ =−−−=== YXP ）， 故 ( ),X Y 的概率分布为 X Y 0 1 0 2 3 1 12 1 1 6 1 12 (II) ,X Y 的概率分布分别为 Y 0 1 P 6 5 6 1 则 6 1, 4 1 == EYEX ， 16 3=DX ，DY= 36 5 , E(XY)= 12 1 , 故 24 1)(),( =⋅−= EYEXXYEYXCov ， 从而 . 15 15),( =⋅= DYDX YXCov XYρ （23）设总体 X的分布函数为 ,1 ,1 ,0 ,11),( ≤ > ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ −= x x xxF ββ 其中未知参数 nXXX ,,,,1 21 ">β 为来自总体 X的简单随机，求： （I） β 的矩估计量； （II） β 的最大似然估计量. 【详解】 X的概率密度为 .1 ,1 ,0 ,),( 1 ≤ > ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ = + x x xxf β β β （I） 由于 1 );( 1 1 −=⋅== ∫∫ +∞ + +∞ ∞− β βββ β dxxxdxxxfEX ， X 0 1 P 4 3 4 1 令 X=− 1β β ，解得 1−= X Xβ ，所以参数 β 的矩估计量为： . 1 ˆ −= X Xβ （II）似然函数为 ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ =>== + = ∏ 其他,0 ),,,2,1(1, )();()( 121 1 nix xxxxfL in n n i i "" β β ββ 当 ),,2,1(1 nixi "=> 时， 0)( >βL ，取对数得 ∑ = +−= n i ixnL 1 ln)1(ln)(ln βββ 两边对 β 求导，得 ∑ = −= n i ix n d Ld 1 ln)(ln ββ β 令 0)(ln =β β d Ld ，可得 ∑ = = n i ix n 1 ln β ， 故β 的最大似然估计量为 . ln ˆ 1 ∑ = = n i iX nβ