时滞多变量系统PCA优化建模

时滞多变量系统PCA优化建模 时滞多变量系统PCA优化建模 第22卷第6期 Vol_22No.6 控制与 Controland 2007年6月 Jun.2007 0920(2O07)06-0707—04 文章编号:1001— 时滞多变量系统PCA优化建模 贾明兴,王福利,何大阔,牛大鹏 (东北大学信息科学与学院,沈阳110004) 摘要:主元分析(PCA)在工业生产过程的产品质量控制与故障诊断等方面已得到广泛应用,然而当过程的变量间 存在着未知时滞性时,必须确定数据间的对应关系,否则PCA模型将会不准.基于此,提出了PCA优化建模方法.该 方法以过程变量间的时滞常数为优化变量,在分析PCA模型特点基础上,确定主成分个数和SPE统计量为综合目 标函数,并建立模型约束条件,采用遗传算法求解.最后给出了仿真实例,证明了所提出方法的有效性. 关键词:主元分析;优化模型;遗传算法;时滞 中图分类号:TP277文献标识码:A PCAoptimalmodelingfortimedelaymultivariablesystem JlAMing—xing,WANGFu—li,HEDa—kuo,NIUDa—peng (CollegeofInformationScienceandEngineering.NortheasternUniversity,Shenyang1100 04tChina.Correspondent: JIAMing—xing,E—mail:jiamingxing@ise.neu.edu.cn) Abstract:Asaneffectivemethodtoextractcorrelationsamongvariables,principalcompone ntanalysis(PCA)is widelyappliedtomultivariatestatisticalprocessmonitoring,faultdiagnosisandqualitycontro1.Forprocessmodeling withunknowntimedelay.timedelayparametersaredeterminedbyusingtheconventionalPCAmethod.Otherwise, themodelwillbesoinaccuratethatinfluencesthemonitoringcapability.ThereforethePCAoptimalmodelingmethod isproposed,inwhichprocessvariabletimedelayparameterisusedasoptimalvariable.Basedontheanalysis characteristicofPCAmode1.theintegrationtargetfunctionofPCsandSPEstatisticsisdesigned,andtherestriction conditionisconstructed.Thegeneticalgorithmisadoptedforobtainingthesolutionofoptimalmode1.Asimulation resultshowsthateffectivenessoftheproposedmethod. Keywords:Principalcomponentanalysis;Optimalmodel;Geneticalgorithm;Timedelay 1引言 主元分析(PCA)技术作为一种数据统计分析技 术,已经应用于过程的建模,监测和故障诊断[1]. 利用PCA模型能够抽取原始数据空间的主要变化 信息,在保证数据信息丢失最少的情况下,大大降低 原始数据空间的维数,消除变量间的非线性关联,降 低噪声影响]. 基于PCA的过程监测和故障诊断是对过程的 正常历史数据进行PCA,得到主元子空间P,利用 在线得到的过程数据以及P计算出当前数据的估 计,进而得到平方预测误差(SPE统计量),将它与 阈值比较,以判断是否发生故障.该方法的一个基本 假设前提是过程的变量在关系上是对齐的,然而许 多工业生产过程的变量间存在着时滞性,如污水处 理过程,啤酒发酵过程,烟气脱硫过程等].常规 PCA方法在处理这样的过程时,认为时滞常数是已 知的,而实际上往往有个范围,但不精确,甚至不知 其大小,故造成数据间的错位,建模精度不高,影响 过程监测的能力. 为此,本文提出了PCA优化建模方法.该方法 以过程变量间的时滞常数为优化变量,以r和SPE 为优化目标,确立综合目标函数,建立优化数学模 型.通过求解该优化问题辨识出时滞常数,进而获得 过程的时滞PCA模型. 2优化模型建立 对于过程变量时滞常数未知或不能准确确定 的情况,如何建立优化模型来获得时滞常数的解,是 优化PCA监测模型建立的关键问题,主要包括3部 分:优化变量的选择,优化目标的建立,约束条件的 建立. 收稿日期:2006—04—3O;修回日期:2006—07—31. 基金项目:国家自然科学基金项目(60374003). 作者简介:贾明兴(1972一),男,辽宁凌源人,副教授,博士,从事复杂工业过程的建模 与故障诊断等研究;王福利 (1957一),男,辽宁辽阳人,教授,博士生导师,从事复杂工业过程建模与优化,智能控 制等研究. 7O8控制与决策第22卷 2.1优化变量的选择 假设已知过程变量正常情况下的数据矩阵为 X,为变量个数,为采样点数,数据具有相同 的采样周期,数据点在时间上是对齐的,X为第i(i 一 1,2,…,)个变量的,z个采样点集.若变量间由 于工艺的缘故存在着不同滞后,则变量间的对应关 系可由图1表示.图中,,…,表示采样时刻,zz, z.,…,z是以第1个变量为,在数据上具有对 应相关关系情况下,第2,3到个变量的滞后时间. 可见,z,z.,…,z有正有负,正表示超前,负表示滞 后,统称滞后. Xl : .IIt ? 时间对应 相关关系对应 图1变量问的对应关系 图1中,时间对应关系表示的是原始建模数据 矩阵x相关关系对应中阴影部分表示的是时滞 处理后的有效建模数据矩阵,记为x,为阴影 部分数据个数,有 "一—Z一i.(1) 式中:表示集合,i一2,3,…,)中正数的最 大值,若无正数,则取值为0;表示集合(ff,i一2, 3,…,TrL)中负数的最大值,若无负数,则取值为0; 由和z.,z.,…,z,几个未知量决定,因此选择zz, z.,…,z为优化变量,优化变量的个数为一1. 2.2优化目标建立 一 个过程,无论采用何种建模方法,其真实模 型是唯一的,也是最优的.就多元统计PCA建模方 法而言,针对图1所示的过程数据,在不清楚过程变 量滞后时间的情况下,可以以数据阵直接建 模,也可以以任意滞后时间z.,z",z所形成的数 据矩阵x:,建模. 2.2.1SPE最大值 对于一个模型,评判其好坏的一个最普遍适用 的指标是模型估计误差.多元统计PCA建模中,该 项指标采用平方预测误差SPE,以原始数据矩阵x 为例,有 X=: (P)+.(P)+…+ (P)+…+(P)一,』+E.(2) 式中:为(×1)维负载(1oading)向量,亦是主成 分的投影方向;是("×1)维得分(score)向量,也 称为主成分向量,===Xp,i一1,2,…,7;r为选取 主成分个数,r<;了,为得分矩阵,了,一,,…, ];P为负载矩阵,P一[户,P,…,P];E—X— TP为在r个主成分下的残差.于是 spe===eie/T.(3) 式中:spe表示.72的平方预测误差,是SPE的第个 元素;为x的第i个元素为在r个主成分下 的残差, :,主,(4) 主,为02在r维投影空间P下的重构值, 主=PP.(5) 这里,选择SPE的最大值作为优化目标参数之 一 ,记为spe.spe越小,模型越接近真实过程. 2.2.2主成分个数 主成分个数r代表了PCA模型投影空间的大 小,反映的是变量间相关的数量.一般情况下,根据 累计贡献率来决定主成分个数.令 1 一 土JJ},i—l,2,…,TrL.(6) 式中为第i个主成分的方差,有关系>.>… >,贡献率为它与总方差的比值 : /.(7) J=1 求(一1,2,…,7r/)的累积和称为累积贡献 率,当r个主成分的累积贡献率超过一定的指标后 (一般8O足够),就可以认为主成分个数为r,可以 综合原数据足够多的信息. 选取不同的z,z.,…,z,用累积贡献率法确定 主成分个数r,r可能不同.显然,对于充足的数据," 足够大,r值越小,模型越接近真实过程,因此选择r 作为优化目标参数之一. 2.2.3综合指标 由上述分析可见,时滞系统PCA建模是一个多 目标优化问题,这增加了解题的难度.就spe与主 成分个数r两个目标而言,其间具有如下关系: 1)spe小r未必小,同样,r小spe未必小; 2)在r相同情况下,spe越小越好; 3)若r小,累积贡献率超出预定指标,即使 spe…大也认为好. 为此,r在目标中应占有较大的权重,起主导作 用,spe…占有较小权重,起辅助作用.进一步分析, r为1,之间的自然数,spe为大于0的实数,其 第6期贾明兴等:时滞多变量系统PCA优化建模709 值可大可小.若将二者直接相加,则spe…作用将大 于,一,与上述分析不符,为此可将spe…转化为0,l 之间的数,则spe…在目标中的影响将会小于,一.基 于此设计综合指标为 ,.一e-S一.(8) 2.3约束条件 该优化问题的变量就是过程变量的时滞常数, 其范围往往是可以预知的,因此有约束 Z?Z?Z…,i一2,3,…,77/,(9) 式中z…和z为第i个时滞常数的上下限. 2.4优化模型 时滞系统PcA优化模型为 rain(,.一e--Spemax), Z…?Z?Z…,i一2,3,…,m.(10) 3优化算法 关于优化问题的解法很多,有单纯形法,共轭 梯度法,惩罚函数法,遗传算法,蚁群算法等,每种算 法都有其自身的特点和适用对象.其中遗传算法是 模拟达尔文的自然选择学说和自然界的生物进化过 程的一种计算模型,它采用简单的编码技术来表示 各种复杂的结构,并通过对一组编码表示进行简单 的遗传操作和优胜劣汰的自然选择来指导学习和确 定搜索的方向.这是一种新型的全局优化搜索算法, 因为它直接对结构对象进行操作,不存在求导和函 数连续性的限定,鲁棒性强,随机性,全局性以及适 于并行处理,已广泛应用于神经网络,计算机科学, 优化调度,运输问题,组合优化,机器学习,信号处 理,自适应控制和人工生命等领域,并且遗传算法在 实际应用中也取得了巨大成功]. 时滞系统PCA优化模型变量为过程变量间的 滞后步数,是离散值,因此目标函数是不连续的,也 就不存在导数.另外,从优化目标值的建立可以知 道,目标值是变量的复杂的非线性隐式函数,难以解 析表达,有可能存在局部极小.基于此特点,本文选 择遗传算法求解. Stepl:确定种群个数,将可行解群体在约束 条件下初始化,每一个可行解用一个向量.7C编码, 称为一条染色体,这里采用二进制编码,编码长度由 变量范围确定,向量的分量代表基因,它对应可行解 的某一决策变量; Step2:计算群体中每条染色体z(—l,2,…, ")所对应的目标函数值,并以此计算适应值F一 e-smx一,一,按F的大小来评价该可行解的好坏; Step3:以优胜劣汰的机制,将适应值差的染色 体淘汰掉,对幸存的染色体根据其适应值的好坏,按 概率随机选择,进行繁殖,形成新的群体; 图2常规PCA建模SPE 可见,主成分个数不能正确反应变量间的关 系,SPE变化起伏较大,这主要是未考虑变量间的滞 后造成的. 采用本文提出的优化PCA建模方法,设定Zz变 化范围为一40?Zz?4O,Z.变化范围为一6O?Z.? 6O,遗传算法初始种群个数为20,编码为二进制.优 化最大迭代次数为5O,进化过程中,SPE最大值如 图3所示,主成分个数和适应度,种群平均适应度值 如图4所示.得最优目标值为一3.0×l0,,最优变 \ _K 嚼 ? 71O控制与决策第22卷 量值为z.=--20,z.一--30,此时主成分个数为1, SPE如图5所示.可见所提出的方法是有效的. 霸 蛔 图4适应度,种群平均值和主成分个数 8 6 4 O 0200300400500 k 图5优化PCA建模SPE 5结语 本文针对时滞过程PCA建模问题进行了研究. 在分析过程特性和PCA建模特性的基础上,设计了 PCA优化建模模型.此模型以时滞常数为寻优变 量,以r—e-S…为综合优化目标,该目标充分体现 了主成分个数和SPE指标的不同作用.对于该优化 问题,采用遗传算法求解,避免了局部最优和连续求 导问题.最后给出了实例,以常规方法和优化方法分 别进行仿真,结果表明常规的方法对于时滞过程建 模无能为力,优化方法可以获取过程的时滞常数,建 立准确的模型. 参考文献(References) [1]EvanLR,LeoH.Faultdetectioninindustrial processesusingcanonicalvariateanalysisanddynamic principalcomponentanalysis[J].Chemometricsand IntelligentLaboratorySystems,2000,51(8):81—93. 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